江西省2020年高二数学上学期期中考试卷（九）

江西省2020年高二数学上学期期中考试卷（九）

（理科）

（考试时间120分钟满分150分）

一、单项选择题（共12题，每题5分，共60分）

1.命题“存在x（）GR,2x"0”的否定是（）

A.不存在x（）GR,2xo>0B.存在x（）GR,2xo>0

C.对任意的xeR,2x<0D.对任意的xeR,2x>0

2.已知命题p：x<l,命题q：—>1,则命题p是命题q的（）

x

A.充要条件B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件D.必要不充分条件

3.抛物线x=2ay2的准线方程是x=l,则a的值是（）

A.-4B.4C.-2D.2

88

4.下列说法中，正确的是（）

A.数据5,4,4,3,5,2的众数是4

B.根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关

C.数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半

D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数

5.若a,B是两个不同的平面，下列四个条件：

①存在一条直线a,a±a,a±3；

②存在一个平面Y，Y_La,YJ_B；

③存在两条平行直线a,b,aCa,bcp,a〃B，b〃a；

④存在两条异面直线a,b,aCa,bcp,a〃|3,b〃a.

那么可以是a〃B的充分条件有（C）

A.4个B.3个C.2个D.1个

6.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量彘与位的夹角为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

7.程序框图如图，如果程序运行的结果为S=132,若要使输出的结果为1320,则正确的修改方法是

A.在①处改为k=13,s=lB.在②处改为K<10

C.在③处改为S=Sx(K-1)D.在④处改为K=K-2

8.表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y

（吨标准煤）的几组对应数据.根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为7=0.7x+0.35,

那么表中t的值为（）

X3，456

y2.5t44.5

A.3B.3.15C.3.5D.4.5

9.如图，已知AB是半圆O的直径，M,N,P是将半圆圆周四等分的三个分点，从A,B,M,N,

P这5个点中任取3个点，则这3个点组成直角三角形的概率为（）

10.如图，Z\PAB所在的平面a和四边形ABCD所在的平面0互相垂直，且ADLa,BCla,AD=4,

BC=8,AB=6,若tan/ADP+2tanNBCP=10,则点P在平面a内的轨迹是（）

A.圆的一部分B.椭圆的一部分

C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分

22

11.椭圆工+二=1的长轴为A]A2,短轴为B1B2,将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得A]点在平面

1612

B]A2B2上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）

A.75°B.60°C.45°D.30°

22

12.如图，已知双曲线C：（a>0,b>0）的右顶点为A,O为坐标原点，以A为圆心的

ab2

圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q,若NPAQ=60。且左3而，则双曲线C的离心率为（）

'净岑C.fD.如

二、填空题（共4题，每题5分，共20分）

13.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个

年级的本科生中抽取一个容量为30（）的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的

本科生人数之比为4：5：5：6,则应从一年级本科生中抽取名学生.

14.如图，四边形ABCD为矩形，AB=V3,BC=1,以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE,

在圆弧DE上任取一点P,则直线AP与线段BC有公共点的概率是.

15.表面积为6()兀的球面上有四点S、A、B、C,且aABC是等边三角形，球心0到平面ABC的距

离为6,若平面SABJL平面ABC,则棱锥S-ABC体积的最大值为.

16.若曲线和曲线kx+y-3=0有三个交点，则k的取值范围是

49

三、解答题(17题10分，18-22题每题12分，共70分)

17.阿在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5.甲先从

箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个

小球.

(I)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同为平局)，求甲获胜的概率；

(11)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？

18.某校1000名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如右图所示，其中成绩分组区间是：[50,

60),[60,70),[70,

80),|80,90),[90,100].

(1)求图中a的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这1000名学生数学成绩的平均分；

(3)若数学成绩在区间[72,88]上的评为良好，在88分以上的评为优秀，试估计该校约有多少学生

的数学成绩可评为良好，多少评为优秀？

19.已知关于x的一元二次方程x2-2(a-2)-b2+16=0.

(1)若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；

(2)若aG[2,4],b6[(),6],求方程没有实根的概率.

