高中新创新一轮复习理数第八章 立体几何含解析

第章立体何第节空几体三图直图表积体积本主包个知识：空几何的视和观；切接用题

空几何的面与积

3.与有的突点一)空间何的三图直图[基本知]．间何的构征(1)多体结特多体棱棱棱

结特有个平、余面是边且相两面交都行且等有个是边、其各都有个共点三形棱被行底的面截截和面间部叫棱(2)旋体形几体圆圆圆球

旋图矩直三形直梯或腰形半或

旋轴矩任边在直一直边在直直腰在直或腰形下中的线直所的线2.空几体的视(1)三图名几体三图括正图侧图俯图(2)三图画①画视时能见轮线棱实表、叠线画一、能见轮线棱虚表．②视的视、视、视分是几体正方正左、上观几体正影．．间何的观空几体直图用二画来、规是(1)原形轴yz轴两垂直图′y′轴夹为45或135、

z′与x轴′轴所平垂．(2)原形平于标的段直图中分平于标；行轴和的段直图保原度变平于y轴线在观图长为来一．[基本能]．断(1)有个平、余面是行边形几体棱．()(2)棱各棱延线于点()(3)正体球圆各的视中三视均同)(4)用二画画平置∠时若∠A的边别行轴和y轴、∠＝°则在观中∠＝45.()答：×

(2)√

×

(4)×．空(1)如所的何中是柱为_______(填写有确序)．解：据柱定、合出几体知⑤足件．答：⑤(2)有个何的视如所、个几体形为．解：俯图看上下面是方、是小一、可判是台答：台(3)已一几体三图图示则此何从往下次_构成解：三图知该何是一圆和个柱成组合．

答：台圆(4)利斜测法到：①角的观一是角；②方的观一是形③腰形直图以平四形④形直图定菱．以结正的数．解：由斜测法规可①确②误是般平行边；错、腰形直图可是行边；菱的观也一是菱、也误答：1[全析考]空几体结特[例1]给出列题①圆的、底的周各一、这点连是柱的线②一面多形其各都三形几体棱；③角角绕任边在线转周形的何都圆锥④台上下面以相、侧长定等其正命的数()A．C．

．D．[解析①错、有两的线行旋轴才母；②误因“其各面是角”并不价“余面是一公顶的角”如(1)所；错、以边在线旋轴、余边转成面围成几体是锥如2)示、是两同圆组的何；错、台上、底是似对应平的边、侧延线于点但侧长一相等

[答案[方法技解与间何结特有问的巧(1)把几体结特、多察物、高间象力(2)紧结特是断关熟悉空几体结特、依条构几模、如中的命②易断误(3)通反对构征行析空几体三图1.画视的规长正高齐宽等即视与视一长正图侧视一高侧图俯图样．．视的列序先正图俯图在视的方侧图在视的方．[例2](1)(2018·河北水学研正体ABCD-ACD中E为棱BB的点(如11图)、用过、E、C的平截该方的半分、剩几体侧图)1北高考)某棱的视如所、该棱的长的度为)

2222222222A．C．

．3D．[解析过A、、C的截为F、图则余何的1视为项中图．选C.(2)在方中原四锥图示从中得长棱AC＝＋＝22＝3.1[答案(2)B[方法技有三图题解方(1)由何的观画视需意事项①意视、视和视对的察向②意看的线实画被住线虚画③出三图符“对、平齐宽等的本征(2)由何的分图出余图方法先据知部视推直图可形、后测剩视图可情、为择、可逐检．(3)由何三图原直图应意的题要悉、、、的视、合间象三图原直观．空几体直图直图原形积关按斜测法到平图的观与图面的系(1)＝直观图

(2)＝22原图形．原图

直观图．[例3]用斜测法一水放的面形直图如所的一正形则来图是)[解析由直图知在直图多形正形、角长2、以原形平

行边、于轴上对线长2[答案[全练题]考点一如四锥四条棱相、称为等四锥、条棱为的、下个题、命是()A．腰棱的与面成角都等．腰棱的面底所的面都等互C．腰棱的面边必在外圆D．腰棱的顶必同球面解：

因“等腰四棱”四侧都相、以的点底的影底的个点距相、A、是真题且它高必找一到个点的离等故是命；B是假命、底是个腰形结就成立考点二用个行水平的面截、到图示几体则的视是)解：B俯视中然有个遮的、以圆虚、选考点二已三锥俯视与视如所、视是长2的三形侧视是一角长2的直三形则三锥正视可为)解：C空间何的视和视图高齐、正视的一为2、视图俯图长正、正图底长侧视中直说这三锥前面面直底、个遮了面一侧．合上知这个棱的视可是C.考点三用二画画出某面形直图图、边平行y轴BC、AD

222222r′＝rr′＝222222r′＝rr′＝平于x轴已四形ABCD的积2cm、原平图的积)A．cmC．cm解：C

．2D．2依意知BAD＝°、原面形直梯、下面长、相等高梯的高的2、所原面形面为8cm

考点二已一三锥的视如所、中个图是角角、在三锥四面、角角的数()A．C．

．D．解：D由题知、棱放在方中图示利长体模可、三锥四面部直三形故D.突点二空间何的面与积[基本知]．柱圆、台侧展图及面公圆

圆

圆侧展开侧积公

＝πrl＝πrlS＝r＋r′)l圆柱侧圆锥圆侧圆、锥圆侧积的系＝2π――＝π(＋r′)l――＝rl圆柱侧圆侧圆锥侧．间何的面与积式

2222几体柱(棱柱和柱)锥(棱锥和锥)台(棱台和台)

名

表积＝＋2表面积底＝＋表面积底＝S＋S表面积侧上下

体VV＝V＋＋SSh上下上下球

＝π

2

Vπ

3[基本能]．断(1)锥的积于面积高积()(2)台的积转为个体体之差()(3)球体之等半比平．()答：×．空

(2)√

×(1)已圆的面径、为

a则圆的侧积于_______．解：面长l＝2π、S＝h＝πa侧

6＝

2

答：

π

2(2)已某台上下面积别和3高为2、则体为_______．解：V＝(63＋63243)×＝3.答：28(3)已圆的线是、面长6π、它体是________．解：圆底圆半为r、π＝6π∴＝设锥高、则＝8－＝、＝rh＝55π.圆锥答：355π(4)正棱ABC-AC的底边为、棱为、D为中、则棱1-BDC的积_．11解：正棱ABC-B中、111∵⊥BC、AD⊥BBBB∩＝、∴⊥面BDC1111

1∴VA-B＝S△BDCAD＝×2××＝1.1131答：1(5)一空几体三图图示则该何的面为________解：由三图知几体一底为腰形平的直棱、以直棱的面为S＝××＋×＋×4＋×＋2＋16＝488答：＋817[全析考]空几体表积[例福州五联)某何的视如所、其俯图一直三形、个角°则该何的面为)A．＋123．24＋53C．＋153D．＋123(2)(2018·南市校考)已某何的视如所、该何的面是()

