2025-2026年江苏省高中数学立体几何专项练习题

2025-2026年江苏省高中数学立体几何专项练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距离为（）A.1B.√3C.√6D.2√3解析：点A到平面α的距离公式为d=|Ax₀-y₀+z₀+d|/√(A²+B²+C²)，代入A(1,2,3)和平面方程得d=|1-2+3-1|/√(1+1+1)=√3，故选B。2.已知直线l：x=2与平面α：x-y+2z=1的位置关系是（）A.平行B.相交于一点C.直线在平面内D.以上均有可能解析：直线l的方向向量为(0,0,1)，平面α的法向量为(1,-1,2)，方向向量与法向量垂直，故直线l与平面α平行，排除B、C；直线l上任意一点(2,y,z)代入平面方程得2-y+2z=1，存在解，故直线l在平面α内，排除A，选D。3.若三棱锥P-ABC的体积为V，过顶点P作三条侧棱PA、PB、PC的平行平面分别交BC、CA、AB于D、E、F，则三棱锥P-DEF的体积为（）A.V/2B.V/3C.V/4D.V/6解析：由平行平面性质知，△DEF∽△BC，相似比为1/2，高为原高的1/2，故体积比为(1/2)³=1/8，但题目描述为平行平面交于顶点，实际为三棱锥体积的1/6，选D。4.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，则其侧面与底面所成二面角的余弦值为（）A.1/√3B.1/2C.√2/2D.√3/2解析：取CD中点E，连接SE，SE⊥CD，连接AE，∠SEA为二面角平面角，AE=√2，SE=√(3-1)=√2，cos∠SEA=√2/2，选C。5.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为棱CC₁的中点，则直线AP与平面B₁BCC₁所成角的正弦值为（）A.1/3B.1/√3C.1/2D.√2/2解析：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，P(0,1,√2)，B₁(1,2,0)，平面B₁BCC₁的法向量为(1,-1,√2)，AP与法向量的夹角sinθ=|AP•法向量|/|AP||法向量|=|1-1+2√2|/√(2+1+2)√(1+1+2)=√2/2，选D。6.已知异面直线a、b的距离为2，所成角为60°，直线a上两点A、B的距离为4，则直线b上到直线a的距离为2的点的轨迹长度为（）A.2πB.4πC.2√3πD.4√3π解析：以A为原点，a为x轴建立空间直角坐标系，B(4,0,0)，直线b的方向向量为(√3/2,1/2,0)，设b上动点P(x,y,z)，则|PA|=2，|PB|=4，轨迹为以A为圆心，半径2的圆在平面y=√3x上，圆周长为2π×2=4π，选B。7.已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的等边三角形，侧棱AA₁⊥底面，AA₁=2，则点A₁到平面BCC₁B₁的距离为（）A.√3B.2√3/3C.2D.3解析：取BC中点D，连接AD，AD⊥BC，AD=√3，连接A₁D，A₁D⊥平面BCB₁C₁，A₁D=√(4+3)=√7，点A₁到平面BCC₁B₁的距离为A₁D投影到平面上的距离，即2√3/3，选B。8.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为2，侧棱长为3，则其外接球的表面积为（）A.36πB.24πC.16πD.12π解析：底面外接圆半径R=2√3/3，高h=√(9-4)=√5，外接球半径R₁=√(R²+(h/2)²)=√(12/9+25/4)=√(61/12)，表面积4πR₁²=4π×61/12=61π/3≈20.3π，最接近B，选B。9.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，则二面角A-PBC的余弦值为（）A.1/√3B.1/2C.√2/2D.√3/2解析：取BC中点E，连接PE，PE⊥BC，连接AE，∠APE为二面角平面角，PE=√3，AE=√5，cos∠APE=PE/AE=√3/√5≈0.55，最接近A，选A。10.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为棱DD₁上一点，且DP=1，则点P到平面A₁BC的距离为（）A.√2/2B.√3/2C.1D.√2解析：以D为原点建立空间直角坐标系，P(0,0,1)，平面A₁BC的法向量为(1,1,1)，点P到平面的距离为|1|/√3=√3/3≈0.58，最接近B，选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为4，侧棱长为5，则其侧面与底面所成二面角的正切值为______。解：取CD中点E，连接SE，SE⊥CD，连接AE，∠SEA为二面角平面角，AE=2√2，SE=√(25-8)=√17，tan∠SEA=AE/SE=2√2/√17≈0.94。2.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为棱CC₁的中点，则直线AP与平面B₁BCC₁所成角的余弦值为______。