2022年中考数学复习压轴专题难题训练全套（题目+解析版）

2022年中考数学二轮复习压轴专题

《二次函数》习题

1.如图，平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上(点A在点B的左侧)，点C在第一象限,

2

满足NACB为直角，且恰使△0CAS/\0BC,抛物线y=ax-8ax+12a(a<0)经过A、B、

C三点.

(1)求线段OB、0C的长.

(2)求点C的坐标及该抛物线的函数关系式；

(3)在x轴上是否存在点P,使4BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P

点的坐标：若不存在，请说明理由.

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12

2.直线y=-，x+2与X轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x+bx+c经过A、B两

点.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)若P是直线AB上方抛物线上一点；

①当4PBA的面积最大时，求点P的坐标；

②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q,在直线AB上是否存在点M,使

得直线QM与直线BA的夹角是ZQAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在,

请说明理由.

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112

3.如图已知直线y=2X+2与抛物线y=ax+bx+c相交于A(-1,0),B(4,m)两点，抛

23

物线y=ax+bx+c交y轴于点C(0,-工)，交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当4PAB的面积最大时，求4PAB的面积

及点P的坐标；

(3)若点Q为x轴上一动点，点N在抛物线上且位于其对称轴右侧，当aOMN与4MAD

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4.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛

2

物线的解析式为y=ax+bx.

(1)如图1,若抛物线经过A,D两点，直接写出A点的坐标；抛物线的对称轴为

直线；

(2)如图2:①若抛物线经过A、C两点，求抛物线的表达式.

②若点P为线段AB上一动点，过点P作PELAB交AC于点E,过点E作EFJLAD于点F

交抛物线于点G.当线段EG最长时，求点E的坐标；

(3)若a=-1,且抛物线与矩形ABCD没有公共点，直接写出b的取值范围.

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2

5.如图，直线y=x-1与抛物线y=-x+6x-5相交于A、D两点.抛物线的顶点为C,连

结AC.

(1)求A,D两点的坐标；

(2)点P为该抛物线上一动点(与点A、D不重合)，连接PA、PD.

①当点P的横坐标为2时，求4PAD的面积；

②当NPDA=NCAD时，直接写出点P的坐标.

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12

7.如图1,抛物线y=2x+mx+4m与x轴交于点A(x10)和点B(x2,0),与y轴交于点

22

c,且X，，X2满足X，+X2=20,若对称轴在y轴的右侧.

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图2,若点P为线段AB上的一动点(不与A、B重合)，分别以AP、BP为斜边，

在直线AB的同侧作等腰直角三角形4APM和△BPN,试确定4MPN最大时P点的坐标.

(3)若P(x,,y,),Q(gy2)是抛物线上的两点，当a/％Wa+2,5》片时，均有y

Wy,求a的取值范围.

2

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8.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B,C,D的坐标分别(1,0),(3,0),

21

(3,4),以A为顶点的抛物线y=ax+bx+c过点C.动点P从点A出发，以每秒个单

位的速度沿线段AD向点D匀速运动，过点P作PE±x轴，交对角线AC于点N.设点P

运动的时间为t(秒).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若PN分4ACD的面积为1：2的两部分，求t的值；

(3)若动点P从A出发的同时，点Q•从C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点

D匀速运动，点H为线段PE上一点.若以C,Q,N,H为顶点的四边形为菱形，求t的值.

备用图

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9.如图1,过原点的抛物线与X轴交于另一点A,抛物线顶点C的坐标为(2,2V3),其

对称轴交X轴于点B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使4ACD

面积最大时点D的坐标；

(3)在对称轴上是否存在点P,使得点A关于直线OP的对称点A，满足以点0、A、C.A'

为顶点的四边形为菱形.若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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10.已知二次函数丫=—*2普*+4与x轴交于A、B(A在B的左侧)与y轴交于点C,连

图1图2

(1)如图1,点P是直线BC上方抛物线上一点，当aPBC面积最大时，点M、N分别为X、

y轴上的动点，连接PM、PN、MN,求△PMN的周长最小值；

(2)如图2,点C关于x轴的对称点为点E,将抛物线沿射线AE的方向平移得到新的抛

物线y',使得y'交x轴于点H、B(H在B的左侧).将aCHB绕点H顺时针旋转90°至

△CHBL抛物线/的对称轴上有一动点S,坐标系内是否存在一点K,使得以0、C\K、

S为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由.

