高三（文理）数学一轮复习《平面向量基本定理及坐标表示》专题测试(教师版)

6/6《平面向量基本定理及坐标表示》专题测试题型一平面向量基本定理及其应用1．下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))解析：两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.2．在△ABC中，点D在BC边上，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AC,\s\up6(→))，则r＋s等于解析：因为eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，则r＋s＝eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝0.3．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且eq\o(EC,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，则向量eq\o(EM,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))B.eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))D.eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))解析如图，∵eq\o(EC,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，∴eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→)).答案C4．在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AC,\s\up6(→))＝e2，eq\o(NC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝________(用e1，e2)表示．解析：如图，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))＋2eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,4)e2＋eq\f(2,3)(e2－e1)＝－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e2.5．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且Beq\o(P,\s\up6(→))＝2Peq\o(A,\s\up6(→))，则()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)解析：由题意知Oeq\o(P,\s\up6(→))＝Oeq\o(B,\s\up6(→))＋Beq\o(P,\s\up6(→))，又Beq\o(P,\s\up6(→))＝2Peq\o(A,\s\up6(→))，所以Oeq\o(P,\s\up6(→))＝Oeq\o(B,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)Beq\o(A,\s\up6(→))＝Oeq\o(B,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(Oeq\o(A,\s\up6(→))－Oeq\o(B,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)Oeq\o(A,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)Oeq\o(B,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).答案A6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A． B． C．D．解析：∵AD为BC边上的中线，E为AD的中点，∴＝﹣＝﹣＝﹣×（+）＝﹣，故选A．7．在中，为边上的中线，为的重心，则（）A.B. C. D.解析：因为为的重心，所以，故选：A8．在中，是边上一点，且，是上一点.若，则实数解析：如图，因为，所以，则.又因为三点共线，所以，故.9．如图，在的边、上分别取点、，使，与交于点，若，则的值为解析：由题意，可得,,根据平面向量的基本定理，可得，解得，所以．10．在中，点，满足，，若，则_____.解析：根据向量的线性运算，可得，又由，所以，所以.题型二平面向量的坐标运算1．已知在▱ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2,8)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,4)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝()A．(－1，－12)B．(－1,12)C．(1，－12)D．(1,12)解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,12)，故选B.2．已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=解析：由已知，，所以，3.已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为.解析：设D(x，y)，则由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))4.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝.解析：根据题意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4).5．在△ABC中，点P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，点Q是AC的中点，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1,5)，则eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．(－2,7) B．(－6,21)C．(2，－7) D．(6，－21)解析：eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－3,2)，∵Q是AC的中点，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(－6,4)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,7)，∵eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＝(－6,21)．6．已知向量a＝(x,1)，b＝(2，y)，若a＋b＝(1，－1)，则x＋y＝________.解析：因为(x,1)＋(2，y)＝(1，－1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝1，,y＋1＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))所以x＋y＝－3.7．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，a＝mb＋nc(m，n∈R)，则m＋n＝.解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))∴m＋n＝－2.8.设向量a，b满足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为.解析：∵b＝(2,1)，且a与b的方向相反，∴设a＝(2λ，λ)(λ<0).∵|a|＝2eq\r(5)，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a＝(－4，－2).题型三平面向量共线的坐标表示1.已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝.解析：因为a∥b，所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.3．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2k，－2)，因为A，B，C三点共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq\f(2,3).4．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值为________．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－2，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).5．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．解析：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝eq\f(1,2).6.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq\f(m,n)＝.解析：由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1).由ma＋nb与a－2b共线，得eq\f(2m－n,4)＝eq\f(3m＋2n,－1)，所以eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).7．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,1)，c＝(－5,1)，若(a＋kb)∥c，则实数k的值为解析：因为a＝(2，－1)，b＝(1,1)，所以a＋kb＝(2＋k，－1＋k)，又c＝(－5,1)，由(a＋kb)∥c得(2＋k)×1＝－5×(k－1)，解得k＝eq\f(1,2)8．已知a＝(2，m)，b＝(1，－2)，若a∥(a＋2b)，则m的值是解析：a＋2b＝(4，m－4)，由a∥(a＋2b)，得2(m－4)＝4m，m＝－49．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是.解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2k，－2).∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq\f(2,3).10．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，t)，且a∥b，则|a＋b|等于解析：根据题意可得1×t＝2×(－2)，可得t＝－4，所以a＋b＝(－1，－2)，从而可求得|a＋b|＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5).11.若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为.解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－1,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3,4)，根据题意知eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－eq\f(5,4).12．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝.解析：由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝eq\f(1,2).13.已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是.解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量eq\o(AB,\