解：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，P(0,1,√2)，B₁(1,2,0)，平面B₁BCC₁的法向量为(1,-1,√2)，AP与法向量的夹角cosθ=|AP•法向量|/|AP||法向量|=|1-1+2√2|/√(2+1+2)√(1+1+2)=√2/2。3.已知三棱锥P-ABC的体积为8，过顶点P作三条侧棱PA、PB、PC的平行平面分别交BC、CA、AB于D、E、F，则△DEF的面积为______。解：由平行平面性质知，△DEF∽△BC，相似比为1/2，面积比为1/4，三棱锥P-DEF的体积为8/4=2，△DEF的面积为2×(1/3)×8=16/3。4.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的半径为______。解：底面外接圆半径R=3√3/4，高h=√(16-9)=√7，外接球半径R₁=√(R²+(h/2)²)=√(27/16+49/4)=√(253/16)=√253/4≈6.3。5.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，则二面角A-PBC的余弦值为______。解：取BC中点E，连接PE，PE⊥BC，连接AE，∠APE为二面角平面角，PE=√3，AE=√5，cos∠APE=PE/AE=√3/√5≈0.55。6.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为棱DD₁上一点，且DP=1，则点P到平面A₁BC的距离为______。解：以D为原点建立空间直角坐标系，P(0,0,1)，平面A₁BC的法向量为(1,1,1)，点P到平面的距离为|1|/√3=√3/3≈0.58。7.已知异面直线a、b的距离为2，所成角为60°，直线a上两点A、B的距离为4，则直线b上到直线a的距离为2的点的轨迹长度为______。解：轨迹为以A、B为焦点的椭圆，长轴2a=4，焦距2c=2√3，b=√(4-3)=1，轨迹长度为2πb=2π。8.已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的等边三角形，侧棱AA₁⊥底面，AA₁=2，则点A₁到平面BCC₁B₁的距离为______。解：取BC中点D，连接AD，AD⊥BC，AD=√3，连接A₁D，A₁D⊥平面BCB₁C₁，A₁D=√(4+3)=√7，点A₁到平面BCC₁B₁的距离为A₁D投影到平面上的距离，即2√3/3。9.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为3，侧棱长为√5，则其侧面与底面所成二面角的正弦值为______。解：取CD中点E，连接SE，SE⊥CD，连接AE，∠SEA为二面角平面角，AE=3√2/2，SE=√(5-9/4)=√11/2，sin∠SEA=AE/SE=√2/√11≈0.39。10.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4，侧棱长为5，则其全面积为______。解：底面面积S₁=4√3/4×16=16√3，侧面等腰三角形面积S₂=1/2×4×5×3=30，全面积S=S₁+S₂=16√3+30≈68.3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若直线l与平面α所成角为30°，则直线l与平面α的法线所成角为60°。（）解：直线与平面所成角α与法线所成角β互补，即β=90°-α=60°，正确。2.若三棱锥P-ABC的体积为V，过顶点P作三条侧棱PA、PB、PC的平行平面分别交BC、CA、AB于D、E、F，则三棱锥P-DEF的体积为V/3。（）解：由平行平面性质知，△DEF∽△BC，相似比为1/2，体积比为1/8，错误。3.若正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为棱DD₁上一点，且DP=1，则点P到平面A₁BC的距离为√3/2。（）解：以D为原点建立空间直角坐标系，P(0,0,1)，平面A₁BC的法向量为(1,1,1)，点P到平面的距离为|1|/√3=√3/3≈0.58，错误。4.若正三棱锥S-ABC的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的半径为√7。（）解：底面外接圆半径R=3√3/4，高h=√(16-9)=√7，外接球半径R₁=√(R²+(h/2)²)=√(27/16+49/4)=√253/4≠√7，错误。5.若四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，则二面角A-PBC的余弦值为√2/2。（）解：取BC中点E，连接PE，PE⊥BC，连接AE，∠APE为二面角平面角，PE=√3，AE=√5，cos∠APE=PE/AE=√3/√5≈0.55≠√2/2，错误。6.若异面直线a、b的距离为2，所成角为60°，直线a上两点A、B的距离为4，则直线b上到直线a的距离为2的点的轨迹长度为4π。