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11.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax+bx+2(a*0)与x轴交于A(-1,0),

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m(0<m<3),连接CD、

BD、BC、AC,当ABCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；

(3)若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M,使得以B,

C,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；

若不存在，请说明理由.

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2

12.已知抛物线y=ax-2ax+3与x轴交于点A、B(A左B右),且AB=4,与y轴交于C

点.

(D求抛物线的解析式；

(2)如图，证明：对于任意给定的一点P(0,b)(b>3),存在过点P的一条直线交抛

物线于M、N两点，使得PM=MN成立；

(3)将该抛物线在0WxW4间的部分记为图象G,将图象G在直线y=t上方的部分沿y

=t翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为m,最

小值为n,若m-n《6,求t的取值范围.

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2

13.如图，抛物线y=ax+bx-2的对称轴是直线x=1,与x轴交于A,B两点，与y轴交于

点C,点A的坐标为(-2,0)，点P为抛物线上的一个动点，过点P作PDJLx轴于点D,

交直线BC于点E.

(1)求抛物线解析式；

(2)若点P在第一象限内,当0D=4PE时:

①求点D、P、E的坐标；

②求四边形P0BE的面积.

(3)在(2)的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否

存在这样的点M和点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写

出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

备■用图

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14.如图，矩形0ABC中，0为原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为(4,3),

3.2

抛物线y=-8X+bx+c与y轴交于点A,与直线AB交于点D,与x轴交于C,E两点.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，与此同时,

点Q从点A出发，在线段AC上以每秒晟个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达

终点时，另一点也停止运动.连接DP、DQ、PQ,设运动时间为t(秒).

①当t为何值时，△DPQ的面积最小？

②是否存在某一时刻t,使aDPO为直角三角形?

若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由.

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2

15.如图，已知抛物线y=ax+bx+3经过点A(-1,0)、B(3,0),且与y轴交于点C,抛

物线的顶点为D,连接BD,点P是线段BD上的一个动点(不与B、D)重合.

(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；

(2)过点P作PELy轴于点E,求4PBE面积的最大值及取得最大值时P点的坐标；

(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否

存在这样的点M,使得以点B,P,M,N为顶点的四边形是平行四边若存在，请直接写出

点M的坐标：若不存在，请说明理由.

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2022年中考数学二轮复习压轴专题：

《二次函数》解析

1.如图，平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上(点A在点B的左侧)，点C在第一象限,

满足NACB为直角，且恰使△OCASAOBC,抛物线y=ax?-8ax+12a(a<0)经过A、B、

C三点.

(1)求线段OB、0C的长.

(2)求点C的坐标及该抛物线的函数关系式；

(3)在x轴上是否存在点P,使4BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P

解：(1)y=ax-8ax+12a=a(x-6)(x-2),

故0A=2,OB=6,

△OCA^AOBC,则落嘿，gp：OC^OA-OB,

解得：00=273；

(2)过点C作CDJLx轴于点D,

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△0CA-A0BC,则A告C等nA方会9，

DCuc33

设AC=2x,则BC=2«x,而AB=4,

故16二(2x)2+(2V3x)2,解得：x=1,

故AC=2,BC=2.

SAAM=XXACXBC,解得：CD二，

ABXCD=

故0D=3,a

故点C(3,)；

o

将点c的坐标代入抛物线表达圈并懈3a=.