20.已知命题p：方程(m-1)x2+(m+2)y2=(m-1)(m+2)表示的曲线是双曲线；命题q：不

等式3x2-m>0在区间(一8,-])上恒成立，若"pVq"为真命题，"p/\q"为假命题，求实数m的

取值范围.

21.如图，长方体ABCD-A1B1JD1中，AA,=V2,AB=1,AD=m,E为BC中点，且NAEA1恰为

二面角Ai-ED-A的平面角.

(1)求证：平面A]DE_L平面A]AE；

(2)求异面直线A]E、CD所成的角；

(3)设aAiDE的重心为G,问是否存在实数入，使得仄jj卜人前，且

MGJ_平面A]ED同时成立？若存在，求出入的值；若不存在，说明理由.

22.已知A,B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴交于点P.

(I)若直线AB经过抛物线y2=4x的焦点，求A,B两点的纵坐标之积；

(II)若点P的坐标为(4,0),弦AB的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在,

请说明理由.

参考答案

一、单项选择题

1.解：根据特称命题的否定是全称命题，得；

命题"存在x°eR,2X040”的否定是

"对任意的xGR,都有2X>0”.

故选：D.

2.解：命题p：x<l,

由命题q：—S1,解得：0<xWl,

x

故命题p是命题q的必要不充分条件，

故选：D.

3.解：抛物线x=2ay2的标准方程是y2=4x,

则其准线方程为X=--J-=1,

8a

所以a=J,

故选：A.

4.解：对于A：众数有两个4和5,A是错误；

对于B：B中说法错误，因为一组数据的标准差是这组事件的方差的平方根，故B错误；

对于C：可以根据所给的数据，看出第二组是由第一组乘以2得到的，

前一组的方差是后一组的四分之一，标准差是一半，故C正确，

对于D：频率分步直方图中各个小正方形的面积是各组相应的频率，故D错误；

故选：C.

5.解：当a、B不平行时，不存在直线a与a、0都垂直，.•.a_La,aJ_[3=a〃B，故①正确；

对②，V，a,v，B，a、。可以相交也可以平行，.•.②不正确；

对③，•；a〃b,aCa,bcp,a〃B，1>〃€（时，a、0位置关系不确定，.•.③不正确；

对④，,异面直线a,b.，a过上一点作c〃b；过b上一点作d〃a,贝！Ja与c相交；b与d相交，根

据线线平行=线面平行=面面平行，.•.④正确.

故选C

6.解：因为A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),

所以屈二(0,3,3),AC=(-1,1,0)

所以屈•而=Ox(-1)+3x1+3x0=3,并且|屈|=3加,I菽1=5历

AB*AC31

所以cos<m，AC>=-

|屈II菽「/X&”

，标与出的夹角为60。

故选C.

7.解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，

第一次乘入的数是12,以后所乘的数依次减少1,

由于1320=10x11x12,

故判断框中应填心9,或者k<10

故：B.

8.解：・.,"》一展

由回归方程知0.35=y-0.7-=2J+t±4+£5-0>?x34-415+6>

解得t=3,

故选A.

9.解：从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM、ABN、ABP、

AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP,其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP,3

个，所以这3个点组成直角三角形的概率P=噌，

故选：C.

10.解：由题意可得空+2冬10,即PA+PB=40>AB=6,

ADBC

又因P、A、B三点不共线，

故点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆的一部分，

故选B.

11.解：连接A]0

：A]OJ_y轴，A20_Ly轴,

.•./A]0A2为两个面的二面角.

|A]0|=a=4,|OF|=c416-F2=2,

c1

・\cosZA]0A2=-=-r

a/

O

/.ZA10A2=60,

故选B

12.解：因为NPAQ=60。且i击3而，

所以aQAP为等边三角形，

设AQ=2R,则OP=R,

bI-ab|

渐近线方程为yJx,A(a,0),取PQ的中点M,则AM=.

aVa^+b^

ab

由勾股定理可得(2R)2-R2=(.!uL)2,

Va+bZ

所以(ab)2=3R2(a2+b2)①

在aOQA中，(3R)2+(2R)2-=』,所以？R2=a2②

2・3R・2R2

①②结合c2=a2+b2，可得e-=^.

a2

故选：B.

