2022年高考数学总复习第59讲：直线与椭圆

2022年高考数学总复习第59讲：直线与椭

圆

考点1直线与椭圆的位置关系

琢通法研究直线与椭圆位置关系的方法

直线与椭圆位置关系的判定方法，直线与椭圆方程联立，消去义或无)后得到

关于M或y)的一元二次方程时，设其判别式为△,

①△>00直线与椭圆相交.

②△=00直线与椭圆相切.

③△voo直线与椭圆相离.

歌典即1.若直线丁=履+1与椭圆曰+^二］总有公共点，则m的取值范围是

()

A.m>1B.m>0

C.0<m<5且机D,机21且

D「・•直线y=h+l恒过定点(0,1),

r2v2

・••要使直线y=Ax+l与椭圆彳+蔡=1总有公共点，

02I2

只需5+而<1'即加21’又加工5,故机的取值范围为加21且加工5,故

选D.］

2.已知直线/：y=2x+m,椭圆C：，+］=1.试问当加取何值时，直线/

与椭圆C：

(1)有两个不重合的公共点；

(2)有且只有一个公共点；

(3)没有公共点.

y=2x+m,①

［解］将直线/的方程与椭圆C的方程联立，得方程组(X2y2〜

E=l，②

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将①代入②，整理得9/+8〃/+2加2—4=0.③

方程③根的判别式△=(8m)2一4X9X(2/-4)=-8渥+144.

(1)当△＞(),即一3啦＜机＜3啦时，方程③有两个不同的实数根，可知原方

程组有两组不同的实数解.这时直线/与椭圆C有两个不重合的公共点.

(2)当△=(),即，"=±36时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有

两组相同的实数解.这时直线/与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线/与

椭圆。有且只有一个公共点.

(3)当AV。，即〃?＜一3/或机＞36时，方程③没有实数根，可知原方程组

没有实数解.这时直线/与椭圆C没有公共点.

力点评(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆

方程组成的方程组解的个数；(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内

部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.

考点2弦长及中点弦问题

考向1中点弦问题

赛通法处理中点弦问题常用的求解方法

即联立直线与圆锥曲线的方程得到方

根与系数

程组，化为一元二次方程后由根与系

的关系

数的关系求解

即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥

曲线方程,并将两式相减，式中含有看

点差法+x,,y+y,二三个未知量，这样

就直接联系了中点和直线的斜率，借

用中点公式即可求得斜率

卿典例⑴过椭圆版+1=1内一点P(3,1),且被点P平分的弦所在直线的

方程是()

A.4x+3y—13=0B.3x+4y—13=0

C.4x—3y+5=0D.3九一外+5=0

(2)［一题多解］(2019・惠州模拟)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2),直

线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1,则这个椭圆的方程为

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(1)B(2)\+舌=1[(1)设所求直线与椭圆交于A(xi,yi),8(X2,”)两点,

又P(3,1)是AB的中点.

V2—VI3

yi+y2=2,AB----T.

.*.XI+X2=6,:«=X2~X\4

3

故直线AB的方程为y—1=-a(x—3),

即3x+4y-13=0,故选B.

(2)法一：(直接法)・・•椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),・・・设椭圆方程

jy2x2

为而+Qlg。)，由产+产'消去X，

,y=3x+7

得(10序+4)y一14s2+4)y—9〃+13〃+196=0,

设直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(xi,yi),Bgyi),

由题意知工¥=1,

14(/+4)、

：.y\+y2=-]0支+4=2,解付"=8.

.•.所求椭圆方程为《+《=1.

o1Z

法二：(点差法),椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2),设椭圆的方程

y

为廿+4

设直线)，=3x+7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(xi,川)，8(X2,”)，则

P+4+^=b①

、岛+*，②

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①一②得

(yi-)吃)(yi+")(xi—XI)(X1+九2)

=0,

从+41?

即以二%yi+V2庐+4

X\~X2X\+%2

又•・•弦A3的中点的纵坐标为1,故横坐标为一2,

V1—V22X1/+4、

^2—^=3,代入上式得3■。丫,=——k，解得序=8,故所求

x\—xi2X(—2)b

的椭圆方程为卷+《=L］

oIN

“点差法”的优点是设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程,

并将两式相减，式中含有尤1+12,yi+y2,――人三个未知量，这样就直接联系了

X\—X2

中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.