A．(25＋5)πC．(29＋5)π

．＋17)D．＋317π[解析由知得、几体三柱、面斜长4、边的为的角角底面为面周为＋2棱的为4棱的表积＝×23＋×(6＋23)＝24＋3、选(2)由视可该何由个下面直分为和、为的圆、个面径4、高的柱一直为4的半组、直观如所、以几体表积＋×(12)×17π×＋4×2

＝π3π＋16＋＝(25＋3)π故[答案(2)B[方法技求空间何表积常类及路求面的面求转的面求规几体表积

只将们着“开展成面形利求面形积方求面的面可从转的成程其何征手将展后求面、要清们底半、线与应面展图的长系通将给何分成本柱、体台、求出些本柱、体台的面、通求或作、出给何的面空几体体柱、体台体间关

[例2](1)(2017·北京考某三棱的视如所、该棱的积()A．C．

．30D．洛市第次考某何的视如所、该何的积是)ππ

．πD．π[解析如、三棱-放到方中长体长、宽高别5,3,4△直角三形直边别和、棱-的高4故该棱的积＝××5×＝2(2)依意题的何是两完相同圆各用个平于轴平去截所的分接成组体各自截所的分完相)其中个后得部的面径、短线为3最长线为、这个后得部拼、恰可形一底半为1母长为＋＝8的柱因题的何的积为π1×＝、B.[答案(2)B[方法技求空间何体的见型思规几体不则几体

若给的何是体锥或体规几体则直利用式行解其、三锥体常等积换若给的何是规几体则不则几体过割或形化规几体再用式解

三图形

若三图形给几体则先据视得几体直观图然根条求[全练题]考点二石庄教质检)某何的视如所(网线每小方的长1)、该何的积()A．C．

．D．解：A由三图、几何为棱如所、底面＝(1＋2)×2＝、为、以几体体V××＝2、选A.考点一长市一拟试)如是几体三视、正图侧图是径的圆俯图直为2的圆则几体表积)A．πC．π

．πD．π解：A由三图知、几体半为1的球其面为2＋π3π.选考点二]

32223222(2017·浙高考)某何的视如所(单则几体体(单：是)

)π＋1πB.＋3＋3＋解：A由几体三图得该几体一底半为1、为3的锥一与个面直边为2的腰角角、为的三锥组体故几π体体V＝×π××3＋×2＝＋33考点一南市拟如、直梯ABCD中、AD⊥DC∥、＝2CDAD＝、将直梯绕BC边旋一、则得几体表积_．解：据意知此转的半分圆底半为1、高1)、下半分圆(底半为1、高、如图示则得何的面为锥侧积圆的面以圆的底积之、即面为π·1·＋＋π·1＋＝＋π.答：2＋3)．考二]中国代学著《章术中载公前344年鞅造种准量——商铜升、三图图示单位寸：若π取3、体为立寸、图的的为_______

1121232222212211212322222122解由三视知商鞅方由圆和长体合成题得－)××＋π

2

＝、得＝1.6.答：1.6突点三与球关切接用题与有的合问常及切外解时认分图、确点接的位、定关素的量系并出适截图.如球切正体时切为方各面中、方的长于的径球接正体时正体各顶均球上正体体角长于的径球其旋体合、常它们轴截解；与面组时通过面的条棱球及“点或接”截图行题[全析考]多体内球题[例江苏考如、圆内一球O该与1柱上下面及线相．圆柱O体为V球O的积V、1V则的是_______V2(2)若个四体表积、内球的面为S、则＝________.12[解析设的径、因为与柱O上下面母均切所1VπR·23以柱底半为、为R、以＝＝V42R(2)设四体长、则四体面为＝4×1

1·a＝3、内球半为四体的、r＝4×

＝a12π因内球面为S＝4π、23a6则＝＝ππ[答案(1)π

22222281π2232222222281π22322[方法技处与有内问的略解此问时先找切、过截来决如内的是面、作面主抓多体球的角来．多体外球题把个面的个点在面即球外问．决类问的键抓外的点即心多体顶的离于的径[例2]正四锥的点在一面、该锥高、面长2、则球表积()81C．π

．16π27天高)已知个方的有点一球面、这正体表积为、这球体为．河衡水研)一直棱的面边为的六形棱为、它的接的面为．[解析如所、设半为R、底面心O′且心、∵四锥P-ABCD中＝、∴AO＝2.∵PO＝、∴′中AOAO′＋′、∴R＝(2)＋(4－R、解＝、∴球表积4π＝×＝.(2)由方的面为18、得正体棱为3.设正体接的径R、＝3、＝、4π9π所这球体为π＝×＝82(3)由六柱外球直为六柱中长对线知直棱的接的直为

＋

＝、

22222222∴外球表积4π

2

＝25π.9[答案(2)[方法技

(3)25π与有外问的题律(1)直柱接的心直柱面距离为柱的(2)正体接的径正体体角线长此论适长体或同顶点发两互垂的条构的棱或棱．(3)求面外球径关是到球的径成三形解角即．[全练题]考点二如是几体的视、该何的接的面为)A．πC．π

．150πD．π解：D由三图、几体以由个方截4个后到此方的、、分为、以接半径R满足2R＝4＋＋＝5、以接的表积＝4π＝4π

2

＝50π故D.．考点一一块石表的何的视如所示将石切、磨加成球则得的大的径于()

222222A．C．

．D．解：B该几体直棱、面边分为6,8,10的角角形侧长S为12能到最球半等底直三形切的径其径r＝＝＋＋××6×＝2、选B.68考点一东三模)三柱ABCAC的底是长3的三形、1棱⊥底、球O与三柱-AC各侧、面相、侧棱AA的长11为)

B.

C．

解：因球与三柱侧、面相、以侧的等于的径设的径、球在面的1射是面三形中、图示因AC＝、以ππAD＝AC＝因tan＝所以的径R＝MD＝tan＝6AD631××1＝、所AA＝2R＝×＝322考点二三锥-ABC中⊥面ABCAC⊥BC、＝BC＝1PA＝、该三锥接的面为()A．πC．π

B.2D．π解：A把三锥P-ABC作由一长宽高分别1、13的方截的部(如)．知三锥外球是应方的外球又方的对线为1

＋＋3

2

＝、外球径5、面为4×＝5π.考点二洛统)已三锥PABC的个点在球上为该的直、ABC是长的等边角、棱PABC的积、则此棱的接的面为)16

40B.