33S,

故抛物线的表达式为：y=-x-4

(3)设点P(m,0),而点B、C弱坐标分别为：(6,0)、(3,73)；

22222

贝IJBC=12,PB=(m-6),PC=(m-3),+3,

当BC=PB时，12=(m-6)：解得：m=6±2“；

当BC=PC时，同理可得：m=6(舍去)或0；

当PB=PC时，同理可得：m=4,

综上点P的坐标为：(6±273.0)或(0,0)或(4,0).

12

2.直线y=-工\+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x+bx+c经过A、B两

点.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)若P是直线AB上方抛物线上一点；

①当4PBA的面积最大时，求点P的坐标；

②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q,在直线AB上是否存在点M,使

得直线QM与直线BA的夹角是NQAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在,

请说明理由.

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解：（1）直线y=-*x+2与X轴交于点A,与y轴交于点B,则点A、B的坐标分别为：

(4,0)、(0,2),

b=

将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：2.

0=-16+4b+c'解得：’

c=2

27

故抛物线的表达式为：y=-X+^x+2;

271

（2）①过点P作y轴的平行线交BC于点N,设P（m,-m+'亍（计2），点N（m,-万时2）,

2712

m+彳川+2+彳01-2)="m+4m,

当m=2时，S最大，此时，点P（2,5）

②点P(2,5),则点Q母5),设点M(a,-#)

4

(I)若：NQMB=2NQAM1,贝IJQM|=AM”

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3212212

则(a-彳)+(^a-3)=(a-4)+(-5a+2),

解得：a二卷7，

o

故点M第)；

1816

(II)若NQMB=2NQAM「

2

则NQM2B=NQM|B,QMJQM2,

作QH_LAB于H,BQ的延长线交X轴于点N,

贝IJtanNBA0=贝IJtanNQNA=2,

OA2

故直线QH表达式中的k为2,

设直线0H的表达式为：y=2x+b,将点Q的坐标代入上式并解得：b=2,

故直线QH的表达式为：y=2x+2,故H(0,2)与B重合，

M?、关于B对称，

综上，点M的坐标为：((，刍或(一《碧.

816816

112

3.如图已知直线y=5x+q与抛物线y=ax+bx+c相交于A(-1,0),B(4,m)两点，抛

23

物线y=ax+bx+c交y轴于点C(0,-^),交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当4PAB的面积最大时，求4PAB的面积

及点P的坐标；

(3)若点Q为x轴上一动点，点N在抛物线上且位于其对称轴右侧，当AOMN与4MAD

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解：⑴将点B(4,m)代入y=/x4,

532

将点A(-1,0),B(4,y),C(0,-~2)代入y=ax+bx+c,

1Q

解得a=—,b=-1,c=-—,

123

，函数解析式为y=2x-x-2;

(2)设P(n,1n2-n-2),

22

11123

则经过点p且与直线y=，x+5垂直的直线解析式为y=-2x+，n+n2'

1112241n』+1、

直线y=5x+5与其垂线的交点G(亏n+亏n-亏，To早元)，

,,,GP=*(-；+3什4),

2

当门二«|时，GP最大，此时4PAB的面积最大,

・•.P母学,

24

•••△PAB的面积=Jxx—I、5;

22416

(3)VM(1,-2),A(-1.0),D(3,0),

；.AM=2&，AB=4,MD=2灭,

.••△MAD是等腰直角三角形，

AQMN与△MAD相似,

•••△QMN是等腰直角三角形，

设N(t,1t!-t-2)

22

①如图1,当MQ_LQN时，N(3,0)；

②如图2,当QN_LMN时，过点N作NR_Lx轴，过点M作MSLRN交于点S,

■.,QN=MN,Z0NM=90°,

.-.△MNS^ANMS(AAS)

123_

.'.t-1=-+t+万，

・・t=

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.,.t>1,

，t=巡，

•■•N(巡，1-遥)；

③如图3,当QNLMQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS〃x轴，过点N作NR〃x轴,

与过M点的垂线分别交于点S、R；

■.-QN=MQ,ZMQN=90",

.,,△MQR^AQNS(AAS),

.'.SQ=QR=2,

123_

t+2=1+21-t-2»

