高三一轮复习素材：浅谈函数解析式的常见求法

浅谈函数解析式的常见求法函数是数学研究的主要对象之一.在自然科学、工程技术甚至某些社会科学中，函数也是被广泛应用的数学概念之一.函数解析式是我们研究函数性质的重点和关键.因此，怎么求函数的解析式一直是高考的热点和难点.本文通过高中数学和大学微积分学的一些例子，总结了以下七种求函数解析式的方法.代入法代入法是求函数解析式最基本的方法，也是最容易最常见的.对于已知函数和的解析式，求的解析式这样的问题，我们可以把当成中的自变量代入到中，即得到的解析式，这就是代入法.例1、设，求.分析：这种题目就是告诉了和，求的形式,其中,它的表达式为或.我们把或当成中的自变量代入到，得到的式子就是所求的的解析式.解：把或替换自变量，代入中，此时自变量.故.例2、将函数展开成的幂级数.分析:因为我们已知了函数的幂级数展开式为，.求的展开式就不需要用直接展开法，而采用间接展开法（代入法）即可.解:因为,现只要用代替展开式中的即可.所以，.2、待定系数法将一个式子表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法.当函数类型给定，且函数某些性质已知时，我们常常可以使用待定系数法来求其解析式.例3、将函数化为最简分式之和的形式.分析：最简分式有两类:,,所以采用待定系数法.用含有待定的系数、、的最简分式来表示原函数，从而解方程来求出待定的三个系数，即得到原函数的最简分式.解:令两边乘以分母得即比较对应项系数得所以.3、配凑法和换元法配凑法和换元法一般是解决已知复合函数的表达式，求的解析式的问题.如果的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域.例4、已知,，求函数的解析式。分析：已知了的解析式，求.其中.先对进行化简，得到关于的表示式，再将用替换，即得到的解析式.解：令，则所以，.已知的解析式，求的问题，若用配凑法难求时，则可设，从中解出，代入的解析式进行换元来解。在换元的同时，一定要注意“新元”的取值范围.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.例5、已知求函数的解析式。分析：此题直接凑出的形式不容易，可以利用换元把换元成，得到关于的表达式，但要注意的取值范围.再把这个含的式子当成原函数的变量代入到原函数中去，从而得到的的表达式就是我们所求的的解析式.解：令，则故从而.换元法和配凑法在解题时可以通用，他们是互逆的思想.4、解方程组法若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式.例6、已知，求的解析式.分析：对于函数，当满足形如或等关系时，我们可以用或代替关系式中的，将得到的新式子与原关系式联立消元，将从方程中解出来.解：已知……将中变量换成，得……联立、并消去得.5、赋值法对于有些问题，若能根据其具体情况，合理地、巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值（如0，1，－1等），往往能使问题获得简捷有效的解决，这就是赋值法.例7、已知，对任意、，等式恒成立，求.分析：本题有一恒等式，其中有两变量，若我们对其中某个变量进行特殊赋值，从而消去它，便得到一个变量的表达式.解：对任意实数、，等式恒成立，不妨令，则有再令，得函数解析式为：.6、递推法若题中所给条件含有某种递进关系时，则可以递推得出系列关系式，然后可以通过迭加、迭乘、或者迭代等运算求得函数解析式.例8、设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数、，都有，求.分析：对任意自然数、，都有，那么我们可以先对、进行特殊赋值，从而可以得到某种递进关系.这里我们可以令，，可得.再递推出系列关系式，通过迭加运算求得的解析式.解：，、不妨令，，得：，又,故……分别令式中的1，2…，得：…………将上述各式相加得：…………，.导数法在学习导数相关知识时，有结论：若在某个区间上函数，则在该区间上，（为常数）.现根据这已结论，当题设条件和导数有关时，我们可用该方法求解函数解析式.例9、若函数在内满足关系式且，求.分析:观察到函数是满足上述条件的，故问题转化为证明.设