2P-432223222P-4322232264

80解：D依题、三锥-ABC的外球球为O、径R、点到平面133ABC的离、则V＝＝××4×h＝得h＝又为O的23AB直因球O到面的离于＝.又正ABC的接半径＝33＝、此R

＝＋

＝、以棱PABC的外球表积πR

80＝、故选D.[全国卷5年题中练——明律全国Ⅰ某多体三图图示、中视和视都正形等直三形成正形边为、视为腰角角．多体各面有干是形这梯形的积和()A．C．解：

．12D．由视可该面是个合、面一底是腰直三形直棱、面一底是腰角角的棱、腰直三形腰为、直棱的为、棱的为、知多体个是形这梯的积和＋为×＝、故B.．(2017·全卷)已圆的为1、它两底的周直为2的同个的球上则圆的积)A．π

3B.π解：设圆的面径r、则＝－＝、所圆的积V＝×43＝.．(2016·全卷)在闭直棱ABCB内有个积V的．⊥11、＝6、BC＝8、AA＝、则V的最值()1A．πC．π

9B.32

3π322表313π322表31＋－解选设球半为△ABC的切圆径＝∴≤又≤3、∴≤、∴V××max

＝.故选B.．全国Ⅱ)如是圆与锥合成几体三视、该何的面为)A．πC．π

．πD．π解：C由三图知几体圆与柱组体设柱面半为、长c、圆锥线为、柱为.图＝、＝π＝4π、＝4、由股理：＝2

2

＋3

＝、Sπr＋ch＋cl＝π＋16＋＝28π.．(2015·全卷)一正体一平截去部后剩部的视如图则去分积剩部体的值()

B.解：D由已三视知几体由个方截了个“角后余部、图示截部是个棱．正体棱长11、三锥体为＝××××＝、余分体积V＝1－＝122V6所＝＝故选D.V552．(2017·全卷)长体长宽高别为、其顶都球的球上则球O的面为_．

222222解：由题知长体体角长＋＋1＝14记方的接的径R、有2R＝14＝

、此O表积＝R＝14π.答：14π[课时达检[小题对练—点点实对练一空间何的视和观．出列个题①侧都全四形棱一是棱；②角是等形六体定长体③两面直底的柱定直柱④方一是四柱其正的题数()A．C．

．D．解：A①直行面底面菱、足件不正柱②面等梯形直柱满条但是方；④然误故．广州校考已知某何的视和视均图示给出列5个图形其可作该何的视的形数()A．C．

．D．解：B由题可作该何的视的形以①③⑤故选．如所的间角标O中、个面的点标别、(2,2,0)、(1,2,1)、(2,2,2)给编为②④四图则该面的视和视分别)

22222表22222表A．和C．和

．和D．和解：D由题得该何体正图一直三形三顶的标别是、、(0,2,2)且有条线(一点另直边中的线)、故视是④俯视即底的影一斜角三顶的标别(0,0,0)(2,2,0)(1,2,0)故视是4.如′′B′是的水放置直图中′′＝O′′2、△的积_．解：eq\o\ac(△,Rt)OAB中OA、＝eq\o\ac(△,、)OAB的面＝××＝4.答：4．个台、底的径别为3、若两面心连长cm、则个台母长_______cm.解：图过作⊥、交于在eq\o\ac(△,)中、＝12cm、BC＝－＝5(cm)∴AB＝12＋5＝．答：13对练二空间何的面与积．知锥表积、它侧展图一半、这个锥底直是()

B.

3333

a3解：C设圆的面径r、母长l、题知πr＝、l＝2、则圆a23a的面S＝r＋π(2r)＝、＝、r＝.33．(2017·全卷)如、格上正形的长、实画的某何的

2222三图该何由平将圆截一分所、该何体体为()A．πC．π

．πD．π解：B由题知该何由面径3高的柱去面径3、高的圆柱一所、其积＝π×－×××6＝63(2018·湖北四联)已某何的视如所示则该何的面为)A．C．＋＋)π

．＋5)πD．＋(5＋)π解：C该何体两相的圆与个圆的合、表积S＝π＋＋＋π＝4＋＋π.．(2017·山东考)由一个方和个圆体成几体的视如、该何的积_．解：几体一长宽高别的长方和个面径1高1的分一柱构、

2222π19622222π1962π∴V＝2××＋2×π××＝＋.答：＋

π．国代学著数九》中“池测”：下时用个台的池接水天盆口径二八、底径一二寸盆一八．盆积深寸则地雨是________．(注：①地雨等盆积体除盆面积②尺于寸解：题知圆中面的径十、台水体为V＝h(r＋＋下中

πV588πr)×(10＋6＋×6)588立寸、雨为＝＝寸)．下答：3．合肥质)高4的直棱柱削一分得一几体它直图和视中侧图俯图图示则几体体是直三柱体的．解：侧图俯图该何是为、面为××＋＝的棱、1其积×62＝4.而直棱柱体为××2×＝则该几体体是直棱2的积答：

对练三与球关切接用题．三锥A-中侧AB、AC、两两直eq\o\ac(△,、)ABC、、△ADB的面分为

3、、、该棱外球表积()2A．πC．π

．πD．π2解：B设相垂的条棱AB分为、、c则＝、＝

22222222－R＋2222222222－R＋226、ac＝解a＝、＝1、c所以棱A-的接的径R＝2＋＋＝、其接的面S＝π＝6π.．知四体棱为、其接的面为()A．π

．π

π

D．π解：D如图示过点A作AO底面BCD、足、则O为三形BCD的心连并长BC于点E又四面的长2、以＝

6、＝DE、所在角角3AOD中AOAD－

3

设四体接的心P半为、接PD则2在角角中＝PO＋、即R＝外球表积S＝R＝π.

3

2

、得＝、所以．(2018·湖七州)考一几体三图图示该何外球的面为)A．πC．π

B.πD．π解：B根据视、知几体一四锥其面一边长的正方、是2将该棱补成个棱、图示则底面边为4的三形、高是、三柱的接即原棱的接、其心三柱个点距即该棱外球半∵棱的面是长的正角、底三形中到三形个顶的离×23

、外球半＝

3

＋＝

、接的面S＝R＝112π4×＝、选B.3

22222222222222陕西大附训)如图在棱ABCD中、面ABCD是长m的正形⊥底ABCD且PD＝mPA＝＝2m、在个棱内一球则球最半是_．解：PD⊥面、⊥AD又PD＝m、PA、＝设切的心O、径R、接、OD、OP图略)、知V＝V＋VP-O-ABCD11＋V＋V、即··＝·m＋×m＋×·2m·R×·-PADO--PBC-32311＋··R、得R＝－m、以球最半是(2－.22答：－2)大题合——迁贯通]．一长3cm、面径的柱铁管用段丝铁上绕2圈并铁的个点在柱同母的端则丝最短度多？解把圆柱面缠其的丝开在面上到形(如图、由题知＝πcm、＝4cm、点A与点C分是丝的、位、线长即铁的短度＝＋BC＝π(cm)．故丝最长为5cm.一几体三图如所．知视是边为1的行边、视是个为、为1的矩、视为两边为1的方拼成矩．(1)求几体体V；(2)求几体表积S.解(1)由视可、几何是个行面(如图、底面边为1的方、高3.所V＝××33.(2)由视可、平六体、AD⊥平ABCDCD⊥1平BCC、1所＝2、面ABB、CDD均为形11＝×(1×1＋1×＋×＝＋2．个三锥底边为、棱为15求个棱的积．