.'.t=5,

•,.N(5,6)；

④如图4,当MN_LNQ时，过点M作MR_Lx轴，过点Q作QS_Lx轴，

过点N作x轴的平行线，与两垂线交于点R、S；

：QN=MN,ZMNQ=90°,

.,.△MNR^ANQS(AAS),

.-.SQ=RN,

123_

.-.t=2±V5,

"t>1,

；.t=2+娓，

•••N(2+75，1+V5);

综上所述：N(3,0)或N(2+V5，1+V5)或N(5,6)或N(m，1-泥).

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s

图3

4.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛

2

物线的解析式为y=ax+bx.

(1)如图1,若抛物线经过A,D两点，直接写出A点的坐标(4,8)；抛物线的对

称轴为直线6；

(2)如图2:①若抛物线经过A、C两点，求抛物线的表达式.

②若点P为线段AB上一动点，过点P作PELAB交AC于点E,过点E作EFLAD于点F

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交抛物线于点G.当线段EG最长时，求点E的坐标；

(3)若a=-1,且抛物线与矩形ABCD没有公共点，直接写出b的取值范围.

解：⑴点A的坐标为：(4,8)；函数的对称轴为：x=*(4+8)=6；

故答案为：(48)；6；

(2)①将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：a=b=4,

12

故抛物线的表达式为：y=-Ex+4x；

②由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=-2x+16；

12

设点E(x,-2x+16),则点G(x,-5x+4x),

1212

EG=-+4x-(-2x+16)=-+6x-16,

当x=6时，EG由最大值为：2,此时点E(2,4)；

2

(3)若a=-1,则抛物线的表达式为：y=-x+bx,

当抛物线过点B和点D时，抛物线与矩形有一个交点，

将点B的坐标代入抛物线表达式得：0=-16+4b,解得：b=4,

将点D的坐标代入抛物线表达式并解得：b=9,

故b的取值范围为：b<4或b>9.

2

5.如图，直线y=x-1与抛物线y=-x+6x-5相交于A、D两点.抛物线的顶点为C,连

结AC.

(1)求A,D两点的坐标；

(2)点P为该抛物线上一动点(与点A、D不重合)，连接PA、PD.

①当点P的横坐标为2时，求APAD的面积；

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②当NPDA=NCAD时，直接写出点P的坐标.

x1=l

解得,

丫1=0

-'.A(1,0),D(4,3)

(2)①过P作PE_Lx轴，与AD相交于点E,

•・•点P的横坐标为2,

••.P(2,3),E(2,1),

.,.PE=3-1=2,

SAPAD(XD-X人)2X(4-1)=3；

②过点D作DP〃AC,与抛物线交于点P,则NPDA=NCAD,

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；y=-x+6x-5=-(x-3)+4,

,.C(3,4),

设AC的解析式为：y=kx+b(k40),

■.'A(1.0),

Jk+b=0

，i3k+b=4'

」k=2

•••AC的解析式为：y-=2x-2,

设DE的解析式为：y=2x+n,

把D(4,3)代入，得3=8+n,

.*.n=-5,

「•DE的解析式为：y=2x-5,

y=2x-5

联立方程组2

y=-x+6x-5

X2=4

解得,

31=-5'卜2=3'

・•・此时P(0,-5),

当P点在直线AD•上方时，延长DP,与y轴交于点F,过F作FG〃AG,FG与AD交于点G,

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设F(0,m),

.；AC的解析式为：y=2x-2,

•,.FG的解析式为：y=2x+m,

联立方程组［片2'丁，

y=x-l

解得，卜f:

(y=-m-2

■■G-m-2),

AFG=V(m+l)2+(2m+2)21FD=V16+(m-3)2-

VFG=FD,

,*V(m+1)+(2m+2)~V16+(m-3)

--■m=-5或1,

：F在AD上方，

>-1,

；.m=1,

.•.F(0.1)t

设DF的解析式为：y=qx+1(q*0),

把D(4,3)代入，得4q+1=3,

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・••DF的解析式为：y="1x+1，

f_1I

联立方程组2

、y=-x2+6x~5

A上工

,X1=4X2-2

y/37'

,此时P点的坐标为(),

综上，p点的坐标为(0,-5)或e，().

