新教材人教a版选择性必修第一册2.5.1第2课时直线圆的方程的应用学案

第2课时直线、圆的方程的应用核心知识目标核心素养目标1.能正确理解直线与圆的方程.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.3.体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.通过直线、圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题的学习体验,提升学生的直观想象、数学建模、数学运算等核心素养.用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,如点、直线、圆,把平面几何问题转化为代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.[问题]建立适当的平面直角坐标系应遵循哪些原则?答案:①若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴.②常选特殊点作为平面直角坐标系的原点.③尽量使已知点位于坐标轴上.1.已知直线l:3x-4y+2=0与圆C:(x-4)2+(y-1)2=9,则直线l与圆C的位置关系是(C)(A)相切(B)相交且过C的圆心(C)相交但不过C的圆心(D)相离解析:依题意得,圆心到直线的距离d=|3×4-4×1+2因为0<d<3,所以直线l与圆C相交但不过C的圆心.故选C.2.一辆卡车宽2.7米,要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道,不得违章),则这辆卡车的平顶车车顶距离地面的高度不得超过米.

解析:可画出示意图,如图所示,通过勾股定理解得OD=OC3.直线y=x-1上的点到圆x2+y2+4x-2y+4=0的最近距离为.

解析:由题意知圆心坐标为(-2,1),半径为1.圆心(-2,1)到直线y=x-1的距离是d=|-2-1所以直线上的点到圆的最近距离是22-1.答案:22-14.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为.

解析:设圆心为(a,0)(a>0),则|3故所求圆C的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.答案:x2+y2-4x=0直线与圆的方程的实际应用[例1]已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,求B城市处于危险区内的时间.解:如图,以A为坐标原点,以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.射线AC为∠xAy的平分线,则台风中心在射线AC上移动,点B到AC的距离为202千米.则射线AC被以B为圆心,以30千米为半径的圆截得的弦长为230所以B城市处于危险区内的时间为t=2020解直线与圆的方程的实际应用问题的步骤(1)审题:认真审题,明确题意,从题目中抽象出几何模型,明确已知量和未知量;(2)建系:建立平面直角坐标系,求出相关各点的坐标,用方程表示曲线;(3)求解:利用直线与圆的方程的有关知识求解问题;(4)还原:将运算结果还原到实际问题中.变式训练1:有一种大型商品,A,B两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,每千米的运费A地是B地的两倍,A,B两地相距10千米,若要使顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点?解:以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A(-5,0),B(5,0).在坐标平面内任取一点P(x,y),若P地居民选择在A地购买此商品,则2a(x+5)整理得(x+253)2+y2<(203)即点P在圆C:(x+253)2+y2=(203)也就是说,圆C内的居民应在A地购买此商品.同理可推得圆C外的居民应在B地购买此商品.圆C上的居民可随意选择A,B两地之一购买此商品.与圆有关的最值问题[例2]已知点P(x,y)在圆C:x2+y2-6x-6y+14=0上.(1)求yx(2)求x2+y2+2x+3的最大值与最小值;(3)求x+y的最大值与最小值.解:方程x2+y2-6x-6y+14=0可化为(x-3)2+(y-3)2=4.(1)yx设切线方程为y=kx(由题意知,斜率一定存在),即kx-y=0.由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径长,可得|3k-所以yx的最大值为9+2145解:(2)x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2,它表示圆上的点P到点E(-1,0)的距离的平方再加2,所以当点P与点E的距离最大或最小时,所求式子取得最大值或最小值.因为点E在圆C的外部,所以点P与点E距离的最大值为|CE|+2,点P与点E距离的最小值为|CE|-2.又|CE|=(3+1所以x2+y2+2x+3的最大值为(5+2)2+2=51,最小值为(5-2)2+2=11.解:(3)设x+y=b,则b表示动直线y=-x+b在y轴上的截距,当动直线y=-x+b与圆(x-3)2+(y-3)2=4相切时,b取得最大值或最小值.此时圆心C(3,3)到切线x+y=b的距离等于圆的半径长,则|3+3-b|12+12=2,即|b-6|=22与圆有关的最值问题的两种求法(1)几何法:①mx+ny的最值:设mx+ny=t,圆心C(a,b)到直线mx+ny=t的距离为d=|ma②yx的最值:y(2)代数法:①mx+ny的最值:设mx+ny=t,与圆的方程联立,化为一元二次方程,由判别式等于0,求得t的两个值,一个为最大值,一个为最小值.②yx的最值:设t=y变式训练2:(2020·福建晋江养正中学高一检测)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=1上,则△ABP面积的取值范围是()(A)[2,22] (B)[2,4](C)[1,2] (D)[1,3]解析:由直线方程x+y+2=0,得A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=2.由圆的方程,得圆心坐标为(2,0),半径为1.所以圆心到直线AB的距离为|2所以点P到直线AB的最小距离为2-1=1,最大距离为2+1=3,所以△ABP的面积的最小值为12×2×1=1,最大值为12×2所以△ABP的面积的取值范围为[1,3].故选D.过直线与圆的交点的圆系方程[例3]求过直线2x+y+4=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.解:设过圆x2+y2+2x-4y+1=0与直线2x+y+4=0的交点的圆系方程为x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0,整理得x2+y2+2(1+λ)x-(4-λ)y+1+4λ=0.要使圆的面积最小,只需半径长r最小.因为r=1=125(λ=25所以当λ=85此时圆的方程为x2+y2+265x-125y+即(x+135)2+(y-65)2=解答此类问题一般有如下两种方法(1)联立方程组,求出交点坐标,再根据交点坐标求方程.(2)设圆系方程确定参数,一般地,过直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆O:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的交点的圆系方程可设为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0.变式训练3:(2021·安徽芜湖镜湖期中)一圆过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点,且圆心在y轴上,则这个圆的方程是.

