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文档简介

立体几何综合题1.如图，四棱锥中，

底面，底面是直角梯形，

，

，

，

，点在上，且．（1）已知点在上，且，求证：平面平面；（2）当二面角的余弦值为多少时，直线与平面所成的角为？解析：

（Ⅰ）∵，

，∴，∵底面是直角梯形，

，

，∴，即，∴，∵，

，∴，∴四边形是平行四边形，则，∴，∵底面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面．（Ⅱ）解：∵，

，∴平面，则为直线与平面所成的角，若与平面所成夹角为，则，即，取的中点为，连接，则，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，

，∴，

，设平面的法向量，则即令，则，∴，∵是平面的一个法向量，∴，即当二面角的余弦值为时，直线与平面所成的角为．2.如图,在四棱锥中,底面为矩形,底面,是上一点,,.（1）求二面角的大小；（2）求点到平面的距离.解析：

（1）以为原点,向量、、的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系,由已知可得,,∵,∴,∴,∴,则，，设平面的一个法向量为，可求得,取平面的一个法向量为,∴,∴,即二面角的大小为．（2）由（1）知平面的一个法向量为，又,∴,∴,∴点到平面的距离.3.在正方形中,的中点为点,的中点为点,沿将向上折起得到,使得平面平面,此时点位于点处.(1)证明:;(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.解析：(1)证明:连接,交于点,交于点,连接,,如图所示.在正方形中,为的中点,为的中点,所以.由于为沿着翻折而来,从而,所以平面,而在平面内,所以.(2)设中点为,连接,交于点,连接,同(1)可知平面,从而平面平面,所以.由平面,可得平面平面.又因为平面平面,且平面与平面相交于,所以平面.设点为原点,过点作轴平行于,作轴平行于,为轴,如图所示.不妨设正方形的边长为,从而,,,,,.又因为,所以,,在直角中,由勾股定理可得,所以,即,所以可以求得平面的法向量为,平面的法向量为,所以可以得出法向量,之间夹角的余弦值为,则所求二面角的正弦值为.4.如图,已知三棱锥,平面,,,,为的中点.(1)求证:;(2)求二面角的大小.解析：(1)因为平面,所以.因为,所以,又,所以平面.故.(2)过点作的平行线,交于点,过点作的平行线,交于点,连接.因为平面,所以平面,所以.又

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