6.综合与探究

2

如图，抛物线y=ax+bx+c(a#：0)经过点A、B、C,已知点C(0,4),AAOC^ACOB,

且照=4,点P为抛物线上一点(异于A,B)

(1)求抛物线和直线AC的表达式

(2)若点P是直线AC上方抛物线上的点，过点P作PFLAB,与AC交于点E,垂足为F.当

PE=EF时，求点P的坐标

(3)若点M为x轴上一动点，是否存在点P,使得由B,C,P,M四点组成的四边形为平

行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由

1

解：⑴当=4,贝IJ°A=4℃=8,故点A(-8,0)；

0A2

△AOC^ACOB,则4ABC为直角三角形，

则CO、OA・OB,解得：0B=2,故点B(2,0)；

则抛物线的表达式为：y=a(x-2)(x+8),将点C的坐标代入上式并解得：

_1

a--4,

123

故抛物线的表达式为：y=-4x-5x+4;

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由点A、C的坐标可得直线AC的表达式为：y=/+4;

1231

(2)设点P(x,-量-5x+4),则点E(x,彳x+4),

12311

PE=EF,即-4x-5x+4-yx-4="2X+4;

解得：x=-8(舍去)或-2,

故点P(-2,6)；

123

(3)设点P(m,n),n=-Wm-彳/劣点M(s,0),而点B、C的坐标分别为：(2,0)、

(0,4)；

①当BC是边时，

点B向左平移2个单位向上平移4个单位得到C,

同样点P(M)向左平移2个单位向上平移4个单位得到M(P),

即m-2=s,n+4=0或m+2=s,n-4=0,

解得：m=-6或士A/41-3,

故点P的坐标为：(-6,4)或(倔-3,-4)或(-倔-3,-4)；

②当BC是对角线时，

由中点公式得：2=m+s,n=4,

故点P(-6.4);

综上，点P的坐标为：(-6,4)或(倔-3,-4)或(-V41-3,-4).

12

7.如图1,抛物线y=，x+mx+4m与x轴交于点A(x\0)和点B(x2,0),与y轴交于点

22

c,且X，，X2满足XI+X2=20,若对称轴在y轴的右侧.

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图2,若点P为线段AB上的一动点(不与A、B重合)，分别以AP、BP为斜边，

在直线AB的同侧作等腰直角三角形4APM和ABPM试确定4MPN最大时P点的坐标.

(3)若P(X,,y,),Q的，y2)是抛物线上的两点，当aWx0+2,后盘时，均有y

Wy,求a的取值范围.

2

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解：⑴x+%=-2m,X］、=8m,

222

贝IJx/+x2=(X1+X2)-2x1x2=20,

即(-2m)2-16m=20,

解得：m=5(舍去)或-1；

12

故抛物线的表达式为:V-x-4；

⑵令y=0,贝IJx=-2或4,故点A、B的坐标分^为：(-2,0)、(4,0),•则AB=6；

设：AP=a,贝IJPN=6-a,NMPN=180°-NMPA-NNPB=90°

S~=4XPNXPM

2

=/x近aX^X(6-a)

~2

1,,、

=—a(6-a)

129

=-4(a-3)+4；

.•.当a=3时，Sum最大，此时0P=1,故点P(1,0);

(3)函数的对称轴为x=1,如图,

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x=-2.5和x=£■关于函数对称轴对称，纵坐标均为导，

，O

由图象看，a》-■5^且a+2与Q,

解得：-,WaW-^.