提醒：与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式总8哝。”=一★,

即心8=一空比较方便快捷，其中点M的坐标为(比，¥).

。yo

［教师备选例题］

已知椭圆曰+V=1.

(1)若过A(2,1)的直线/与椭圆相交，求/被截得的弦的中点轨迹方程；

(2)求过点也，3且被P点平分的弦所在直线的方程.

［解］⑴设弦的端点为尸(xi,yi),。(必”),其中点为A/(x,y),则及+工1

=2x,yi+y\=2y9由于点P,。在椭圆上，则有：

y+^=1,②

①一⑨春『21=__B±£i_=_A

^X2~x\2(”+yi)2y'

心,xy-1

所以一方=1？

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化简得f-2x+一2y=0(包含在椭圆号+y2=1内部的部分).

Y1

⑵由⑴可得弦所在直线的斜率为Z=一5=—

因此所求直线方程是y—3=—m,

化简得2x+4y—3=0.

IS典题1.(2019•江西五市联考)已知直线y=1—x与双曲线ax2+hy2=1(<2>0,

*0)的渐近线交于4B两点,且过原点和线段中点的直线的斜率为一坐，

则谕值为()

A•一坐B.-手

「_±sfin_2i/j

J227

A[由双曲线加+勿2=1知其渐近线方程为苏+力步;。，设A(xi,yi),

B(X2f>2),则有。齿+力彳=0,①

axi+byi=09②

由①一②得。(九彳一足)=一仇>彳一灵)，整理得,一_"'=一,设A8的中

入IIX2X1X2I)

…、c,,yo2yoyi+yi小一，..事…

点为M(xo,yo),则攵°"=孟=刀=箱+%2=一方-'又知攵AB=-1,..—x(—

1)=一齐玛=一坐故选A.]

(-1,0)[设直线A8的方程为尸网x+l)(M0),

代入，+y2=],整理得(1++4Fx+2M-2=0.

因为直线AB过椭圆的左焦点口且不垂直于x轴，

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所以方程有两个不等实根.

设A(»,yi),8(x2,”)，A8的中点M%o，冲)，

….43

则Xl+x2=-2烂+1'

121c2k

%o=](xi+工)=-2炉+]，yo=A(xo+1)=2.+1'

因为点A和点8关于直线/对称，

所以直线/为A5的垂直平分线，其方程为

y-yo=—1(x—xo).

,2KRA211

令y=O,得XG=XO+6。=+]+2.+]=—2F+1=-2+4^+2,

因为左去0,所以一；4G<0,

即点G横坐标的取值范围为(一/0).]

考向2弦长问题

感法求解决直线与椭圆相交的弦长问题，其常规思路是先把直线方程与

椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程；在此基础上套

用弦长公式：设直线与椭圆的交点坐标为A(xi,yi),5(x2,>2),则|45|=

yl(1+Z?)[(xi+%2)2—4xiX2]

=、y(l+/}(yi+p)2—4yiy2](左为直线斜率).

哪典例(2019.武汉模拟)设离心率为坐的椭圆E：最+捻=1(。泌>0)的左、右

焦点分别为尸2,点尸是E上一点，PF\±PF2,△PFIB内切圆的半径为吸一

1.

(1)求E的方程；

(2)矩形A8CO的两顶点C,。在直线y=x+2上，A,8在椭圆E上，若矩

形A3CD的周长为呼，求直线A3的方程.

[解](l)Rt/iPBE2内切圆的半径「=；(小「1|+|「尸2|一尸1E2|)=。一的依题意

有a-c=yf2-1.

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5

又彳=半，则a=啦，c=\,从而8=1.

故椭圆E的方程为5+＞2=1.

(2)设直线AB的方程为y=x+m,

代入椭圆E的方程，整理得3『+4wx+2m2—2=0,

由△＞()得一小＜根＜小.

设A(X1，＞1)，3(X2，＞2)，

4m2m2—2

则XI+X2=一7，X\X2=.

厂4y3——2

\AB\=yl2\x2—x\\=3.

易知出q则由一小＜〃t(小知出。=~^~＞

所以由已知可得|AB|+|BC|=1陪，

4\j3-m22~m11走

即3+否=6'

整理得41加2+30〃Z-71=0,

71

解得zn=l或/”=一五(均满足一审＜加＜小).

71

所以直线AB的方程为y=x+l或y=x一五.

IS点评利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行

的，不要忽略判别式.