22解正棱SABC如所、设H为正角ABC的心连SH、的即该三锥高连AH并长BC于点E、则E为BC的中、AEBC∵ABC边为6的三形∴＝

×6＝、∴AH＝AE＝2在ABC、

1＝·＝×6×＝△ABC22在eq\o\ac(△,)SHA、＝15AH＝3∴＝SA

－AH

2

＝15＝31∴·SH＝×9×＝9.正三棱锥△第节空点直、面间位关本主包个知识：

平面基性；2.空两线位关系突点一平面基本质．理～3文语

[基本知]图语

符语公

如一直上两在一平内那这直线此面

∈lB∈A∈B∈α

⇒⊂

公公

过在条线的点有只一平如两不合平有一公点那它有且有条该的共直

、B、三不线⇒且有个面α、∈、∈α、∈αP∈α、且∈β⇒∩β＝l、且P∈公1是断条线否某平内的据公2及推是断证点线面依、理3是证三共或点线依．．理2的个论推1经一直和条线外点且有个面推2经两相直有只有个面推3经两平直有只有个面[基本能]．断(1)如两不合平α、β有条共线、说面α、β相、记αβ＝.()(2)两平α、有个共、就说αβ相于A点任一直线()(3)两平α、有个共、就说αβ相于A点、并作α∩＝A.()(4)两平ABC与DBC相于段BC.()答：√

(2)×

×

(4)×．空(1)空不线四、以定面个数．答：1或(2)下命中真题．①间同点定个面②间两交三直确一平；③组边等四形平四形④同直都交三平线同平内解：①是命、三共时过点无个面②是命、三直共时不确一平；是命、组边等四形可是间边；是命．答：(3)设P表示个、、示条线α、表两平、给下四命、

中命是________．(填号)①∈、∈⇒⊂；②a∩＝P、⊂⇒⊂③a∥、⊂、P∈、∈α⇒⊂；④∩β＝、P∈α、Pβ⇒b答：④[全析考]平的本质其用[典例已知间边(如所、分是、AD1的点、H分别BC、CD上点、CGBC、＝求：(1)EF、G、H四点面；(2)三线FH、EG、AC共点[证明连GH、E、F分别是中、EF∥又CG＝BC、＝DC、∴GHBD∴∥GH∴E、、G、H四共．(2)易FH与线平、但面∴FH∩AC＝、∴M平EFHG、M∈平.又平EFHG平ABCEG、∴MEG∴FH、、AC共．[方法技．明共问的用法公法

先出个面然证这点是两平的共、根据理证这点在线

同法

选其两确一直、后明余也该线2.证线点问的法证若线点基思是找两直的点再证其直线经该而证直过点方是明是该线交的个面公共．．明、线面题常方法纳平法辅平法

先定个面再明关、在平内先明关点线定面α、证其元确平、最后明平、重[全练题]．正体ABCD-ABD、、Q、R别B的中、么方11体过、、的面形是)A．角C．边

．边D．边解：D画出方、合面公与论求选D.．图正体四体P、Q、、分是在的点则四个不面一图)解：D、、C图中点定面D中

点共．．空中n个不的两距都等则正数的取)A．多于3C．于5

．多于D．于解：B＝时、可；n3时、正角、以；n＝时为四体、以＝时、四锥侧为三形底为形对线长边相、种况不能现所正数的取至等4.．下个题、确题个数()①共的点、中意点共；②点、、、D共面点A、B、、共面则、、、、E共面③直a共、线、共、直、共面

ππ④次尾接四线必面A．C．

．D．解：①显是确、用证证；中BC三点共线则、、、D、E五点一共；构长体正方、图然b、异面故正；中间边中条段不面故有正．5.如所在方ABCD-AD中、E、F分别的点．证：、111、DF四共．1证：图示连CD、、AB、11因E、F分是AA的点1所EF∥AB且＝AB、11又为ADBC、所以边是行边形11所AB∥CD、所以∥、11所与CD确定个面α、1所E、F、、D∈α、E、、D、F四点共．11突点(二空两线的置系[基本知]．间两线位关(1)空中直的置系行共直交异直：同任一平内(2)公和角理①理：行同条线两直互平．②角理空中果个的边别应行那这个角等互．．面线成角(1)定：、是两异直线经空任点O作直a′a、′∥、把a与′所成锐(或角叫做异直与所的(或角．(2)范：，

FGFG[基本能]．断(1)已a、是异直、直平行直、么c与b不可是行线．)(2)没公点两直是面线()(3)经平内点直(不平内)与面不过点直是面线．)(4)若条线面则两直一相交()答：√

(2)×

√

(4)×．空(1)若间有条线则这条线为面线是这条线有共”的___________条．解：两线异直、两线公点反不定立．答：分必江七校考)已直a和平面α、、α∩＝、α、⊄、a在α、β内的影别直和、直b和c的置系是．解：题、线和c的置关可是交平或面答：交平或面(3)空两角α、β、α与β的两边应行且α60、β___________解：α与β两对平、方向一．α与β相或补答：°或120°(4)如所、知长体ABCD-EFGH、＝2、AD＝3＝2、则BC和所角大是________、和所成的小_．EF解：BC与所成角于EG与FG所成角∠、tanEGF＝＝、∴EGF45.GF23∵AE与BG所的等BF所的即GBF、∠GBF＝＝＝、2∴＝60°答：°

°[全析考]空两线置系判

[例1](1)下结正的()①空中若条线相、它一平；②行同条线两直平；③条线两平直中一相、么也另条交；④间条线、、、如abc∥、且∥、那b∥.A．②C．④

．④D．③(2)在中、、、H分别正棱的点所棱中、表直GH异直的形．填上有确案序号[解析①、条直不交则们能行也能面②公理可正确③、一直和条行线的条交则和一条线能交也能面④平直的递可正．选B.(2)图中直GH∥；图中、H、三点面但M平GHN、此线GH与异面图中、接GM因GH与共；④、GM、N共、H平、因GH与异．以图④、GH与面[答案②[方法技判空两线置系思方(1)判空两线位关一可助正体型以方为线观知准确断(2)异直的定法①证：先假两直不异直线即条线行相、假的件发经严的理导矛、而定设肯两直异面②理：面一A与平内点B连和面不过的直是面线异直所的1.平直线段)法定法求面线成角常的移法：

22(1)利图已的行平；(2)利特点(线段端或点)作行平；(3)补平．．量(基法坐法求面线成角根题、定异直各的向量、、则异直所角θ满足cosθ＝·|[例2](1)(2018·福州校考)已知P是△在面的点M、N分是、PC的中、＝4＝、异直与MN所成的小是)A．°C．°

．°D．°(2)空四形ABCD中＝且AB与所成角°、F别、的中、EF与AB所角大．[解析取AC的点、接、、则OM綊BC、ON綊

PA、∠ONM就是面直PA与所成角由MN＝BC4PA＝、OM＝2、ON＝2、ON＋MN－＋163∴ONM＝＝、2ONMN×342∴＝°即面线与MN所成的小30故A.(2)取的中、接EG、、綊AB、FG綊CD由AB知EGFG∴GEF(或它的角)为EF与所的、EGF(或的角为与所成角∵AB与CD所的为°∴EGF°或°由EGFGeq\o\ac(△,知)EFG为等三角、当EGF°时∠＝75°；当EGF150°时∠＝15°故EF与AB所的为°°

