2021-2022学年天津高二（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年天津四十二中高二（下）期末数学试卷

1.已知全集〃={-2,—1,0,1,2,3},集合力={_1,0,1},B={-1,1,2},则

(C/)US)=()

A.{-1,1}B.{-2,3}C.{-1,0,1,2}D.{-2,0,2,3)

2.命题“Vxe[-2,+8),%+3N1”的否定是()

A.”VxG[-2,+8),%+3V1”

B.W[-2,+8),%O+3N1”

C."YxG[-2,4-°°),x+3>1”

D.3%oG[—2,+8),&+3<1”

3.已知4,beR且a>0,贝|J"a>b”是“T<1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

4.函数/。)="炉的部分图象大致是()

5.定义在R上的奇函数/(x)在(一8,0)上是增函数，若a=-/(log21)-b=/(log24.1),

c=/(20,8),则a,6,c的大小关系为()

A.c<b<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c

6.已知5%2y2+y4=ER),则M+y2的最小值是()

A.-B.-C.—D.2

455

7.函数/(x)=Inx+x2-bx+a(b>0,a&R)的图象在点(bJ(b))处的切线斜率的

最小值是()

A.2V2B.V3C.1D.2

8.已知函数/(x)=-2x2-ax+3满足对任意x6[a-2,a\,恒有f(x)>0,则实数

的取值范围是()

B.(-1,手).5-同5+同

A.(-1,1)C.,1)D.(1,)

33

9.设函数/。)=含，g(x)=^(e为自然对数的底数，znG/?),若方程f(x)=g(x)

有两个不相等的实根，则实数，〃的取值范围是()

A.(04)U(4e2,4-oo)B.(0,e)U(4e3,+8)

C.(0,1)D.(4e2,4-oo)

10.集合4=—3|V1},^={x|3x-7>8-2x},则ACIB=.

11.已知1VQV3,2<d<4,那么2a-b的取值范围是.

12.若函数f(x)=e”sin2x,则/(0)=.

13.已知函数/(x)是R上的奇函数，月/。+2)=-/(%),当XE(0,2)时，/(%)=/,

则/(7)=.

14.若Q>1,Z?>0»则1+a+的最小值为____.

ab-b

x22

15.己知f(x)=xe+^+e,g(x)=—x—2x—1+a,若存在/G/?,x2G(-1,+°°),

使得/(xi)<g(&)成立，则实数a的取值范围是.

16.计算下列各题：

(团)已知2a=58=VTU,求5+£的值；

(团)求(21og43+log83)(log32+loggZ)的值.

17.已知函数/(x)=ax2+(b-2)x+3(a。0).

国)若不等式f(x)>0的解集为(一1,1),求a,。的值；

(团)若/⑷=2.

(i)a>0.b>0,求工+9的最小值；

zab

(ii)若不等式/(%)V1在R上的解集为空集，求实数。的取值范围.

18.已知函数f(X)=Inx-ax(a6R,e为自然对数的底数).

(团)当a=：时，求f(x)的极值；

(团)设函数g(x)=/(%)-2x+l,若g(x)S0在其定义域内恒成立，求实数a的最

小值；

(团)若关于x的方程f(x)=/恰有两个相异的实根与，%2,求实数a的取值范围，

并证明Xl%2>1.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了列举法的定义，补集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题.

进行补集和并集的运算即可.

【解答】

解：U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1]<B={-1,1,2},

•••CuA={-2,2,3},CyB={_2,0,3},

•••(CMU(QB)={-2,0,2,3}.

故选：D.

2.【答案】D

【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为€[―2,+oo),%o+3<1,

故选：D.

根据含有量词的命题的否定即可得到结论.

本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题利用不等式的性质考查了充分条件、必要条件的判断，属于基础题.

由a>0,a>b="l,再由*l=a>b.

【解答】

解：•・,Q>0,a>b,

.•.-<1,充分性满足；

a

va>0,gV1，

b<a,必要性满足，

・•.是“2VI”的充要条件，

a

故选：c.

4.【答案】D

【解析】解：函数/(切=今笆的定义域为{%|“H0,xeR},故排除A选项，

山曳32=或上$=—故函数为奇函数，

'、/-X-XJ'

•••Xe(0,5，cos2x>0,/(x)>0,故排除B,C选项.

故选：D.

先求出函数的定义域，可排除A选项，xe(05)，cos2x>0,/(x)>0,故排除B,C

选项，即可求解.

本题主要考查函数的图象，以及函数的定义域，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：因为f(x)为R上的奇函数，

所以a=-/(log2i)=/(-log21)=/(log25),

又奇函数/(x)在(-8,0)上是增函数，

则f(x)在(0,+8)上也为增函数，

因为2口8<2<log24.1<log25,

则/"(2a8)</(log24.1)</(k)g25),

所以c<b<a.

