2022届高考数学大一轮复习讲义第八章　立体几何与空间向量,第4讲　平行关系4

本文格式为Word版，下载可任意编辑——2022届高考数学大一轮复习讲义第八章立体几何与空间向量,第4讲平行关系4§8.4平行关系最新考纲考情考向分析1.以立体几何的定义、公理和定理为启程点，熟悉和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简朴命题.直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点测验内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式展现，解题要求有较强的推理论证才能，广泛应用转化与化归的思想.1．直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a?α，b⊈α，a∥ba∥αa∥α，a?β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a?β结论α∥βα∥βa∥ba∥α学识拓展重要结论：

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，那么α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，那么a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，那么α∥γ.题组一斟酌辨析1．判断以下结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面．(×)(2)若一条直线平行于一个平面，那么这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(×)(3)假设一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(×)(4)假设两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)(5)若直线a与平面α内多数条直线平行，那么a∥α.(×)(6)若α∥β，直线a∥α，那么a∥β.(×)题组二教材改编2．以下命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α得志a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α得志a∥b，a∥α，b⊈α，那么b∥α答案D解析A中，a可以在过b的平面内；

B中，a与α内的直线也可能异面；

C中，两平面可相交；

D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，那么BD1与平面AEC的位置关系为________．答案平行解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，那么BD1∥EO，而BD1⊈平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.题组三易错自纠4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，那么在平面β内且过B点的全体直线中()A．不确定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在多数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案A解析当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，应选A.5．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出以下条件：

①a?α，b?β，a∥β，b∥α；

②α∥γ，β∥γ；

③α⊥γ，β⊥γ；

④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的条件是________．(填上全体正确的序号)答案②④解析在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交；

由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②得志；

在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④得志．6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，那么四边形EFGH的外形为________．答案平行四边形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定典例如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP∥平面BEF；

(2)求证：GH∥平面PAD.证明(1)连接EC，∵AD∥BC，BC＝AD，∴BC綊AE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点．又F是PC的中点，∴FO∥AP，又FO?平面BEF，AP⊈平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，又PD?平面PAD，FH⊈平面PAD，∴FH∥平面PAD.又O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，又AD?平面PAD，OH⊈平面PAD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又GH?平面OHF，∴GH∥平面PAD.命题点2直线与平面平行的性质典例(2022·长沙调研)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；

(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．(1)证明由于BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)解如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.由于PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD?底面ABCD，所以PO⊥底面ABCD.又由于平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊈平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.由于平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，从而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB＝DB＝OB，即K为OB的中点．再由PO∥GK得GK＝PO，即G是PB的中点，且GH＝BC＝4.由已知可得OB＝4，PO＝＝＝6，所以GK＝3.故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.思维升华判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊈α，b?α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a?α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊈α，a⊈β，a∥α⇒a∥β)．跟踪训练(2022届昆明一中摸底)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M，N分别为A1C1，AB1的中点．(1)证明：MN∥平面BB1C1C；

(2)若CM⊥MN，求三棱锥M—NAC的体积．(1)证明连接A1B，BC1，点M，N分别为A1C1，AB1的中点，所以MN为△A1BC1的一条中位线，MN∥BC1，又由于MN⊈平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.(2)解设点D，E分别为AB，AA1的中点，AA1＝a，连接ND，CD，那么CM2＝a2＋1，MN2＝1＋＝，CN2＝＋5＝，由CM⊥MN，得CM2＋MN2＝CN2，解得a＝，又NE⊥平面AA1C1C，NE＝1，V三棱锥M—NAC＝V三棱锥N—AMC＝S△AMC·NE＝××2××1＝.所以三棱锥M—NAC的体积为.题型二平面与平面平行的判定与性质典例如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊈平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.又∵A1E⊈平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA，∴平面EFA1∥平面BCHG.引申探究在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明如下图，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1，DM⊈平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊈平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1.又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：假设一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．跟踪训练(2022届南昌摸底)如图，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面PAB；

(2)求三棱锥P—ABM的体积．(1)证明∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA.又∵MN⊈平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∵∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN⊈平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB.又∵CN∩MN＝N，CN，MN?平面CMN，∴平面CMN∥平面PAB.(2)解由(1)知，平面CMN∥平面PAB，∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．由已知得，AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝，∴三棱锥P—ABM的体积V＝V三棱锥M—PAB＝V三棱锥C—PAB＝V三棱锥P—ABC＝××1××2＝.题型三平行关系的综合应用典例如下图，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E