2021-2022学年湖南省长沙市名校高二上学期入学考试数学试题

长沙市名校2021-2022学年高二上学期入学考试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分100分．第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件2．已知复数z满足，则（）A．B．C．D．★3．下列命题中不正确的是（）A．一组数据的平均数，众数，中位数相同B．有A，B，C三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为，则这两组数据中较稳定的是乙D．一组数的分位数为54．已知两条不同的直线l，m和不重合的两个平面，且，有下面四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．②③④D．①④5．已知向量，若，则（）A．B．C．D．6．不等式对任意a，恒成立，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．7．某人先后三次掷一颗骰子，则其中某两次所得的点数之和为11的概率为（）A．B．C．D．8．已知函数，则方程的根的个数为（）A．3B．5C．7D．9二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分）★9．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：所需时间/分30405060线路一0.50.20.20.1线路二0.30.50.10.1则下列说法正确的是A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.0410．已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是（）A．B．是图象的一个对称中心C．D．是图象的一条对称轴11．如图，在棱长为6的正方体中，E为棱上一点，且，F为棱的中点，点G是线段上的动点，则（）A．无论点G在线段上如何移动，都有B．四面体的体积为24C．直线与所成角的余弦值为D．直线与平面所成最大角的余弦值为12．已知定义在R上的函数满足条件，且函数是奇函数，则四个命题中，正确的命题有（）A．函数是周期函数B．函数的图象关于点对称C．函数是偶函数D．函数在R上是单调函数三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）★13．函数的定义域为R，则实数m的取值范围是________．14．已知则的值为________．15．已知三个顶点都在球O的表面上，且，S是球面上异于A、B、C的一点，且平面，若球O的表面积为，则球心O到平面的距离为________．16．在中，已知，P为线段上的一点，且，则的最小值为_________．四、解答题（本题共6小题，每小题8分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分8分）已知．（1）若为真命题，为假命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．（本小题满分8分）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c设．（1）求B；（2）若的面积等于求的周长的小值．★19．（本小题满分8分）某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过A，B，C三道工序加工而成的，A，B，C三道工序加工的元件合格率分别为，已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为一等品；其他的为废品，不进入市场．（1）生产一个元件，求该元件为二等品的概率；（2）从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率．20．（本小题满分8分）如图，三棱柱中，．（1）求证：平面；（2）设直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．21．（本小题满分8分）已知向量（1）若，求的值；（2）记，在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足，求函数的取值范围．22．（本小题满分8分）设函数（且），是定义域为R的奇函数：，（1）求k的值，（2）判断并证明当时，函数在R上的单调性；（3）已知，若对于时恒成立．请求出最大的整数．长沙市名校2021-2022学年高二上学期入学考试数学参考答案一、单项选择题题号123456789101112答案ACBABCCCBDABDABDABC三、填空题13．14．15．16．【解析】中，设，∵，∴，即，∴，∵，∴，，∴，，根据直角三角形可得，∴，以C为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立直角坐标系可得，P为线段上的一点，则存在实数使得，设则，∴，∴，则，当且仅当，即时，．四、解答题17．【解析】（1）当时，，由，可得，即．因为为真命题，为假命题，故p与q一真一假，2分若p真q假，则该不等式组无解；若p假q真，则，得或．综上所述，实数x的取值范围为或4分（2）由题意，，因为p是q的充分不必要条件，故，故，得，故实数m的取值范围为．8分18．【解析】（1）因为．由正弦定理得．显然，所以2分所以，∵．所以，∴4分（2）依题意，∴．6分所以，当且仅当时取等号．又由余弦定理得．∴当且仅当时取等号．所以的周长最小值为．8分19．【解析】（1）不妨设一个元件经A、B、C三道工序加工合格的事件分别为A、B、C，则，1分设事件D为“生产一个元件，该元件为二等品”，根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为.4分（2）生产一个元件，该元件为一等品的概率．5分设事件E为“任意取出3个元件进行检测，至少有2个元件是一等品”，则．所以至少有2个元件是一等品的概率为．8分20．【解析】（1）证明：在中，，由余弦定理，∴，∴，又∵，∴平面；3分（2）由（1）知；两两垂直，以C为原点，所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设点，其中，设平面法向量为，，取，则，得，∵，由已知，解得：，可得点，5分设为平面的法向量，，由取，则，可得，6分∴，由图可知，二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为8分21．【解析】2分（1）∵，∴，4分（2）∵，由正弦定理得，∴，∴．∵，∴，且，∴．6分∴．．又∵，∴，故故函数的取值范围是．8分22．【解析】（1）∵（且）是定义域为R的奇函数，∴，解得．此时，对任意，有，即是R上的奇函数，符合题意．故．2分（2）由（1）得．设，且，则∵，且，∴，又