[答案[方法技

用移求面线成角步一二三

即据义平线作异直所的即明出角异直所的解角、出出角如求的是角直、它是要的；果求的是角则的角是求角[全练题]考点一ll表示空间的条线若p：、是异直；q：ll不相、1()A．是q的充分件但是q必条．p是q的必要件但是的分件C．是q的充分要件D．既是q的充分件也是q的必条解：A若l、异、、l一定相；l、不交则l、l是平直1212线异直、q、、故是q的充不要件考点一正棱中′′在直与BB′在直是)A．交线．行线C．互垂的面线D．相直异直解：C结合形棱性易除、B、故选C.考点一湖七(州联考)设线与平面α相交不直则列法正确是)A．平α内且有条线直线垂直．直有且有个面与面α垂直C．直垂直直不能平α平D．直平行平不能平α垂解：对于A、在面可有数直与线m直这直是互平的A错；于B、要α、直m必有且只一平与面α垂直B正；于、似A、平α外可有数直线直直并且行平α、C错；于D与线m平行与面α垂的面无个D错误故B.考点二云省测如、长体-ACD中、11＝、BC＝、BB＝、P是的中、异直线BC与PD所1

22成角于)A．°C．°

．°D．°解：如、AB的中E、接DE、、、则E为面111线与PD成角因AB＝、以E＝1又＝BB＝1、所E＝＝11AE＝2、以E为正角、以＝60°、故选11．考二]如图示正体ABCDACD中．11(1)求A与BC所角大；111(2)若E、分为、AD的点求AC与EF所角大．1解(1)如、接、AB、1由ABCD-AD是正体知C为平四形1111所AC∥AC从而与所成角是A与所1111的．ABAC＝BC可知CA＝°即AC与BC所成11为°(2)如、接BD、由∥CC、且＝CC可A是1平四形∥与所成角是A与所成角是△1的位、∥BD又⊥、⊥AC即求为°[全国卷5年题中练—明律．全国Ⅱ)已直棱ABCB、ABC＝120°＝2、BC＝111＝、异直BC所成的弦为)1

B.

解：选

如所、直棱-ABC补成直棱111ABD、连AD、BD、AD∥、所∠AD或11111补为面线与所的．因∠ABC＝°AB＝211＝、以AB＝、AD＝2.△BDC中、BCD111111°、BC＝1D＝、以BD＝1＋－21×cos60°＝3、以cosB11111＋－3＝＝××5

．(2016·全卷)平α过方-ACD顶、∥平面CBD、α∩111平ABCD＝m、α∩面ABB＝、则、所成的弦为)11

B.

D.3解：A如图在方ABD的上接个等111小正体ABCD-AD过平CBD平行是面D、2222平D∩面BB＝、直n就是线AB、面平212的质理直平于线BD、、n所成的就于与22B所成角在边角D中∠D＝60°、其弦2222为

选[课时达检[小题对练—点实对练一平面基性．条段次尾连它最多确的面)A．个C．个

．个D．个解：A首尾连四线段相两确一平、以多以定个平．．直上两点平外则()A．线至有个在面．线有穷个在面C．线所点在面D．线至有个在面解：D根据意两确定条线那由直上两点平外则直在面、能直与面交或直与面行那么知线至有个在面．3.如、∩β＝l、∈∈β、l、线AB∩＝、过A、、三点平记、则γ交必过)A．A．BC．C但过MD．C和M解：D因为γ、∈、以Mγ.又α∩β＝lM∈l、以M∈.

222111222111根公3可知M在γ与β的线．同可、C也γ与β的线．4.如、行六体ABCD-ACD中既与共面与CC共的11棱________．解：题、AB和CC都交棱；与AB相交与平1行棱AABB；与AB行与CC相的有、D故合件111棱条．答：5对练二空间直的置系．知面线a、b分别平面α、β、且∩＝c、么线c一定()A．、相．能a中一相C．少a、中一相D．、平解：C如果c与ab都行那由行的递知、b平、异矛盾故．知l、l、l是空三不的线、下命正的)123A．⊥l、l⊥l⇒l12．l⊥l、l∥l⇒⊥l1C．∥l∥l⇒、l、l共面122D．、l、l共点⇒、l、共12解：在空中垂于一线两直线一平、A错；条行直中一垂于三直、另条垂于三直、正确相平的三条线一共、三柱三侧、C错；点三直不定面如棱锥三侧、D错．．(2018·兰市考战拟已长体ABCD-BD中、AA＝＝3、AD11＝、异直BC和D所角余值()1

B.

解：A如图连AD、、由易B∥D、∴CDA111是面线B与CD所成角又AA＝AB＝3AD＝、∴AD＝、1＝、＝2、由弦理得c∠DA＝11

CD＋DC＝2D×AD411

故．图正体面一展图则中AB、CD、EFGH在正体互异直的_对．解平图的折注翻前相位的化则AB、CD、EF和GH在正体、然与CD、EF与GH、GH都是面线而与EF相交、与GH交与平．互异直的对答：3．知、c为三不的线且a⊂面α、⊂面β、∩β＝.①a与是面线则c至与、的条交②a不垂于、a与一定不直③ab、必∥；④ab、a⊥、则有α⊥β.其正的题________．(填所正命的号解：中与异直、c至少ab中一相、①确②中面α⊥面时若⊥、b⊥平α、时论、是否垂、有a、故错；③当∥b、a∥面β、线平的质理可∥、③确；中b∥、则a⊥b、a⊥c时、与平面β一垂、此平α与平面也一垂、④误答：③6.如所、在间边中、点、别边AB、CG2的点点F、G分别边BC、CD上的点且＝＝、下CB说正的_．填写所正说的号)①EFGH平；②EFGH异；③EFGH的点M可能直、可不直AC上；④EFGH的点M一定直．解：接、FG图)、题、得EH∥BD、FGBD、故∥、以E、F、GH共．因＝BDFG＝BD、≠、3所EFGH是梯、EF与GH必相、设点M.因为M在上故M在面ACB上．理点M在平面ACD上、∴M是面ACB与平ACD的点

222222222222又AC是两平的线、所点M一在线．答：．(2018·武调)在四体中、M、N分别BC和的中、则面线MN和CD所成的弦为．解：中E、接NE、ME、E、N分为、的中知∥、故CD所的即与NE的角即MNE设四体棱为2、得NENE＋－ME＝、ME、＝、cos∠＝＝NE·MN2答：

．图在棱-中、＝AC＝＝＝、＝BC＝、M、分别为AD、BC的点则面线AN、CM所的角余值．解：图示连DN取线DN的中、接、CK.∵M为AD的点∴MK∥、∠(其角)为面线、CM所的．∵＝＝BD＝＝、ADBC＝2N为的中点由勾定易得＝＝CM＝2、∴MK＝在CKN中＝

2＋＝3.△中由弦理得＝2＋－××22答：

2

7＝、以面线、CM所的的弦是.8大题合—迁贯1.如所A是BCD所在面的点E、F分是、的点

(1)求：线EFBD是面线(2)若⊥、＝BD、求EF与BD成的角解(1)证明：设EF与BD是面线则与BD共、而与BE共面即AD与BC面所A、、D在一面、与是△所平外一相盾故线EF与BD异直．(2)取CD的中点、接、、AC∥FG∥BD、