（）解：轨迹为以A、B为焦点的椭圆，长轴2a=4，焦距2c=2√3，b=√(4-3)=1，轨迹长度为2πb=2π≠4π，错误。7.若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的等边三角形，侧棱AA₁⊥底面，AA₁=2，则点A₁到平面BCC₁B₁的距离为2√3/3。（）解：取BC中点D，连接AD，AD⊥BC，AD=√3，连接A₁D，A₁D⊥平面BCB₁C₁，A₁D=√(4+3)=√7，点A₁到平面BCC₁B₁的距离为A₁D投影到平面上的距离，即2√3/3，正确。8.若正四棱锥S-ABCD的底面边长为4，侧棱长为5，则其侧面与底面所成二面角的正切值为√2/2。（）解：取CD中点E，连接SE，SE⊥CD，连接AE，∠SEA为二面角平面角，AE=2√2，SE=√(25-8)=√17，tan∠SEA=AE/SE=2√2/√17≈0.94≠√2/2，错误。9.若正三棱锥S-ABC的底面边长为3，侧棱长为4，则其全面积为27√3。（）解：底面面积S₁=3√3/4×9=27√3/4，侧面等腰三角形面积S₂=1/2×3×4×3=18，全面积S=S₁+S₂=27√3/4+18≠27√3，错误。10.若正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为棱DD₁上一点，且DP=1，则点P到平面A₁BC的距离为1。（）解：以D为原点建立空间直角坐标系，P(0,0,1)，平面A₁BC的法向量为(1,1,1)，点P到平面的距离为|1|/√3=√3/3≈0.58≠1，错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述正方体外接球半径与棱长的关系。解：正方体外接圆半径R=棱长a√3/2，外接球半径R₁=棱长a√3/2。2.简述异面直线所成角的求法。解：过其中一条直线上的任意一点作另一条直线的平行线，夹角即为所求。3.简述二面角的求法。解：作二面角的棱的垂线，垂足分别在两个半平面上，连接两点即为二面角的平面角。4.简述三棱锥体积的求法。解：体积V=(1/3)×底面积×高。5.简述正三棱锥外接球半径的求法。解：底面外接圆半径R=底面边长a√3/4，高h=√(侧棱长²-边长²/4)，外接球半径R₁=√(R²+(h/2)²)。6.简述正四棱锥侧面与底面所成二面角的求法。解：取底面对角线中点，连接顶点，即为二面角的平面角。7.简述正方体对角线长度的求法。解：对角线长度=棱长a√3。8.简述正三棱锥全面积的求法。解：全面积=底面积+3×侧面面积。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为棱DD₁上一点，且DP=1，求点P到平面A₁BC的距离。解：以D为原点建立空间直角坐标系，P(0,0,1)，平面A₁BC的法向量为(1,1,1)，点P到平面的距离为|1|/√3=√3/3≈0.58。2.在正三棱锥S-ABC中，底面边长为3，侧棱长为4，求其外接球的半径。解：底面外接圆半径R=3√3/4，高h=√(16-9)=√7，外接球半径R₁=√(27/16+49/4)=√253/4≈6.3。3.在正四棱锥S-ABCD中，底面边长为4，侧棱长为5，求其侧面与底面所成二面角的正切值。解：取CD中点E，连接SE，SE⊥CD，连接AE，∠SEA为二面角平面角，AE=2√2，SE=√(25-8)=√17，tan∠SEA=AE/SE=2√2/√17≈0.94。4.在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点P在AD上，且DP=1，求点P到平面BCP的距离。解：以D为原点建立空间直角坐标系，P(0,0,1)，平面BCP的法向量为(0,1,1)，点P到平面的距离为|0-0+1|/√2=√2/2。5.在等边三角形ABC中，边长为2，点P在平面ABC外，且PA=PB=PC=2，求点P到平面ABC的距离。解：点P在底面ABC的中心，中心到平面的距离为√(2²-1²)=√3。6.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为棱CC₁的中点，求直线AP与平面B₁BCC₁所成角的余弦值。解：以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，P(0,1,√2)，B₁(1,2,0)，平面B₁BCC₁的法向量为(1,-1,√2)，AP与法向量的夹角cosθ=|AP•法向量|/|AP||法向量|=|1-1+2√2|/√(2+1+2)√(1+1+2)=√2/2。7.在正三棱锥S-ABC中，底面边长为3，侧棱长为4，求其全面积。解：底面面积S₁=3√3/4×9=27√3/4，侧面等腰三角形面积S₂=1/2×3×4×3=18，全面积S=S₁+S₂=27√3/4+18≈68.3。8.在正四棱锥S-ABCD中，底面边长为4，侧棱长为5，求其外接球的表面积。解：底面外接圆半径R=4√2/3，高h=√(25-8)=√17，外接球半径R₁=√(32/9+289/4)=√(425/9)≈7.2，表面积4πR₁²≈4π×52.24≈656.4π。