专题03 三角恒等变换-直击2020新高考数学多选题

专题03三角恒等变换一、知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).2.二倍角公式sin2α＝2sinαcosα.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3.升幂缩角公式1＋cos2α＝2cos2α.1－cos2α＝2sin2α.4.降幂扩角公式sinxcosx＝eq\f(sin2x,2)，cos2x＝eq\f(1＋cos2x,2)，sin2x＝eq\f(1－cos2x,2).5.和差角正切公式变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ).6.辅助角公式y＝asinωx＋bcosωx＝eq\r(a2＋b2)sin(ωx＋θ).二、跟踪检测1.下列四个选项，化简正确的是（）A.cos(－15°)=B.cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝cos(15°－105°)=0C.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).D.sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝eq\f(1,2).【答案】B，C，D【解析】对于A：方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，A错误方法二原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).对于B：原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0，B正确对于C：原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).对于D：原式＝cos76°cos16°＋sin76°sin16°＝cos(76°－16°)＝cos60°＝eq\f(1,2).故选B，C，D.2.下列说法中错误的是A．存在这样的和的值,使得B．不存在无穷多个和的值,使得C．对任意的和,有D．存在这样的和的值,使得【答案】A，C，D【解析】对于A，当时，，故正确对于B，当时，则，故错误对于C，对任意的和，有，这是两角和的余弦公式，故正确对于D，当，当时使得，故正确，故选A，C，D3.对于函数，给出下列选项其中不正确的是（）A．函数的图象关于点对称B．存在，使C．存在，使函数的图象关于y轴对称D．存在，使恒成立【答案】A，B，D【解析】函数2sin（x），对于A：函数f（x）＝2sin（x）,当x=时，2sin（）＝2，不能得到函数的图象关于点对称．∴A不对．对于B：，可得α∈（），，不存在；∴B不对．对于C：函数的对称轴方程为：x，可得，当k＝0,时，可得图象关于y轴对称．∴C对．对于D：f（x+α）＝f（x+3α）说明2α是函数的周期，函数f（x）的周期为2π，故α＝π，∴不存在，使恒成立，∴D不对．故选A，B，D．4.下列计算正确的选项有（）．A.B.C.D..．【答案】C,D【解析】对于A：，所以A错误对于B：，所以B错误对于C：根据正切函数和角公式，化简得==所以C正确对于D：=，所以D正确，故选C，D.5.函数的单调递减区间可以是（）A．B．C．D．【答案】A，B【解析】，由2kπ≤2x≤2kπ，即kπ≤x≤kπ，k∈Z，所以函数的单调递减区间是，因为函数的周期是kπ，故A正确，故选A，B.6.已知函数，给出下列四个选项，正确的有（）A.函数的最小正周期是；B.函数在区间上是减函数；C.函数的图像关于点对称；D.函数的图像可由函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位得到.【答案】A，B【解析】f（x）＝sin2x﹣2sin2x+1﹣1＝sin2x+cos2x﹣1sin（2x）﹣1．对于A：因为ω＝2，则f（x）的最小正周期T＝π，结论正确．对于B：当x∈[]时，2x∈[]，则sinx在[]上是减函数，结论正确．对于C：因为f（）＝﹣1，得到函数f（x）图象的一个对称中心为（，﹣1），结论不正确．对于D：函数f（x）的图象可由函数ysin2x的图象向左平移个单位再向下平移1个单位得到，结论不正确．故正确结论有A，B，故选A，B．7.下列选下选项中，值为的是（）A．2cos72°cos36°B．sineq\f(π,12)sineq\f(5π,12)C．eq\f(1,sin50°)＋eq\f(\r(3),cos50°).D．eq\f(1,3)－eq\f(2,3)cos215°；【答案】A，B【解析】对于A中cos36°cos72°＝eq\f(2sin36°cos36°cos72°,2sin36°)＝eq\f(2sin72°cos72°,4sin36°)＝eq\f(sin144°,4sin36°)＝eq\f(1,4).对于B中sineq\f(π,12)sineq\f(5π,12)＝sineq\f(π,12)coseq\f(π,12)＝eq\f(2sin\f(π,12)cos\f(π,12),2)＝eq\f(sin\f(π,6),2)＝eq\f(1,4).对于C中原式＝eq\f(cos50°＋\r(3)sin50°,sin50°cos50°)＝eq\f(2\f(1,2)cos50°＋\f(\r(3),2)sin50°,\f(1,2)×2sin50°cos50°)＝eq\f(2sin80°,\f(1,2)sin100°)＝eq\f(2sin80°,\f(1,2)sin80°)＝4.对于D中eq\f(1,3)－eq\f(2,3)cos215°＝－eq\f(1,3)(2cos215°－1)＝－eq\f(1,3)cos30°＝－eq\f(\r(3),6)，故选A，B.8.下列函数f(x)与g(x)中，能表示同一函数的是()A．f(x)＝sin2xg(x)＝2sinxcosxB．f(x)＝cos2xg(x)＝cos2x－sin2xC．f(x)＝2cos2x－1g(x)＝1－2sin2xD．f(x)＝tan2xg(x)＝eq\f(2tanx,1－tan2x)【答案】A、B、C【解析】显然选项A、B、C均正确，对于D，函数f(x)与g(x)的定义域不同，所以二者表示的函数不同．9.已知θ是锐角，那么下列各值中，sinθ＋cosθ不能能取得的值是()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(5,3)D.eq\f(1,2)【答案】B，C，D【解析】∵0<θ<eq\f(π,2)，∴θ＋eq\f(π,4)∈，又sinθ＋cosθ＝eq\r(2)sin，∴eq\f(\r(2),2)<sin≤1，∴1<sinθ＋cosθ≤eq\r(2).故选B，C，D.10.下列说法正确的是（）A．存在x0∈R，使得 B．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期为 C．函数的一个对称中心为 D．角α的终边经过点（cos（﹣3），sin（﹣3）），则角α是第三象限角【答案】B，D【解析】在A中，∵cosx0∈[﹣1，1]，∴1﹣cos3x0＝（1﹣cosx0）（1+cosx0+cos2x0）≥0，∵log2＜log