［教师备选例题］

已知椭圆£：?+］=1的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为如＞0)

的直线交E于A,M两点，点N在E上,MA1NA.

(1)当t=4,|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；

(2)当21AM=|AN|时，求G的取值范围.

［解］(1)设M(xi,yi),则由题意知yi＞0.

77

当/=4时，椭圆石的方程为，+左=1,A(—2,0).

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jr

由|AM=|AN］及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为疝

因此直线AM的方程为y=x+2.

?2

将x=y—2代入］+1=1,得7y2—12y=0,

12

解得）=0或y=7~，

所以户=万.

11212144

所以S»AMN=2X2XX~^~=49.

（2）由题意知/>3,Z>0,4（—3，0）,设M（xi,yi）,

?2

将直线AM的方程y=A（x+3）代入：+"=1,

得（3+饮今尤2+2寸i,戊2%+产22—3/=0.

3（3—点）

得"3+点'

故|AM|=M+3仙+。

由题设知，直线AN的方程为y=—；（x+也），

K

cmrp6/cJt（1+Z：2）

故同理可得|AN]=3F+f—

2k

由21AM=HM，得讦薜=市斤

即（炉一2»=3攵（2攵-1）,

,3厂L,A-A、c,3k（2k-1）

当女=也时上式不成立，因此r=—瓦工—.

内一2M+A—2（左一2）（K+1）<0,即M|<s

t>3等价于,

K—23一2

由此得

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3

因此后的取值范围是(也，2).

炳典瓶1.斜率为1的直线/与椭圆了十9=1相交于A,B两点，则的最

大值为()

A.2B.芈

遍遍

。55

Y25

C[设直线/的方程为y=x+f,代入了+V=l,消去y得不2+2比+户一1

=0,由题意知/=(2。2—5(户—1)>0即45,设A(xi,yi),5(x2,*),则九i+及

=­y,xii2=4-$1),\^B\=yj(1+1)[(xi+%2)2—4XIX2]=^^\/5—

耳包(当且仅当r=0时取等号).]

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆\+徐=I'

1(&>心0)的离心率为盘过椭圆右焦点尸作两条互相垂—4~七S—r

直的弦AB与CD当直线A8斜率为0时，\AB\=4.

(1)求椭圆的方程；

(2)若|AB|+|8|=当，求直线AB的方程.

c1

[解](1)由题意知e=z=/,2a=4.

又/=〃+/,解得。=2,b=y/3,c=l,

92

所以椭圆方程为1+看=1.

(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率

不存在，由题意知|A8|+|CD|=7,不满足条件.

②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线的方程为y=k(x

—1),A(xi,yi),3(x2,y2),

则直线CD的方程为y=一

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将直线A8方程代入椭圆方程中并整理得(3+4后)/-83x+4R—12=0,则

8女24女2—12I________

Xl+x2=3+4M，X[.X2=3+4户,所以依阴=4后+IM—X2|

12(F+l)

=、R+l、(Xl+x2)2-4x1X2=

3+4/

12(M+l)

同理，\CD\=4-3-+4

3+后

12(F+l)12(3+1)

所以|A8|+|CD|3+4炉-+-3—+4

84g+1)248

=(3+4K)~(3^+4)=~'解得k=±l,

所以直线AB的方程为x-y—1=0或x+y—1=0.

考点3直线与圆锥曲线的综合问题

既通法解决直线与圆锥曲线的综合问题的一般步骤

第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；

第二步：写出根与系数的关系，并求出△＞()时参数范围(或指出直线过曲线

内一点)；

第三步：根据题目要求列出关于xix2,xi+x2(或yi”，yi+y2)的关系式，求

得结果；

第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.

物典例椭圆C：5+方=1(。＞。＞0)的左、右焦点分别是Fl,Fl,离心率为争

过Fi且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

(1)求椭圆。的方程；

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PB,PFi,设的

角平分线PM交。的长轴于点M(〃z,0),求，”的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点尸作斜率为左的直线/,使得/与椭圆。有且只有一

个公共点，设直线尸放的斜率分别为依，ki,若依W0,证明/+£为定

KK1KK2

值，并求出这个定值.

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92»2

[解]⑴由于。2=层一廿，将》=一，代入椭圆方程，+齐=],得丫=±".由

2b2

题意知-^-=1,即"=2〃.

c

又e=Z=净A/3,所以4=2,b=l.