22所相直与EG所的、即异直与成角又为⊥BD、FG⊥EG在eq\o\ac(△,Rt)、EG＝FG＝AC、得＝45、即面线与所成的为°2.如、三棱-ABC、⊥面ABC、DPC的点已π∠＝、AB＝、＝3、＝2.求：(1)三锥PABC的积(2)异直所角余值解＝×2×23、棱-ABC的体为V＝＝×3eq\o\ac(△,)ABC△ABC33＝(2)如、PB的中E、连、AE则ED∥、所∠ADE(或补)是面线与AD所成角△＋－2中DE＝、＝、AD＝、ADE＝.2×4故面线BC与所角余值为.3.如所、三柱ABC-A、底是长的三形侧11A⊥底面ABC、点E、F分别是棱CCBB上的、M是线上11的点＝FB2.(1)当M在何位时∥面AEF?(2)若BM∥面AEF、断与EF的位关、明由并EF所成的的弦．解(1)法一：图示取AE的点、连接OF过OM⊥于点M.因侧A⊥底面ABC、1所侧AACC⊥底ABC11又为＝FB＝2所OM∥FBEC＝＝FB、所四形OMBF为矩、∥.因OF平面AEF、BM平AEF、故∥面AEF、时M为AC的中．

法：如所取EC的点P、AC中、接、.因ECFB2、所PE綊BF所∥、∥EF、所∥面AFE、∥平AEF、因PB∩＝P、PBPQ⊂面PBQ、所平PBQ∥面AEF.又为BQ⊂面PBQ、所∥面AEF故Q为所的M、时M为AC的中．(2)由(知BM与异、∠OFE(或∠)就异直BMEF所的或补．易AFEF＝5MB＝OF、OF⊥、所∠OFE

OF15＝＝、EF5所BM与所的的弦为

第节直、面行判与质本主包个知识：1.直与面平的定性；

平面平平的定性.突点一)直线平平行判与质[基本知]直与面行判定和质理文语平外条线此

图语

符语判定

平内一直平行则直与平面行线线行⇒线平

l∥a、a⊂、l⇒∥α

性定

一直与个面平、过条线的一面此面的线该线行(线面平⇒线行)[基本能]

l∥α、l⊂、∩β＝⇒∥b．断(1)若条线平内条线行那么条线这平平．()(2)若线∥面、Pα、过P且平于线的线无条)(3)空四形ABCD中、E、F分别AB的点则∥面BCD.()答：×

(2)×

√．空(1)对直、和面α、⊂则∥”“∥”的条．解：∥n时、m⊂或m∥α当∥α时与n可能行可异．答：不分不要(2)若线∩线＝A、∥面α、b与的置系是．解：为a∥α、a与面α没有公点若b⊂、则∈、A∈a、此种况可．b∥或与α相．答：∥α或b与α相交(3)如、ABCD-CD是方、过、B三点平11与面BD交为、l的关是．11解：∥、C⊂面AD、平BD、111111∴AC平CD、又⊂平面AB、面C∩面1111ABCD＝、AC∥11答：∥[全析考]线平的定

[例1]山西校考如、五体ABCDEF中已棱DE⊥面、AD∥、∠BAD＝30、＝4、＝EF＝2.(1)求：EF∥平；(2)求棱BDEF的积[解]证明：为∥、⊂ADEF、平ADEF所BC∥面ADEF、又⊂ADEF、所BC∥、从∥平ABCD(2)如、平ABCD内、过B作BH⊥于点H、因DE⊥平、⊂面ABCD、所DEBH又DE⊂面ADEF、AD∩＝D所以BH⊥面ADEF、所BH是棱-的．在角角中、＝°、AB＝4、以BH因DE⊥平、⊂、以⊥、又1)知、∥EF且AD、所∥、所DE、以DEF的面积S××22、所三锥B-的积＝×S×BH＝××2＝.[方法技判线平的种法(1)利线平的义无公共)；(2)利线平的定理⊄α、⊂∥⇒∥)；(3)利面平的质理α∥β⊂⇒∥β)；(4)利面平的质αβaαa⊄β、∥α⇒．线平性定的用[例2]如图在面ABCD中、截平于棱ABCD试问面什位时截面最．[解]∵∥平EFGH、平EFGH与平ABC平分别于FG、∴ABFG、AB∥EH∴FG、理证∥、∴面EFGH是行边．设ABaCD＝、∠FGHα(α即为异直和CD所成角其角)．

▱▱又FG＝x、GH、CGBG则平几知可＝、＝、yb两相得＋＝1、即y－)、bsinα∴S＝·GH·sinαx·(a－α＝(－)．∵x>0a－>0且＋－＝a为值∴且当＝a－x时、

αα(a)＝取大、此x、42即截EFGH的点EF、别棱AD、、中时截面积大[易错提在用面行判定进平转时一注定成的条、常严按定成的件范写骤如把面行化线平行、须清过知线平和知面交这才直与线行[全练题]考点二如所四边是平四边点P是平ABCD外点M是中、上取点G、GPA作平交面BDM于GH.求：∥GH证：图示连BD于点、连MO、∵边是平行边、∴O是的中、M是PC的点∴∥OM又MO⊂平BMD、⊄平BMD∴∥面BMD.∵面PAHG∩平BMD＝GH、且PA⊂面PAHG、∥.考点一长模)如、、、C、D、为顶的面体、ABC和△为等边角、平⊥面、EC⊥面ABC、＝、AB＝(1)求：∥平ABC；(2)求六体体．解(1)作DF⊥AB交点F、连接、

因平⊥面ABD、所DF⊥平ABC、又⊥面ABC所DF∥因△ABD是长的等边角、所DF＝3、因DF＝EC于四形DECF为平四形所DE∥CF、CF⊂面、平面、因DE∥平ABC.(2)因△ABD是等三形所F中、而ABC等三形因CFAB、由⊥平面ABC、知DF⊥CF、从CF平ABD又∥EC所DE⊥平ABD因四体的体为·DE1、四体的积·CE1△ABC而面ABCED的体积四体的积＋面的积故求面的积2.突点二)平面平平行判与质[基本知]平与面行判定和质理文语

图语

符语判定

一平内两相直线另个面行则这个面行线平

∥、β、∩＝P、⊂、b⊂⇒∥

性定

行⇒面行)如两平平同和第个面交那它们交平

α∥、∩＝、β＝b⇒∥[基本能]．断(1)如一平内两直平于一个面那这个面行)(2)若个面有数直与一平面行则两平平．()(3)如两平平、么别这个平内两直平或面)(4)若个面行则个面的线与一平平．()答：×

(2)×

√

(4)√．空(1)经平外两作平的行面、以_个解：当这点线该相时这作出合意平面当两连与面行可作一一符题的面答：0或(2)在方EFGH-EFGH中、下四截彼平的对序是．11①面EFG与面；11②面FHG与平FH；11③面FHH与平面FHE；1④面EHG与平EH1解：出应截如所、可答．答：(3)如、α∥、所在平与α、β分交CD、PC＝、＝、＝、AB＝