故选：A.

利用对数的运算性质以及奇函数的定义，将“转化为/(log25),然后再利用函数f(x)的

单调性比较大小即可.

本题考查了函数单调性的应用，函数奇偶性的应用，对数的运算性质的应用，考查了逻

辑推理能力与化简运算能力，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：由题意得/=芸，

5yz

所以一+产=M+,2=/+竽之2Agpp=%

当且仅当白=冬，即y2=jM=怖时取等号.

5yz5210

故选：B.

14

由题意得/=品，代入到所求式子后结合基本不等式即可求解.

5y2

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线斜率，考查了利用基本不等式求最值,

属于基础题.

求出原函数的导函数，得到函数在久=b时的导数值，利用基本不等式求最值得答案.

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【解答】

解：由/(x)=Inx+——bx+a,得尸(x)=：+2比一b(x>0),

.­•r(b)=J+b>2,

当且仅当b==，即b=l时上式取“="，切线斜率的最小值是2.

b

故选：D.

8.【答案】C

【解析】解：函数/'(X)=-2M—仪+3的图象开口方向向下，对称轴为％=-：，

222

当<a-1>即a>:时1/(x)min=f(a)=-2a-a+3=-3a+3>0,解得g<

a<1,

当——>Q—1,即£1<g时，f(x)min=/"(a—2)=-2(tz—2)^—CL(CL—2)+3>0,解

得手

综上，实数。的取值范围是(手,1).

故选：C.

由已知可得/(X)min>0,对4分类讨论，利用二次函数的图象与性质，求出/(X)的最小

值，即可求解。的取值范围.

本题主要考查函数恒成立问题，考查二次函数的性质与图象的应用，考查分类讨论思想

与运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】A

【解析】解：要使得f(x)=g(x)有两个不相等的实数根,

则需要方程”•峭=m有两个不相等的实数根，

即函数九(%)=岂：•e”与y=有两个不同的公共点，

九，迎产等2-靖二笠谭"

')(x-1)2x-1(x-1)2

令本(%)>0,得％<0或%>|,

令"(%)<0,得0VXV1或1V%V|，

所以h(%)的单调递增区间为(—8,0),(卞+8),

九(约的单调递减区间为(0,1),(1,|),

当x—8时，ft(x)—CO,

当x「时，h(x)T—00,

当X1+时,h(x)-»+oo,

当工+8时,九(x)T+00,

q3

又g)=4ez,

作出函数/iQ)的图像，如下:

由图可知，实数m的取值范围为(0,1)U(4ei+8),

故选：A.

要使得f(x)=9。)有两个不相等的实数根，则函数九0)=号■靖与y=m有两个不同

的公共点，作出函数h(x)图像，即可得出答案.

本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题.

10.【答案】{x|3Wx<4}

【解析】解：•••集合A={x||x-3|<l}={x[2<x<4},

B={x|3x-7>8—2x}={x\x>3},

AC\B={x|3<x<4}.

故答案为：{x|2<xS3}.

求出集合A,B,再由交集定义求出4nb

本题考查了交集及其运算，考查运算求解能力，是基础题.

11.L答案】—2<2a—b<4

【解析】解：1<a<3,

■■■2<2a<6,

■■■2<b<4,

-4<—b<一2,

则—2<2a—b<4.

直接利用不等式的性质求出2a的范围和-b的范围，采用不等式的可加性得答案.

本题考查了基本不等式的性质，也可以利用线性规划求解，是基础题.

12.【答案】2

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【解析】解:因为/'(x)=ezsin2x,

所以f'(x)=e*(sin2x+2cos2x),

则1(0)=2.

故答案为：2.

先对函数求导，然后把x=0代入可求.

本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题.

13.【答案】-1

【解析】解：由f(%+2)=-/(%),得fQ+4)=f(x),

所以函数的周期为4.

所以47)=〃3)=/(T)，

因为函数为奇函数，

当x6(0,2)时，/(x)=x2,

所以/1)=—/(I)=-1，

所以/(7)=/(-1)=-1.

故答案为：-1.

由/'(x+2)=-/(%),得到函数的周期，然后利用周期性和奇偶性的应用，求/(7)即可.

本题主要考查函数周期性的判断以及函数奇偶性的应用，要求熟练掌握函数性质的综合

应用.

14.【答案】2V2+1

【解析】解：当a>l,b>0时,

11

-r-r+a+Vb=—-----—+(a-1)+迎+1

ab-bb(a-1)

所以ab-b+a+的最小值为+1.

故答案为：2近+1.

两次利用基本不等式，即可求出士+a+窈的最小值.

ab-b

本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是

中档题.