一

所以椭圆。的方程为亍+V=L

⑵设P（xo,川）。0左0）,

又尸1（一小，0）,尸2（小，0）,

所以直线PFi,PF2的方程分别为

IPF\:yox—（xo+仍）丁+小yo=0,

IPF2：yox—（xo~y[3yo—0.

|〃zyo-V5y()|

由题意知，

(xo+V5)2«%+(xo—3)2

由于点P在椭圆上，所以5+y8=l.

|相+爽||加~\/5|

所以

\2

~xo~2

因为一，5V777〈小，-2<X0<2,

m+小小一m

可得•

东。+22一坐xo

333

所以m=^xo，因此一2<m<2,

（3）设尸⑶），州）（加左0）,

则直线/的方程为y—yo=A。-xo）.

z+v=l,

联立得

3—yo=k(x-xo)，

整理得(1+4斤)尢2+8(6()一Fxo)x+4(y8—2后您()+FJC6—1)=0.

由题意△=(),即(4—欣)攵2+2xoyoz+1—W=0.

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又詈+4=1,

2xo

所以16y能+8xoy（）Z+x3=0,故人4yo’

由⑵知£J__xo+小十期一小Zro

k2yoyoyo

所以由2xo

8,

看=*+£H—第,yo~

因此卷十卷为定值,这个定值为一&

15点评本例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出P点的坐标而不求

解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧——设而不求，从而简化了运算过

程.

［教师备选例题］

?2

设椭圆，+方v=139>0)的左焦点为尸，离心率为竽过点尸且与x轴垂直

的直线被椭圆截得的线段长为华.

(1)求椭圆的方程；

(2)设A,8分别为椭圆的左、右顶点，过点尸且斜率为左的直线与椭圆交于

C,。两点.若启.加+好).无=8,O为坐标原点，求△OCD的面积.

［解］(1)因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为华，所以

2b2_4必

Q-3.

因为椭圆的离心率为坐，所以？=乎，

又/=〃+/,可解得〃=啦，c=1,a=y［3.

92

所以椭圆的方程为5+5=1.

(2)由⑴可知尸(一1,0),

则直线CD的方程为y=G(x+l).

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y=k(x+1)，

联立，

消去y得(2+3F)X2+6QX+3F—6=0.

设C(XI,yi),。(工2,”),

61c3Zr-6

所以X]+X22+3S'二丁=2+3廿

又A(一小，0),B他,0),

所以ACO8+ADCB

=(xi+小，yi)•(小—12,一丫2)+(*2+小，”)•(#—九i,—yi)

=6—(2+2Z?)XIX2—2^(xi+*2)—2尼

,2d+12

=6+-2+3F=8,

解得k=±^2.

....6X23

从而汨+x2__节而

3X2—6

XIX2=2+3X2=O

3

所以|X1-X2|=N(Xl+X2)2-4X1X2=

2

\CD\=y]]-\-k2\x\~X2\='1+2x|=^^.

因

而原点O到直线CD的距离d=

71+斤\i+23，

M-I。1,_...,]一3小、，&3/

所以SAOCD=^lCx£>|Xd=1X—.

&题已知尸点坐标为(0,-2),点A,8分别为椭圆氏^+p=l(«>/?>0)

-►3-*■

的左、右顶点，直线BP交E于点Q,△ASP是等腰直角三角形，且PQ=]QR

(1)求椭圆后的方程；

(2)设过点P的动直线/与E相交于M,N两点，当坐标原点。位于以MN

为直径的圆外时，求直线/斜率的取值范围.

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［解］(1)由AABP是等腰直痢三角形，得a=2,BQ,0).

f6

设。(xo,yo),则由丽=|小，得,4

%。=一m

代入椭圆方程得〃=1,

y2

所以椭圆E的方程为w+V=L

(2)依题意得，直线/的斜率存在，方程设为>=自-2.

y=kx—2,

联卡+户】，

消去y并整理得(1+4d)f—16日+12=0.(*)

因直线/与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，

3

故△=(一16©2—48(1+必2)>0,解得左2〉不

设M(xi,yi),N(X2,>2),

r,16k

XI+x2-|+43，

由根与系数的关系得J

如“2=1+4-

因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，

所以OMON>U,即尢1X2+yiy2>0,

又由x\x2+y\y2=x\x2+(kx\—2)(te-2)

=(1+^)x1x2—2Mxi+及)+4

=(1+的品-2匕禹+4〉。，

3

解得F<4,综上可得走后<4,

则坐<攵<2或—2<女<一坐.