PAPAPC解：α∥、∴∥AB、则＝、PACD×∴AB＝＝.PC2答：

[全析考]面平的定性[典例(1)(2018·烟模)如图、三柱ABC-A中、是上点且11A∥平面、D是BC的中、证：面∥平面D.111(2)在图示几体、D是中、EF∥.已知、分别ECFB的中．证GH∥面.[证明如、接AC交于E、接ED、因四形A是平四11形所点E是AC的点因∥面ACD、面BC平DED、所11A∥、1因点E是的点所点是中、1又为D是BC的中、以D綊BD1所四形D为平四形所BD∥CD1平面ACD、D平面ACD、11所BD∥平面D、又为AB∩BD＝、11所平ABD∥平面ACD.1

(2)取FC中点I、连GI、HI、则GI∥EFHI∥BC、又EF∥DB、所GI∥、又GI∩HI＝I、BD∩BC＝、所以面GHI∥面、因GH⊂面GHI所GH平.[方法技判面平的种法(1)利定：证个面有共(不常)(2)利面平的定理主方．(3)利垂于一直的平平(客观可用．(4)利平平的递、两平同时行第个面则两平平行(客观可)．[全练题]1.如、三棱SABC中平SAB平SBC、AB⊥BC、＝AB过A作AF⊥、足为F、点E、G别棱SA、的中点求：平EFG∥面ABC(2)⊥SA证：因AS＝AB、AFSB、垂为F所F是的中．又为E是SA的中、以EF∥.因平面、AB⊂面ABC、所EF∥平ABC同、∥平面又为∩EGE、所平EFG平(2)因平⊥平、且线SB、AF⊂面AF、所AF平面.因BC⊂面、所AF⊥.又为⊥、AF∩＝A、且AF⊂平面SABAB⊂面SAB所⊥平SAB因⊂面SAB、所BC⊥．知平α∥面βAB、CD夹αβ之、、∈、B、Dβ、E、F别、CD中、证∥、∥证：CD共时经AB平与、β别交、BD.∵∥β、∥又＝EB、＝、∥AC

∵⊂、EF⊄、∴EF∥α、理∥.当AB和CD异时、图CD与E所确的面过E作′D′α、β分交点C′′经相直′′作平分交、AC、BD′∵∥β、′∥、＝、∴′E＝′∵′D′∥、∴过′′和CD平与α、β分交C′C和′D∵∥β、′∥′在行边′′DC中∵′E＝′CF＝FD∴EFD′∵′D⊂、β、EF∥β同EF∥α.[全国卷5年题中练—明律．(2017·全卷)如、下四正体中A、B为方的个点、M、N、Q为在的点则这个方中直AB与平MNQ不行的()解：A法一对选B如图示连、为AB∥CD、Q分是在的点所MQCD所ABMQ又平面MNQMQ⊂平MNQ、所AB∥平MNQ同理证项C、D中有∥平MNQ故选法：于项A、设方的面角的点(如所、连OQ则OQ∥AB.为OQ与面有点所AB与面有点即与面MNQ平、据线平平行判定及三形中线质、项、C、D中∥平故A.全国Ⅲ)如、棱P-ABCD中、⊥面ABCD、AD∥AB＝AD＝＝、＝＝4M为段AD上点AM＝MD、N为PC的中．(1)证MN∥平PAB(2)求线与平PMN所成的弦．

222n·PM＝，222n·PM＝，n·＝，解(1)证：已得AM＝＝2.取BP的中T连接ATTN由N为PC的点TNBC、TN＝BC2.又∥BC故TN綊AM所四形AMNT平四形于∥AT因平PABAT平PAB所MN∥平.(2)取的中E、连接AE由ABACAEBC、从⊥AD、且＝－＝

AB－

BC

＝5.―→以A为坐标点的方为轴方、立图示空直坐系-xyz.5由意、M、C(、2,0)

，1，2、――5―→PM＝、－4)、PN＝，，、＝，122设＝(、、z)为平面PMN法量―－4＝0，则即―＋－2＝0，

可n＝．―→―|85于|cos、AN〉＝＝―→25n5所直AN与面所成的弦为[课时达检[小题常题—准快]．(2018·河保模)有列题①直l行于平α内无条线则线∥；②直a在平α外则a∥α；③直ab、∥α、则∥；④直ab、∥α、则平行平α内无条线其真题个是()

A．C．

．D．解：A命题l以平α内是命；题直与面可是交关、假题命③可以平α内是命；命④真题．(2018·湖湘名联)已、n是两不的线α、β、是三不的面下命中确是()A．m∥、∥、m∥nC．α⊥、β⊥、αβ

．∥、⊂、则α∥D．⊥、⊥、m∥n解：DA中、直可平、交或面B中两面能行相；中两面能行相；D、线垂的质理知论确、选．、是同直、、是同平、m、n⊂、则α∥β”“m∥且∥”)A．分必条C．要件

．要充条D．不分不要件解：A若m、n⊂、∥β、∥且n∥β；之m、n⊂∥且∥β、则α与相或行即α∥”“m∥n∥”的分必要件．(2018·襄模)如、正体ABCD-AC中、、N分1是、的中、则列法误是()1A．MN与CC垂直1．MN垂直C．MN与平D．MN与A平行11解：D如图示、接ACC、BD则∥、1⊥BD、C⊥MN、故AC正确D错误又为⊥BD、所以1⊥AC、B正确．湖南郡中质如图示三柱ABC-B中、111AB的平与面ABC交于DE、则DEAB位关是()11A．面C．交

．行D．上有能解：B在三柱ABC-AB中、AB∥A、111∵⊂ABC、A面ABC、11∴A∥平、11∵A的平与面ABC交于DE1∴∥B、∴DE∥AB1

．知方ABCD-ABCD、下结中正确结是________(只填号)．1111①∥；②面D∥平；111③∥DC；AD∥平111解：接、BC、ABBD、CD、、为AB綊D、1111所四形ADCB平四形故AD∥从①确易111BD∥D∥又AB∩BD＝B∩＝D故平AB1111111∥面、从而正；图知AD与DC异、③误因AD∥、1平、平面、AD∥平面BDC、④确1答：②如所示在面中MN分别△ACD、△的重心、则四体的四个面所在平面中与MN平行的是．解：接AM并延、交于点E、连接BN、延交CD点F、由心质知E、F重合一、该为的点E、EMEN1接、由＝＝、得MN∥因、MN∥面MN平MANB面ABD答：面ABC、面8.如所、三柱ABC-AB侧B是菱、D是1111AC上的且A∥平面CD、A∶的值_______．1111解：∩BC＝O、接OD.1∵AB平CD且平∩面CD、111∴ABOD、1∵边BCC是菱、11∴O为的中、1∴D为A的中、D∶＝1.111答：1[大题常题—稳全]1.如、与ADEF均平四边、MN、G分别是、、EF中．证：(1)BE平DMF；(2)平∥平.