15.【答案】但2,+8)

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数研究单调性最值、二次函数的单调性、等价转化方法，考查了推理

能力与计算能力，属于较难题.

e

存在巧e/?.%2使得/(%i)<。(女)成立，等价于:%eR,x2e(-l,+oo),

使得<g(》2)max成立•利用导数研究函数/Q)的单调性，可得函数/(X)的值域;

利用二次函数的单调性可得g(x)值域，进而得出结论.

【解答】

解：存在XiGR,x26(-1,4-00),使得/(X1)<g(%2)成立，

等价于：XiGR,X2e(-1,4-00),使得/(Xi)minWg(%2)max成立，

f'(x)=(x+l)ex,

函数/(x)在Xe(—1,+8)上单调递增，%G(一8,-1)上单调递减，

X=-1时，函数FQ)取得极小值即最小值，

11

/(X)>/(-I)=--+-+e2=g2-

g(x)————2x一1+a=—(x+1)2+a,

可得函数g(x)在xG(一1,+8)上单调递减，在％E(-8,-1)单调递增，

•••g(x)<g(-l)=a.

e2<a.

因此实数a的取值范围是忸2,+00).

故答案为：Q2,+8).

16.【答案】解：(0)2。=5〃=V10)a=log2V10»b=log5V10>

1111

-'-a+b=藤而+嬴而=l°g和2+kg同5=log同(2x5)=log^lO=2.

(团)原式=(log23+|log23)(log324-ilog32)=^log23-|log32=2.

【解析】(回)先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解.

(图)利用对数的运算性质求解.

本题主要考查了指数式化对数式，考查了对数的运算性质，属于基础题.

17.【答案】解：(回)•.・函数/(x)=ax2+(6-2)x+3(a*0),

不等式f(x)>0的解集为(一1,1),

.•.。/+(匕-2次+3=0的两根为一1,1,

f--=-1+1=0

•••La,解得a=-3,b=2.

[-=(-l)xl=-l

(0)(i)/(/)=a+b—2+3=2,•-a+b=1,

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va>0,b>0,

V+；《+》(a+b)="^+5N2j^+5=9,

当且仅当士=当，即。=；,匕=树取等号，

ab33

.•一+：的最小值为9;

ab

(ii),.・不等式/"(x)<1在R上的解集为空集，

a/+俗_2)x+3<1,即a/+(匕-2)无+2<0在R上的解集为空集,

(a>0

(4=(6-2)2-8a<0,

22

•・•Q+b=1,代入上式得(a+I)-8Q<0,a-6a+1<0,

解得3-2或<a<3+2V2,

.•・实数a的取值范围是(3-2夜,3+2V2).

【解析】(团)由已知得32+①一2)%+3=0的两根为一1,1,利用韦达定理直接求解.

(图)由条件求出a+b=1,。)利用基本不等式求出5+：的最小值；

(拓)由。％2+(匕-2)%+3<1,得ax2+(b-2)x+2<0,由不等式在R上解集是0,

列不等式组，能求出实数”的取值范围.

本题考查一元二次不等式的性质及解法、韦达定理、基本不等式、根的判别式等基础知

识，考查运算求解能力，是中档题.

18.【答案】解：(回)当。=凯寸，/(X)=lnx-ix,x€(0,+8),

所以/，(%)=：；等，

令/'(x)=0,解得x=2,

X(0.2)2(2,+oo)

f(x)+0-

f⑺单调递增ln2-1单调递减

所以/(%)的极大值为ln2—l,无极小值.

(团)由题意得g(x)=Inx-(a+2)x+1<0在(0,+8)上恒成立,

因为％>0,所以Q+2之嘤在(0,+QO)上恒成立.

-Inx

设九(%)=%(%>0),则九'(%)=

令八'(x)=0,解得x=1,

当0<x<l时，/iz(x)>0,函数九(x)单调递增;

当x>1时，h,'(x)<0,函数九(x)单调递减.

因此/i(x)min=h⑴=1-所以a+2>1,即a>-1.

所以实数。的最小值-1.

(回)证明:由/'(x)=X2即1nx—ax=/得等—x—a=0,

2

令m(%)=等—x-a(x>0),则7n'(x)=1-lnx-1=l-x-lnx

x2

设t(x)=1—x2—In%,则£'(%)=-2x—

因为x>0,所以t'(x)<0恒成立，函数£(%)在(0,+8)单调递减，

而£(1)=0,故在(0,1)上t(%)>0,m^x)>0,m(%)单调递增,

在(L+8)上£(%)V0,mr(x)<0,m(%)单调递减,

所以7H(X)max=7n(1)=一1一Q.

故方程/(%)=/恰有两个相异的实根只需—1—。>0.

所以实数a的取值范围是(-北-1).

下证：XX>1，不妨设与<%2，则0<%1<1<%2，0<—<1,

r2