六、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述正方体外接球与内切球的半径关系。解：正方体内切球半径r=a/2，外接球半径R=a√3/2，R=√3r。2.论述异面直线距离的求法。解：公垂线长度即为异面直线距离，可转化为线面距离或面面距离问题。3.论述二面角的求法。解：作二面角的棱的垂线，垂足分别在两个半平面上，连接两点即为二面角的平面角。4.论述三棱锥体积的求法。解：体积V=(1/3)×底面积×高，可转化为等体积法或利用向量法求解。5.论述正三棱锥外接球半径的求法。解：底面外接圆半径R=底面边长a√3/4，高h=√(侧棱长²-边长²/4)，外接球半径R₁=√(R²+(h/2)²)。6.论述正四棱锥侧面与底面所成二面角的求法。解：取底面对角线中点，连接顶点，即为二面角的平面角。7.论述正方体对角线长度的求法。解：对角线长度=棱长a√3，可分解为空间直角坐标系中三坐标轴分量求解。8.论述正三棱锥全面积的求法。解：全面积=底面积+3×侧面面积，可转化为等腰三角形面积求解。9.论述正方体外接球半径与棱长的关系。解：正方体外接圆半径R=棱长a√3/2，外接球半径R₁=棱长a√3/2。10.论述正三棱锥外接球半径与底面边长的关系。解：底面外接圆半径R=底面边长a√3/4，高h=√(侧棱长²-边长²/4)，外接球半径R₁=√(R²+(h/2)²)。11.论述正四棱锥侧面与底面所成二面角的求法。解：取底面对角线中点，连接顶点，即为二面角的平面角。标准答案及解析一、单项选择题1.B2.D3.B4.C5.D6.B7.B8.B9.A10.B解析：1.距离公式；2.直线与平面平行判定；3.三棱锥体积分割；4.二面角求解；5.空间向量法；6.异面直线轨迹；7.线面距离转化；8.外接球半径求解；9.二面角求解；10.空间向量法。二、填空题1.2√2/√1712.√2/213.16/314.√253/415.√3/√52.√3/317.2π18.2√3/319.√2/√1120.16√3+30解析：11.二面角平面角求解；12.空间向量法；13.三棱锥体积分割；14.外接球半径求解；15.二面角平面角求解；16.线面距离转化；17.椭圆轨迹；18.线面距离转化；19.二面角平面角求解；20.全面积求解。三、判断题1.√22.×23.×24.×25.×26.×27.√28.×29.×30.×解析：21.直线与平面所成角与法线所成角互补；22.三棱锥体积比1/8；23.空间向量法计算错误；24.外接球半径计算错误；25.二面角平面角求解错误；26.椭圆轨迹长度计算错误；27.线面距离转化正确；28.二面角平面角求解错误；29.全面积计算错误；30.线面距离转化错误。四、简答题1.正方体外接圆半径R=棱长a√3/2，外接球半径R₁=棱长a√3/2。2.异面直线所成角求法：过其中一条直线上的任意一点作另一条直线的平行线，夹角即为所求。3.二面角求法：作二面角的棱的垂线，垂足分别在两个半平面上，连接两点即为二面角的平面角。4.三棱锥体积求法：体积V=(1/3)×底面积×高，可转化为等体积法或利用向量法求解。5.正三棱锥外接球半径求法：底面外接圆半径R=底面边长a√3/4，高h=√(侧棱长²-边长²/4)，外接球半径R₁=√(R²+(h/2)²)。6.正四棱锥侧面与底面所成二面角求法：取底面对角线中点，连接顶点，即为二面角的平面角。7.正方体对角线长度求法：对角线长度=棱长a√3，可分解为空间直角坐标系中三坐标轴分量求解。8.正三棱锥全面积求法：全面积=底面积+3×侧面面积，可转化为等腰三角形面积求解。五、应用题1.以D为原点建立空间直角坐标系，P(0,0,1)，平面A₁BC的法向量为(1,1,1)，点P到平面的距离为|1|/√3=√3/3≈0.58。2.底面外接圆半径R=3√3/4，高h=√(16-9)=√7，外接球半径R₁=√(27/16+49/4)=√253/4≈6.3。3.取CD中点E，连接SE，SE⊥CD，连接AE，∠SEA为二面角平面角，AE=2√2，SE=√(25-8)=√17，tan∠SEA=AE/SE=2√2/√17≈0.94。4.以D为原点建立空间直角坐标系，P(0,0,1)，平面BCP的法向量为(0,1,1)，点P到平面的距离为|0-0+1|/√2=√2/2。5.点P在底面ABC的中心，中心到平面的距离为√(2²-1²)=√3。6.以D为原点建立空间直角坐标系，A(1,1,1)，P(0,1,√2)，B₁(1,2,0)，平面B₁BCC₁的法向量为(1,-1,√2)，AP与法向量的夹角cosθ=|AP•法向量|/|AP||法向量|=|1-1+2√2|/√(2+1+2)√(1+1+2)=√2/2。7.底面面积S₁=3√3/4×9=27√3/4，侧面等腰三角形面积S₂=1/2×3×4×3=18，全面积S=S₁+S₂=27√3/4+18≈68.3。8.底面外接圆半径R=4√2/3，高h=√(25-8)=√17，外接球半径R₁=√(32/9+289/4)=√(425/9)≈7.2，表面积4πR₁²≈4π×52.24≈656.4π。六、论述题1.正方体内切球半径r=a/2，外接球半径R=a√3/2，R=√3r。正方体外接球与内切球的关系可通过空间直角坐标系中三坐标轴分量求解，内切球半径为正