233＝233＝证：连AE、则AE必DF与GN的点O、连MO、则为△的位、以BEMO又⊄面DMF⊂所以BE平面DMF(2)因N、G分为行四形ADEF的AD、的中、以DE∥、又DE⊄面、⊂面MNG、所DE∥平MNG又M为AB中、所为△ABD的中线所BD∥、又MN⊂面⊄面MNG、所BD∥面、又DE、BD⊂面、DEBD＝、所平∥面MNG.长春检)如、四锥P-中底ABCD是形⊥面ABCD、点D为棱的点过D作与面1平的面棱、PB相交点、B、、∠BAD°11(1)求：为PB中；1(2)已棱的为、AB2AC、交点、连BO1求棱外球体．1解(1)证：接BD1由意、面ABCD∥面AD、平∩平ABCD11BD、平∩面ADBD、则BD∥BD、111即BD为△的位、1即B为PB的点1(2)由(可得、＝、AO3、＝、⊥OB、⊥、⊥11即棱-的外球以OA、、OB为长宽高长体外球则1该方的对线d＝

＋

2

＝、即外球径R＝.4则棱B外接的积V＝π＝××1

125483.如所、在方ABCD-CD中、、、G、H分别111、、CD、A的点．证111

(1)BF∥HD；1(2)EG∥面BBD；1(3)平BDF平BD1证：如所、BB的点M、接MH、MC、证边形D是行1111四形∴HD∥.1又MC∥BF、∴BF∥HD11(2)取BD的中点、接、O、綊DC、12又綊DC、OE綊DG12∴边是行边、GED1又GE平DD、DO⊂面BBDD、1111∴∥平面DD.1(3)由(知BF∥HD1又∥BD、BD、⊂DH、、BD⊂平BDF且BD∩HD＝D、1111111DB∩＝、∴面BDF平DH.114.如、棱锥-中、AB∥、ABCD为PB的点(1)求：∥平.(2)在段AB上是存一F、得面PAD平CEF若存在证你结、不在请明由解(1)证：的点H、连接、DH因E为的中、所∥AB、EHAB又AB、CD＝、所∥CD、EH＝、因四形DCEH平四形所CE、又DH⊂面PAD⊄面PAD、因CE平(2)存点F中、平∥面CEF、

证如：取AB的点F连CF、、所AFAB又＝、所AF＝、又AFCD、所四形AFCD为平四形因CFAD、又CF平面、所CF∥平面PAD、由(可知∥平PAD又∩CF＝C、故面∥面PAD故在AB的中F满要．第节本主包个识：1.直、面垂的定性；

直、面直判与质平与直综问突点一)直线平垂直判与质[基本知]．线平垂(1)直和面直定直平α的意条线都直就说线平面α互垂．(2)直与面直判定与质理：文语

图语

符语判定

一直与个面的两相直都直则该线此面直

，⊂∩＝Ol⊥l⊥b

⇒α性定

垂于一平的条直平

⊥b⊥α

⇒∥b2.平与面垂(1)平与面直定：个面交、如果它所的面是二角就

2222这个面相直(2)平与面直判定与质理：文语

图语

符语判定性定

一平过一平的垂、这个面直两平垂、一平面垂于线直与另个面直

l⊂⇒⊥l⊥α⊥l⊂⇒⊥α∩＝a⊥[基本能]．断(1)直l平α内无条线垂、l⊥α)(2)若线⊥面、直线b∥α、直与b垂．()(3)直a⊥α、bα、∥.()(4)若α⊥、⊥β⇒∥.()答：×

(2)√

√

(4)×．空一条线三形两同垂直则条线三形第边位关是．解：线垂的定理直垂于角所的面．答：直(2)如、面⊥平面、∠BAC＝∠BDC＝90°且＝＝、AD＝解：图取BC的点E、接ED∵＝、∴⊥BC∵面ABC⊥平、AE⊥平BDC、AE⊥ED在eq\o\ac(△,)和2eq\o\ac(△,)BCD中、＝ED＝BC＝a∴eq\o\ac(△,Rt)AED中＝AE＝

＋ED答：a(3)PD垂于方ABCD所的面连、PA、则一互垂直平有________对．

解：于⊥面ABCD、平面⊥平、平⊥平ABCD平面⊥平ABCD平面⊥平平PAC⊥面平面PAB平PAD,平PBC平、共对答：7[全析考]直与面直判与质[例1]如图示在棱P-ABCD中PA⊥底ABCD、AB⊥AD、⊥、＝°PA＝、是PC的中．明(1)⊥AE；(2)PD平.[证明在棱-中、∵⊥面、⊂面ABCD∴⊥CD∵⊥CD、PAAC＝A、∴⊥面PAC而⊂PAC∴⊥(2)由＝＝、ABC＝°可＝PA∵是PC的点∴⊥PC由(知⊥CD且PC∩＝、AE⊥面PCD.而⊂、∴⊥PD∵⊥面、∴⊥又⊥AD且∩＝、∴AB平PAD、PD⊂面、∴⊥.又∩＝、PD平面ABE[方法技证直与面直方(1)定法若条线直一平内的意条线则条线直这平面(不常用；(2)判定(常方)；两平直中一垂于一平、另条垂于个面(客观常

用)；(4)若条线直两平平中一个面则必直另个面(客题用)；(5)若平垂、在个面垂于交的线垂于一平(常方)(6)若相平同垂于三平、则两平的线直第个面(客题用)．平与面直判与质[例2](2017·山东考由棱柱ABCD-CD截去棱-BCD后得的1111几体图示四形ABCD为正形为与的点E为AD的中点AE1⊥面.(1)证：O平；11(2)设MOD的点证明平AEM⊥面B.111[证明取D的中、连、1AO11因ABCD-AD是四柱111所AO∥、AOOC、111因四形A为行四形1所AO∥O、1因OC⊂面CD、AO平面CD、111所AO∥平BCD.111(2)因E、M别AD、OD的中、所EM∥因⊥、所EM⊥、又AE平、⊂ABCD、1所A⊥、1因BD∥BD、1所EM⊥BDE⊥D、1又AE⊂平A、EM⊂EM、EEM＝E1所BD⊥面AEM、1

13213213又BD⊂面BCD、11所平A⊥平BCD.111[方法技

面垂判的种法一转两方一转

面面垂的义面面垂直判定(⊥β⊂⇒⊥β在知个面直、般用质理行化在个面内交的垂、化线垂、后一转为线直[全练题]考点一合质)已四锥P-的底ABCD为菱、PA⊥底、ABC＝°点E、分为PD的点PA＝AB＝2.(1)证：⊥平PAD(2)求面体积解(1)由PA⊥底、得⊥AE由面ABCD为菱、＝60°得△ABC等三形又E为BC的中、AEBC、所AE⊥.因PA＝、所AE⊥面.(2)设面体积V、V＝V＋.P--PAFV＝×××EC×＝×3×1×＝；P-V＝××PA××∠×AE×××××＝C-3故面体V＝

33＋＝3．考一二]如图在棱锥-AB