新教材人教b版选择性必修第二册3.1.2第一课时排列及排列数公式学案

3．排列与排列数第一课时排列及排列数公式新课程标准解读核心素养1.通过实例，理解排列的概念数学抽象2.能利用计数原理推导排列数公式数学运算3.能够运用排列知识解决一些简单的实际应用问题逻辑推理两个同学从写有数字1，2，3，4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．[问题](1)从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数？(2)从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？知识点一排列的定义一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列．eq\a\vs4\al()1．排列的定义包括三个方面：(1)取出元素；(2)排列中的元素互不相同；(3)按一定的顺序排列．2．两个排列必须同时满足下列两个条件时它们才是相同的：(1)排列中的元素完全相同；(2)元素的排列顺序也相同．如何判断一个具体问题是否为排列问题？提示：判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．知识点二排列数的定义从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示.知识点三排列数公式1．Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)…(n－m＋1)，其中n，m∈N，且m≤n.2．Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,（n－m）！)，其中n，m∈N，且m≤n.我们把正整数由1到n的连乘积，读作n的阶乘，用eq\a\vs4\al(n！)表示，规定0！＝eq\a\vs4\al(1)．eq\a\vs4\al()1．运用排列数公式计算的注意点连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．2．排列与排列数的区别“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是数，而是具体的一件事；而“排列数”是上述完成这件事所有不同的排列个数，它是一个数．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．()(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．()(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．()(4)从3，5，7，9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．()(5)从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2．18×17×16×…×12×11等于()A．Aeq\o\al(8,18) B．Aeq\o\al(9,18)C．Aeq\o\al(10,18) D．Aeq\o\al(11,18)解析：选A18×17×16×…×12×11＝eq\f(18！,10！)＝eq\f(18！,（18－8）！)＝Aeq\o\al(8,18).3．Aeq\o\al(2,4)＝________，Aeq\o\al(3,3)＝________．解析：Aeq\o\al(2,4)＝4×3＝12；Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6.答案：126排列概念的辨析[例1]判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．[解](1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．eq\a\vs4\al()判断一个具体问题是否为排列问题的方法[跟踪训练]指出下列是否为排列问题：(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解：(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，因为每本书是不同的，存在顺序问题，是排列问题．(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，不是排列问题.排列数公式及应用[例2]根据要求完成下列各题：(1)计算：eq\f(Aeq\o\al(5,9)＋Aeq\o\al(4,9),Aeq\o\al(6,10)－Aeq\o\al(5,10))；(2)解不等式：Aeq\o\al(x,9)＞6Aeq\o\al(x－2,9)；(3)求证：(n＋1)！－n！＝n·n！.[解](1)法一：eq\f(Aeq\o\al(5,9)＋Aeq\o\al(4,9),Aeq\o\al(6,10)－Aeq\o\al(5,10))＝eq\f(9×8×7×6×5＋9×8×7×6,10×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6)＝eq\f(（5＋1）×9×8×7×6,（5－1）×10×9×8×7×6)＝eq\f(6,40)＝eq\f(3,20).法二：eq\f(Aeq\o\al(5,9)＋Aeq\o\al(4,9),Aeq\o\al(6,10)－Aeq\o\al(5,10))＝eq\f(5Aeq\o\al(4,9)＋Aeq\o\al(4,9),50Aeq\o\al(4,9)－10Aeq\o\al(4,9))＝eq\f(6Aeq\o\al(4,9),40Aeq\o\al(4,9))＝eq\f(3,20).法三：eq\f(Aeq\o\al(5,9)＋Aeq\o\al(4,9),Aeq\o\al(6,10)－Aeq\o\al(5,10))＝eq\f(\f(9！,4！)＋\f(9！,5！),\f(10！,4！)－\f(10！,5！))＝eq\f(5×9！＋9！,5×10！－10！)＝eq\f(6×9！,4×10！)＝eq\f(3,20).(2)原不等式可化为eq\f(9！,（9－x）！)＞eq\f(6×9！,（9－x＋2）！)，其中2＜x≤9，x∈N*，即x2－21x＋104＞0，整理得(x－8)(x－13)＞0，解得x＜8或x＞13.又∵2＜x≤9，x∈N*，∴2＜x＜8，x∈N*.故x＝3，4，5，6，7.(3)证明：∵(n＋1)！－n！＝(n＋1)·n！－n！＝(n＋1－1)n！＝n·n！，所以原等式成立．eq\a\vs4\al()应用排列数公式的方法及注意点将连续正整数的乘积转化为排列数时，关键是搞清楚其中的最大因数以及因数的个数．求解与排列数有关的方程或不等式时，通常是利用阶乘形式的排列数公式，将方程或不等式通过通分、约分等化简为普通方程或不等式，然后进行求解．但务必注意排列数Aeq\o\al(m,n)中，m，n∈N，且m≤n这一隐含条件，根据这一隐含条件对求出的未知数进行取舍，从而得出原方程或不等式的解．[跟踪训练]解下列方程：(1)Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x)；(2)3Aeq\o\al(x,8)＝4Aeq\o\al(x－1,9).解：(1)由排列数公式，原方程可化为(2x＋1)×2x×(2x－1)×(2x－2)＝140×x×(x－1)×(x－2)，化简得(4x2－35x＋69)(x－1)x＝0，解得x＝3或x＝eq\f(23,4)或x＝1或xx应满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1≥4，2x＋1∈N*，,x≥3，x∈N*，))所以x的取值范围为{x|x≥3，x∈N*}．所以原方程的解为x＝3.(2)由3Aeq\o\al(x,8)＝4Aeq\o\al(x－1,9)，得eq\f(3×8！,（8－x）！)＝eq\f(4×9！,（10－x）！)，所以eq\f(3×8！,（8－x）！)＝eq\f(4×9×8！,（10－x）（9－x）（8－x）！).化简得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.因为0＜x≤8且0＜x－1≤9，所以原方程的解是x＝6.无约束条件的排列问题[例3]用排列数表示下列问题：(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；(2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名新员工，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数．[解](1)从100个两两互质的数中任意取出2个数，分别作为商的分子和分母，由于这些数两两互质，所以商没有相等的个数就是排列数，其排列数Aeq\o\al(2,100)即为商的个数．(2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百数字、十位数字即可，其排列数Aeq\o\al(3,3)，即为四位数个数．(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，其排列数Aeq\o\al(4,5)，即为分配方案数．eq\a\vs4\al()无约束条件的排列问题无约束条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别限制的问题．这一类型题目相对简单，分清元素和位置即可．把m个元素按一定顺序排列到n(n≥m)个位置上，排列数为Aeq\o\al(m,n)，从n个元素中选m个(m≤n)，排列到m个位置上，排列数也是Aeq\o\al(m,n).[跟踪训练]用排列数表示下列问题：(1)利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(2)一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？解：(1)本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故排列数Aeq\o\al(3,4)，即为没有重复数字的三位数．(2)这是6个元素的全排列问题，其排列数Aeq\o\al(6,6)，即为一天的课程的排法种数．1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母；④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选B①是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．2．Aeq\o\al(2,6)＝()A．30 B．24C．20 D．15解析：选AAeq\o\al(2,6)＝6×5＝30.3．若A＝eq\f(n！,3！)(n＞3，n∈N*)，则A＝()A．Aeq\o\al(3,3) B．Aeq\o\al(n,n－3)C．Aeq\o\al(3,n) D．Aeq\o\al(n－3,n)解析：选D易得Aeq\o\al(n－3,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·4＝eq\f(n！,3！)，所以A＝Aeq\o\al(n－3,n).4．现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”“生态”和“环保”三个夏令营活动