8.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B,C,D的坐标分别(1,0),(3,0)

21

(3,4),以A为顶点的抛物线y=ax+bx+c过点C.动点P从点A出发，以每秒5个单

位的速度沿线段AD向点D匀速运动，过点P作PE±x轴，交对角线AC于点N.设点P

运动的时间为t(秒).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若PN分4ACD的面积为1:2的两部分，求t的值；

(3)若动点P从A出发的同时，点Q•从C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点

D匀速运动，点H为线段PE上一点.若以C,Q,N,H为顶点的四边形为菱形，求t的值.

备用图

解:⑴：四边形ABCD为矩形，且B(1,0),0(3,0)rD(3,4)

•'-A(1.4),

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2

设抛物线的解析式为y=a(x-1)+4,

2

将C(3,0)代入y=a(x-1)+4,

得0=4a+4,

解得a=-1,

22

二抛物线的解析式为y=-(x-1)+4=-x+2x+3；

⑵••・PE^x轴，DCJLx轴，

.-.PE/7DC,

.,.△APN^AADC,

■■,PN分aACD的面积为1:2的两部分,

.S^APN_1_2

,,二嬴一不或可

包里"时延口=返

3J，ADV33'

SAADC

,/AD=2,

3

的值为华

33

当包%=2时空一回=逅

J，

SAADC3ADV33,

：AD=2,

3

的值为孚、2=芈，

33

综上所述，t的值为芈或芈；

33

(3)如图2-1,当CN为菱形的对角线时,

点P,N的横坐标均为1卷t,

设直线AC的解析式为y=kx+b,

将A(1,4),C(3,0)代入y=kx+b,

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Jk+b=4

1寸3k+b=0'

解得忆2,

[b=6

二直线AC的表达式为y=-2x+6,

将点N的横坐标1卷t代入y=-2x+6,

得y=-2(l+-^-t)+6=4-t.

即EN=4-t,

由菱形CQNH可得，CQ=NH=t=CH,

可得EH=(4-t)-t=4-2t,

,•,AP=BE=yt,

•••CE=2-yt,

在RtACHE中，

222

VCE+EH=CH,

•••(2-yt)2+(4-2t)2=t2.

解得，t=患，与=4(舍)；

iJLS

如图2-2,当CN为菱形的边时，

由菱形CQHN可得，CQ=CN=t,

在RtACNE中，

222

,.'NE+CE=CN,

2122

•••(4-t)+(2--21)=t,

解得，t=20-875,t2=20+875(舍)；

综上所述，t的值为得或20-8泥.

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9.如图1,过原点的抛物线与X轴交于另一点A,抛物线顶点C的坐标为（2,2V3）,其

对称轴交X轴于点B.

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(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使4ACD

面积最大时点D的坐标；

(3)在对称轴上是否存在点P,使得点A关于直线OP的对称点A，满足以点0、A、C、A，

为顶点的四边形为菱形.若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解：⑴设抛物线解析式为y=a(x-h)2+k,(a大0)

.•・顶点C(2,2J§),

••y=a(x-2)2+273'

又：图象过原点，

,,a*(0-2)2+2-\/^=0，

解出：a=W导，

y=_^(x-2)2+2如,

Wy=—^-X2+2A/3X；

22

()令y=。，BP-^-X+2V3X=0,

解得：x=0,X=4,

12

•,.A(4,0),

设直线AC的解析式为y=kx+b,

将点A(4,0),C(2,2J§)代入，

14k+b=0

寸12k+b=2行’

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fk=-73

解得

b=4>/?

二直线AC的解析式为y=-V3X+4V3,

过点D作DF〃y轴交AC于点F,

i£D(m,+2V3m).贝UF(m,F^m+4>/^),

-',DF=--^-in2+2^3m-h/3m-4>/§=~^~(m2-6m+8)>

r22

SAACD=^-DF(4-2)=(m-6m+8)=--^-(m-3)+^-.

