几何中的分类讨论解题研究

几何中的分类议论解题研究【前言】假如一个命题的题设或结论不独一确立，有多种可能状况，难以一致解答，就需要按可能出现的各样状况分门别类地加以议论，最后综合概括出问题的正确答案，这类解题方法叫做分类议论法。它是一种比较重要的解题方法，也是最近几年来中考命题的热门内容之一；要用分类议论法解答的数学题目，常常拥有较强的逻辑性、综合性和探究性，既能全面考察学生的数学能力又能考察学生的思想能力，分类议论问题充满了数学辨证思想，它是逻辑区分思想在解决数学识题时的详细运用。初中数学中的分类议论问题常常是学生不简单掌握好的一类问题，学生遇到此类问题经常是不知道要进行分类议论或许知道了要分类议论而无从下手，造成解答此类问题时得分率偏低，分类议论问题主要有：1.代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等；2.几何类：几何有各样图形的地点关系，未明确对应关系的全等或相像的可能对应状况等；3.综合类：代数与几何分类状况的综合运用.【概括】在研究几何问题时，因为图形的变化（图形地点不确立或形状不确立）惹起几何问题结果有多种可能，就需要分类议论，在这里对常有的几种状况进行概括：一、高.方法一：因为三角形的高可在三角形的内部、外面或与边重合，所以在解决问题经常常将三角形分红锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.例1为了美化环境，计划在小区内用120m2的草皮铺设一块一边长为20的等腰三角形绿地，恳求出这个三角形的另两条边长.剖析：由题中已知一边长20m的等腰三角形，可分为底边长为20m或腰长为20m两种状况，如图1由底边长为20m和面积为120m2可求得底边上的高为12m，从而求得两腰长都为261m，由腰长为20m和面积为120m2剖析时难度较大，需考虑将三角形分红锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，直角三角形的状况不建立，可分别获得图2和图3两种状况来研究.AADADBDCBCC如图1B如图3如图2方法二：比率尺绘图法例2小刚玩拼图游戏，所拼成的图形是一个三角形，量得两边长分别为20cm、25cm，第三边上的高为15cm，请你帮助他计算这个图形的面积.在教课中我不单要修业生掌握这类分类方法，同时还要修业生按条件用比率尺绘图，并深入思虑绘图的步骤，使学生不单从表面上理解画两种状况的图形，还可以剖析出为何要画两种状况，让学生思虑能否先画一条直线上的高长为15cm，而后用刻度尺在高的同侧及异侧画出长度为20cm和25cm的线段，这样的图形正确无误更利于学生进一步的思虑.例3有一块梯形菜地，上底、下底不可以直接丈量，但可丈量梯形的高为12m，梯形的两条对角线长分别为15m和20m，试求这块地的面积.本题相对上题难度更大一些，我引领学生不要急于解决问题，而是思虑如何才能画出符合条件的图形，因为有了上题的提示学生能有一些试试，已经学会了这类剖析问题的方法，我指引学生能否先画出距离为12的两条平行线，分别在高的同侧和异侧画出两条对角线，同学们纷繁着手绘图，研究问题的气氛特别浓重，我想这才是我们要达到的目的.二、截图问题：题型相对简单，考察知识点为相像三角形的性质及相像三角形对应高的比等于相像比等.常有题型有：1.直角三角内截等边三角形例4在△ABC中，∠C=90°，BC=15，AC=20，以C为极点，作一个等边三角形，其余两个极点在△ABC的边上，求这个等边三角形的边长.直角三角形内截正方形例5在△ABC中，∠C=90°，BC=15，AC=20，作一个正方形，使它的四个极点都上三角形的边上，求正方形的边长.直角三角形内截矩形例6为了节俭资本，小明的爷爷将一块两直角边长分别为30cm和40cm的直角三角形废镜片割成一块长与宽的比为3﹕2的小长方形镜片，为小明做了一个精巧的小镜子，（要求长方形的各个极点均在直角三角形的边上），请你计算一下长方形镜片的长与宽各为多少厘米？剖析：本题不单要考虑矩形的两边分别在直角三角形的直角边和斜边上，还要考虑已知条件长与宽的比为3﹕2，由此获得四种状况的图形.AAAAGEGDEFDFDDCFBCFBCEBCEB4.正方形内截直角三角形例7正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在正方形的边上（点E、F不与极点重合），AEF是斜边等于5的直角三角形，且∠EAF≠90°，求BE的长.5.正方形内截等腰梯形例8在边长为了8的正方形内截一个上底为4，下底为6的等腰梯形，其各极点在正方形的边上，求截得的等腰梯形的面积.6.矩形内截等腰三角形例9矩形ABCD中，AB=8，BC=25，点O在BC边上，BO=7，点M在线段OC上且OM=8，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在矩形的一边上，求AP的长.7.梯形内截等腰三角形例10（2008.黑龙江）有一底角为60°的直角梯形，上底长为10cm，以上底或与底垂直的腰为一边作三角形，使三角形的另一边长为

10cm，与底垂直的腰长为15cm，第三个顶点落在下底上，请计算所作的三角形的面积

.在解题时，我抓住绘图是解题的重点这一特色，

让学生掌握内部截等边三角形时分别以现有图形的各边为作等边三角形，

内部截正方形时分别以直角边和斜边为边作正方形，

内部截等腰梯形时要考虑它的轴对称性分别在边和对角线上研究.三.外拼问题：1.等边三角形外拼等腰三角形例11张大爷家的耕地为四边形ABCD，∠BAD=105°，AB=20m，若张大爷沿对角线AC把地分给两个儿子，此中耕地△ABC恰巧为等边三角形，另一块耕地△ADC恰巧为等腰三角形，求耕地△ADC的面积.剖析：本题的重点是要学生掌握从△ADC为等腰三角形这一条件出发，可得AC=AD、AC=CD、AD=CD这三种状况（如图），由∠BAD=105°可得∠CAD=45°，所此后两种图形都是等腰直角三角形，所以我要修业生画图尽量标准，这样在解题过程中才能防止失误.BBBCCCADADAD2.等腰直角三角形外拼等腰直角三角形例12（2010.黑龙江）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC外面作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为多少？3.直角三角形外拼直角三角形组成等腰三角形例13（2009.黑龙江）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为

6m、8m，现在要将绿地扩建成等腰三角形，且扩大部分是以

8m

为直角边的直角三角形，求扩建后，等腰三角形绿地的周长

.4.直角三角形外拼直角三角形组成相像图形例14有一块直角三角形绿地，它的两条直角边长分别为3m和4m，现要将其扩大成四边形，扩大