解析:设所求圆的方程为x2+y2-2x+λ(x+2y-3)=0,即x2+y2+(λ-2)x+2λy-3λ=0.依题意,-λ-222答案:x2+y2+4y-6=0由直线与圆的位置关系求圆的方程[例4](2021·重庆一中高二上期中)已知过点P(0,-2)的圆M的圆心为(a,0)(a≤0),且圆M与直线x+y+22=0相切.(1)求圆的标准方程;(2)若过点Q(0,1)且斜率为k的直线l交圆M于A,B两点,且△PAB的面积为37解:(1)设圆M的标准方程为(x-a)2+y2=r2(a≤0,r>0),则圆心(a,0)到直线x+y+22=0的距离为|a由题意得a解得a=0或a=42(舍去),所以r2=4,所以圆M的标准方程为x2+y2=4.解:(2)设直线l的方程为y=kx+1,则圆心M到直线l的距离为1k所以|AB|=24-1k又点P(0,-2)到直线l的距离为d=3k所以S△PAB=12|AB|d=12×24k2+3k2+1×则直线l的方程为y=±x+1.结合图形,分析圆的圆心、半径所具备的几何特征,依据这些特征列出关于a,b,r的方程组求解.变式训练4:一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x被圆所截得的弦长为27,则此圆的方程为.

解析:因为圆与y轴相切,且圆心在直线x-3y=0上,所以设圆心坐标为(3b,b),圆的半径为3|b|,故圆的方程为(x-3b)2+(y-b)2=9b2.又因为直线y=x被圆所截得的弦长为27,所以(|3b-b|2)2+(7)故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.答案:(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=91.将直线x+y=1绕点(1,0)逆时针旋转90°后与圆x2+(y-1)2=r2(r>0)相切,则r的值是(B)(A)22 (B)2 (C)3解析:将直线x+y=1绕点(1,0)逆时针旋转90°后,所得直线的方程为x-y=1.又圆的圆心坐标为(0,1),故直线与圆相切时,有r=|0-1-12.已知点P(x,y)在圆x2+y2=1上,则(x(A)2 (B)22 (C)1 (D)2+1解析:(x-1)23.设A为圆C:(x+1)2+y2=4上的动点,PA是圆C的切线,且|PA|=1,则点P的轨迹方程是.

解析:由题意知CA⊥PA,所以|CP|2=|CA|2+|PA|2.因为C(-1,0),|CA|=2,|PA|=1,设点P的坐标为(x,y),则(x+1)2+y2=5.答案:(x+1)2+y2=54.已知直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9相交于A,B两点,则△AOB(O为坐标原点)的面积为.

解析:圆心坐标为(2,-3),半径r=3,圆心到直线x-2y-3=0的距离d=5,弦长|AB|=2r2-d2=4.又原点(0,0)到AB所在直线的距离h=35,所以△AOB的面积为S=12×答案:6[例1](2020·合肥一中高二检测)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆截直线x+ay+2=0所得弦长的最小值等于()(A)23 (B)43 (C)13 (D)213解析:因为圆心在弦AC的中垂线上,所以设圆心P的坐标为(m,-2).因为r2=|AP|2=|BP|2,即r2=(1-m)2+(3+2)2=(4-m)2+(2+2)2,解得m=1,所以P(1,-2),r=5.又直线x+ay+2=0过定点Q(-2,0),所以当直线PQ与弦垂直时,弦长最短.此时弦长为2r2-|PQ|2所以直线x+ay+2=0被圆截得弦长的最小值为43.故选B.[例2](2020·四川广安高二月考)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.

解析:圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r=2,如图.若圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则这四个点应在直线的两侧,每侧各有两个点.所以此时直线与圆相交,只需要使得直线截得的劣弧上有两个点到直线的距离为1即可.设