则满足条件的斜率2的取值范围为

口-郛停2)

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课外素养提升⑧数学运算一“设而不求”在解析几何中的妙用

“设而不求”是解析几何解题简化运算的一种重要手段，它的精彩在于通过

设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，最大限度地减少

运算；同时，“设而不求”也是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意

义上的变式和整体思想的应用.

I类型1|

活用定义，转化坐标

?2

【例1】在平面直角坐标系中，双曲线，一$=l(a>0,8>0)的右支

与焦点为F的抛物线『=2py(p>0)交于A,8两点，若|Af］+［3F］=4|OH，则该

双曲线的渐近线方程为.

产土格［设汨,B(XB,*)'由抛物线定义可得|AW+M=w+介

>B+?=4X畀％+”=p,

(2

X

由#/=1,

可得a2y2~2pb2y+a2b2=0,

X=2py

所以w+yB=§^~=p,解得。=6"，故该双曲线的渐近线方程为y=土坐口

［评析］设出点的坐标，先通过抛物线的定义，实现点的坐标与几何关系|AQ

+|3f］=4Qf］的转换，然后借助根与系数的关系建立参数m匕的等量关系，达

到设而不求，从而求得双曲线的渐近线方程.

【素养提升练习】抛物线丁=而比〃2>0)的焦点为R点P为该抛物线上

的动点，若点A(一机，0),则鬻的最小值为.

乎'［设点P的坐标为(%p,yp),由抛物线的定义，知|PF|=xp+〃z,

又|E4|2=(Xp+"7)2+济=(Xp+m)2+4/77XP,

则喘2=工加二鼠。，小,=/当

(xp+m)2(2、xp•m)2

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且仅当xp=m时取等号),

所以翳坐，所以肾J的最小值为坐1

|JZ11乙|l/l|乙

I类型2|

妙用“点差法”，构造斜率

【例2】已知椭圆E：a+方=1(。>8>0)的右焦点为b(3,0),过点尸的

直线交E于A,8两点.若A8的中点坐标为(1,-1),则E的标准方程为()

~,yi~y2b1（尤1+尤2）b2

所以乂8="二^=一届（,+），2）=］.

又做=岩】所第丹

3—12ar2

又9=，=&2一方2,解得力2=9,a2=i8,

99

所以椭圆E的方程为缶+5=1.］

1OJ7

［评析］该题目属于中点弦问题，可设出A,B两点的坐标，通过“点差法”，

巧妙地表达出直线A3的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之

间的关系，从而快速解决问题.

【素养提升练习】1.抛物线E：9=2%上存在两点关于直线厂也一2)对

称，则上的取值范围是.

(一/，柩［当女=0时，显然成立.

当ZW0时，设两对称点为8(X1,yi),C(x2,yi),BC的中点为M(x(),jo),

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由y+=2xi,y2=2x2f两式相减得(yi+*)(yi—y2)=2(xi—12),则直线3c的斜率

yi-y9921I

knc=---二=-T—=丁=一,由对称性知kBc=-7，点M在直线y=k(x—2)上,

X]—X2y\+y22yoyok

所以yo=—攵,>0=左(阳)一2),所以M)=1.由点M在抛物线内,得y^<2xo9即(一Z)2<2,

所以一啦<女<，L且zwo.

综上，%的取值范围为(一6，也).］

2.已知双曲线过点P(l,1)能否作一条直线/与双曲线交于A,

8两点，且点P是线段A8的中点？

［解］假设存在直线/与双曲线交于A,B两点，且点尸是线段AB的中点.

fx?—■y=L

设A(xi,yi),3(x2,yi),易知xi手必由j在

两式相减得⑶+刈(力-⑼-(……)=o.

XI4-X2VIH-V2VI—V2

又5=1,5=1,所以2(x1-X2)—(yi-y2)=0,所以ICAB==2,

乙乙X\X2

故直线/的方程为y—l=2(x—l),即y=2x—L

y=2x-1,

由，oy2消去y得lx?—4x+3=0,

/一爹=1,

因为△=16—24=—8<0,方程无解，故不存在一条直线/与双曲线交于A,

B两点、,且点尸是线段的中点.

I类型3|

巧引参数，整体代入

【例3】已知椭圆3+9=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM,

AN交椭圆于M,N两点.

(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；

(2)当