.•.当m=3时，SA拗有最大值，

当m=3时，y=-^y-X32+6^3=?|^3,

，D(3,-1V3)；

(3)；NCB0=NCBA=90。，OB=AB=2,BC=2V3.

OC=AC=7BC2OB2=4，

.•.0A=0C=AC=4,

•••△AOC为等边三角形，

①如图3-1,当点P在C时，0A=AC=CA，=0A',

二四边形ACA'O是菱形，

.••P(2,2V3)；

②作点C关于x轴的对称点C1当点A，与点(T重合时，OC=AC=AA'=0A',

四边形OCAA’是菱形，

.•.点P是NA0A，的角平分线与对称轴的交点，记为P.

2

y

•••ZB0P?=4zA0A=30°，

'：Z0BP=90°,0B=2,

2

/.OP=2BP2I

2

VZOBP=90°,OB=2,

2

AOP=2BP2,

2

设BP=x,

2

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/.OP=2x,

2

X'--OP2=OB2+BP1,

（2x）2=22+X2,

解得乂1=挈或乂2挈，

OO

•••P（2,-罕）；

O

综上所述，点P的坐标为（2,2毒）或（2,-平）.

O

图3-2

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10.已知二次函数丫=-1乂2或乂+4与x轴交于A、B(A在B的左侧)与y轴交于点C,连

图1图2

(1)如图1,点P是直线BC上方抛物线上一点，当APBC面积最大时，点M、N分别为X、

y轴上的动点，连接PM、PN、MN,求4PMN的周长最小值；

(2)如图2,点C关于x轴的对称点为点E,将抛物线沿射线AE的方向平移得到新的抛

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物线y',使得y'交X轴于点H、B(H在B的左侧).将△CHB绕点H顺时针旋转90°至

△CHB，.抛物线/的对称轴上有一动点S,坐标系内是否存在一点K,使得以0、C\K、

S为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)如图1,A(-2,0),B(8,0),C(0,4),

二直线BC的解析式为yBC=-1-x+4.

过点P作y轴平行线，交线段BC于点Q,

设P(m,—+yin+4),Q(m,-^-m+4).

112

S=S+S

APBCACPQABPQ(xB-xc)PQ=4PQ=-^m+2ir,

0<in<8,

4

•••P(4,6).

作p点关于y轴的对称点-p点关于x轴的对称点p2,连接R九交X轴、y轴分别为M,

N,

此时△PMN的周长最小，其周长等于线段P,P2的长；

••,P(-4,6),P2(4,-6),

22

•••P1P2=7PP|+PP|=VS+12=4^13.

(2)如图2中，・.正(0,-4),平移后的抛物线经过E,B,

12

,抛物线的解析式为y=-4x+bx-4,把B(8,0)代入得到b=4,

.,.平移后的抛物线的解析式为y=--yx+4x-4---y(x-2)(x-8),

44

令y=0,得到x=2或8,

•••H(2.0),

•「△CHB绕点H顺时针旋转90°至△(/HB，,

•.C(6,2，),

当OC'S时，可得菱形OC'S,K„菱形OC'SK,

22

'''00'—C'S=+62=2，^,

，可得号(5,2-^39),S(5,2+739),

••.点『向左平移一个单位，向下平移体得到S”

•••点0向左平移一个单位，向下平移，前个单位得到K,

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•••K(-1,-V39)，同法可得K(-1,739),

12

当0C'=OS时，可得菱形0C'K3s3，菱形0C'K,S,

4

同法可得K(11,2-V15),K(11,2^15),

34

2222

当05是菱形的对角线时，设Ss(5,m),则有5+m=1+(2-m),

解得m=-5,

•••S(5,-5),

5

:点0向右平移5个单位，向下平移5个单位得到S,

5

・•・C'向上平移5个单位，向左平移5个单位得到K,

5

•••K(1,7),

5

综上所述，满足条件的点K的坐