物理电磁学第四章磁场磁力

第四章稳恒磁场第三节安培环路定理本节讲授一．磁力线

像电力线一样，对于磁场可以用磁力线来形象地描述磁场的分布。所谓磁力线，就是一簇假想的曲线，其曲线上任一点的切线方向与该点B的方向相同。由实验和右手螺旋法则可得几种典型载流导线的磁力线如图所示。由图可见：

(1)磁力线是无头无尾的闭合曲线，不像电力线那样有头有尾，起于正电荷，终于负电荷，所以稳恒磁场是无源场。(2)磁力线总是与电流互相套合，所以稳恒磁场是有旋场。(3)磁力线的方向即磁感应强度的方向，磁力线的疏密即磁场的强弱。

规定：通过磁场中某点处垂直于矢量的单位面积的磁感应线数等于该点矢量的量值。磁感应线越密，磁场越强；磁感应线越稀，磁场就越弱，磁感线的分布能形象地反映磁场的方向和大小特征。

像定义电通量Φe一样，定义：垂直通过某曲面磁力线的条数叫磁通量，用Φm表示，

Φm＝单位是韦伯(Wb)，1Wb=1T·m。二.磁通量dSn对于闭合曲面，一般规定外法线为正，所以穿出曲面的磁通量为正，进入曲面的磁通量为负。

三.高斯定理

由于磁力线是无头无尾的闭合曲线，所以对于任何一个闭合曲面，若有多少条磁力线进入闭合曲面，就必然有多少条磁力线穿出闭合曲面，因此通过任意闭合曲面的磁通量Φm恒为零，这就是稳恒磁场高斯定理，其表达式为

磁场高斯定理是表征磁场性质的一条重要定理，它说明稳恒磁场是无源场，与静电场的性质不同。

高斯定理的积分形式1.包围电流的是圆形环路

在静电场中我们学习过，,现在我们来求稳恒磁场中磁感应强度B的环量。四．安培环路定理如图所示，环路方向与电流的磁场方向一致，则∮

=∮Bdl

=∮dl=μ0I为简单计，这里仅以载流无限长直导线，并且环路都在与导线垂直的平面内为例加以说明。2.包围电流的是任意曲线环路由几何关系得：在环路上任取一点，到电流的距离为r，磁感应强度的大小：3.如果沿同一路径但改变环路绕行方向积分：负值！I为负值I为正值绕行方向

电流I的正负规定：积分路径的绕行方向与电流成右手螺旋关系时,电流I为正值；反之I为负值。

4.包围电流的曲线不在垂直于导线的平面内：结果一样！结果为零！

表明：闭合曲线不包围电流时，磁感应强度矢量的环流为零。5.若环路不包围电流由上面的结果知

=d=-d即+=06.若环路包围多根载流导线，

设电流为I1，I2…Im共m根被环路包围，而电流为Im+1，Im+2，…Im+n,共n根未被环路包围，则由场强叠加原理得这就是安培环路定理。安培

安培环路定理可由毕--沙定律给予普遍证明，表明:磁感应强度沿任一闭合曲线的积分(环量)，等于穿过以这个闭合曲线为边界的任意曲面的电流代数和的μ０倍.

磁场环路定理和电场环路定理相对应，但在理解和应用中又与电场高斯定理相类似。

①磁场环路定理是反映磁场性质的一个普遍定理，它表明稳恒磁场是电流决定的。③磁场环路定理中所指电流是闭合电流，而不是闭合电流的某一段，因此它不能象毕萨定律那样适用于电流元或一段电路。④ΣI是电流的代数和，必须按右手螺旋法则确定正负，若ΣI＝0，未必环路内无电流。⑤∑I＝0，则环量为零，但并不一定环路上的B都为零。⑥环路定理为计算磁感应强度B提供了一种很简便的方法。

几点注意：

环流虽然仅与所围电流有关，但磁场却是所有电流在空间产生磁场的叠加。任意形状稳恒电流，安培环路定理都成立。

安培环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒定磁场，恒定电流本身总是闭合的，因此安培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线。

静电场的高斯定理说明静电场为有源场，环路定理又说明静电场无旋；稳恒磁场的环路定理反映稳恒磁场有旋，高斯定理又反映稳恒磁场无源。5.利用环路定理求B

安培环路定理是一个普遍的定理，但由该定理求磁场却像利用高斯定理求E一样，由于数学上的原因，只有磁场分布具有对称性，也即电流分布具有一定的对称性时才可应用。因此解算时的步骤和关键也是两点：

(1)对称性分析，通过分析要基本知道磁场分布。

(2)适当选取环路，其原则与选高斯面相似：①环路必须过场点，且为规则曲线；

②环路方向或与B的方向相同或垂直；③最好B是常量，可提到积分号前面，以便于积分。

解：设圆柱电流呈轴对称分布，导线可看作是无限长的，磁场对圆柱形轴线具有对称性。当导线外的磁场与长直载流导线激发磁场相同！例题1.长直圆柱形载流导线的磁场

当，且电流均匀分布在圆柱形导线表面层时

当，且电流均匀分布在圆柱形导线截面上时

在圆柱形载流导线内部，磁感应强度和离开轴的距离r成正比！

解：设螺线管长度为l,共有N匝。例题2.载流长直螺线管内的磁场

解：设环上线圈的总匝数为N，电流为I。例题3.载流螺绕环内的磁场

例题4.如图所示的是一根外半径为R１的无限长圆柱形导体管，管内空心部分的半径为R２。空心部分的轴线与圆柱的轴线相平行但不重合，两轴线间距离为a，且a＞R２，现有电流I沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行，试求：圆柱轴线上和空心部轴线上的磁感应强度。

解:本题的关键是空心部分的存在使场的分布失去对称性，为此可采用“填补法”来处理，即将空心部分填补上与大圆柱电流密度相同的正反向电流R１R２ao2o1±j，这样在计算B时只要用填充后的圆柱产生的场强减去填补部分所产生的场强即可。

B=(2)同理可得空心部分轴线上的磁感应强度B=可见，合理运用已知结果，巧妙运用叠加原理对处理问题是十分有用的。

①由题知,圆柱上电流密度j=

圆柱轴线上的磁感强度B=B大-B小，由于I在大圆柱轴线上产生的场B=0，故圆柱轴线上的B流经空心部分的反向电流I小＝πR22

流经填补后的大圆柱电流I大＝πR12

例5.电流均匀地流过一无限大平面导体薄板，已知单位宽度上的电流密度为j，求空间任意一点的磁感应强度。

解：设导体薄板上电流密度j的方向沿薄板坚直向上，如图所示，我们作一个垂直于电流密度j的平面S，这个平面也必定垂直于导体薄板。由于在这无限大薄板上的电流密度是均匀分布的，所以

电流在平面S上的磁感应线一定是平行于薄板的直线，薄板两侧的磁感应强度B的方向相反。在平面S上取一矩形CDEF回路，其中矩形边CD和