《平面向量基本定理》示范课教学设计【高中数学人教】

《平面向量基本定理》教学设计【引入新课】情境：复习向量的运算及其几何意义，为学习平面向量基本定理作铺垫．问题1：已知向量e1，e2（如图6.3-1所示），求作向量3e1；－2.5e2；e1+e2．【课堂探究】情境：类比力的合成与分解，从将一个向量分解为两个向量入手，研究平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示．利用信息技术工具，可以动态地展示．问题2：我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力．类似地，我们能否通过作平行四边形，将向量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢？提示：三个向量移到同一起点，如图所示6.3-3，在平面内任取一点O，作，，，结论：一般地，对给定不共线的向量，，任意一个向量a都可以表示成的形式．追问1：当是与或共线的非零向量时，也可以表示成的形式吗？答案：可以，此时或．追问2：当是零向量时，也可以表示成的形式吗，为什么？答案：可以，此时．问题3：平面内任何一个向量都可以表示成的形式，这种表示形式是唯一的吗？答案：平面内任何一个向量a都可以按，的方向分解，表示成的形式，而且这种表示形式是唯一的．理由：如果还可以表示成的形式，那么可推出，．其中的关键是由推出，全为0，这个结论在教科书中是用反证法来证明的．即假设，不全为0，则可推出，共线，这与已知，不共线矛盾．从而假设，不全为0不成立，所以，全为0．所以有且只有一对实数，，使．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数，，使．如果，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底（base）．【知识应用】情境：将一个向量用两个向量表示，加深对平面向量基本定理的理解．学会应用平面向量基本定理解决相关问题．例1如图6.3-5，，不共线，且＝t（t∈R），用，表示．解：因为＝t，观察＝（1－t）＋t，你有什么发现？所以＝＋＝＋t＝＋t（－）＝＋t－t＝（1－t）＋t．追问：观察，你有什么发现？答案：若A，B，P三点共线，则系数和等于1，即(1－t)＋t=1．例2如图6.3-6（1），CD是△ABC的中线，CD＝，用向量方法证明△ABC是直角三角形．证明：如图6.3-6，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝－b，于是＝a－b．·＝（a＋b）·（a－b）＝a2－b2．因为CD＝，向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段（或直线）是否垂直的重要方法之一．所以CD＝DA．因为a2＝CD2，b2＝DA2，所以·＝0．因此CA⊥CB．于是△ABC是直角三角形．练习1：如图6.3-7，在△ABC中，，点E，F分别是AC，BC的中点．设，．（1）用a，b表示，；（2）如果∠A=60°，AB=2AC，CD，EF有什么关系？用向量方法证明你的结论．【归纳小结】问题5：通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈．答案：本节首先由向量的概念和运算得出平面向量基本定理．平面向量基本定理是平面向量中的重要内容．此定理表明平面内的任一向量可以由同一平面内的两个取定的不共线向量表示，而且表示式是唯一的．因而向量的运算可以归结为两个取定的不共线向量的运算，这为利用向量运算解决问题带来了方便．由此定理还可引出向量的坐标的概念，进而引出向量运算的坐标表示．1．任何一个平面向量都可以唯一地表示成两个不平行向量的线性组合，即．