二、填空题

13.解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为h3b4,

4+S+5+65

故应从一年级本科生中抽取名学生数为300x)=60,

5

故答案为：60.

14.解：由题意知本题是一个几何概型,

试验包含的所有事件是NBAD,

如图，连接AC交弧DE于P,

则tan/CAB=

...NCAB=3()°,

满足条件的事件是直线AP在NCAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点

故答案为：/

15.解：•••表面积为60n的球，球的半径为J元，

设AABC的中心为D,则OD='/5，所以DA=2百，贝ijAB=6

棱锥S-ABC的底面积S哼X62=%^为定值，

欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，

又平面SAB_L平面ABC,

.•.S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而SO=4，点D到直线AB的距离为6,

则S到平面ABC的距离的最大值为乐门，

•t•V-|xg^X3>/3=27.

故答案为：27.

22=1,渐近线方程为y=±,,

16.解：由题意，y>0,2L_+2L_=1,y<0,

49

如图所示，曲线kx+y-3=0与-匕=1联立，可得(9-4k2)x2+24kx-72=0,

49

，△=(24k)2+288(9-4k2)=0,

.•.k=±”，

2

结合图象，可得k的取值范围是（-3运，Y）u信2运），

2222

三、解答题

17.解：用(x,y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本

事件，则基本事件有：(1,1),(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,1)、(2,2)、

(2,3)、(2,4)、(2、5)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3、5)、(4,1)、

(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(5,5)

共25个;

(1).则事件A包含的基本事件有：(2,1)、(3,1)(3,2)(4,1)(4,2)、(4,3)、

(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、共有10个；

则P(A)=要=1)

255

(2).设：甲获胜的事件为B,乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有：事件B所包含的

基本事件有：(1,1),(1,2)、(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2.3),(3,1),

(3,2),(4,1)共有10个；

则p(B)-理」

255

所以P(C)=1-P(B)=1-2工

55

因为P(B)#P(C),所以这样规定不公平.

18.解：(1)由频率分布图可知：(2a+0.02+0.03+0.04)xl0=l<»a=0.005...

(2)由频率分布图可得该校1000名学生的数学成绩平均分为

55x0.05+65x0.4+75x().3+85x0.2+95x0.05=73...

(3)数学成绩在区间［72,80］的人数约为：1000X^X0.3=240

数学成绩在区间［80,88］的人数约为:1000X^X0.2=160

.•.成绩评为良好的学生数约为：240+160=400；

成绩评为优秀的学生人数约为I1000X需X0.2+1000X0.05=90

,评为良好的人数约为400人，评为优秀的人数约为90人...

19.解：设"方程有两个正根”的事件为A,

(1)由题意知本题是一个古典概型用(a,b)表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件

依题意知，基本事件(a,b)的总数有36个，

二次方程X2-2(a-2)x-b2+16=0有两正根，等价于

4-2>0ra>2

.16-b2>0即，-4<b<4,

△=4(a-2)2+4(b2~16)>0(a-2)2+b2>16

则事件A包含的基本事件为(6,1)、(6,2)、(6,3)、(5,3)共4个

二所求的概率为P(A)4；

9

(2)由题意知本题是一个几何概型,

试验的全部结果构成区域Q={(a,b)|2<a<4,0<b<6},

其面积为S(Q)=12

满足条件的事件为：B={(a,b)|2<a<4,0<b<6,(a-2)2+b2<16},如图中阴影部分所示,

其面积为S(B)=1x-^x4X4-^x2X742-22=^?+2V3

...所求的概率P(B)/元+3亚.

18

20.解：若p为真：方程(m-1)x2+(m+2)y2=(m-1)(m+2)可化为：上———口，

irrl-21

曲线为双曲线，则：(m+2)(m-1)<0,A-2<m<l...

若q为真，3x2>m在区间(-1)上恒成立，

3X2>3(-1)2>m即m<3...pVq为真，

"p/\q"为假，则P，q一真一假…

若P真q假，则5>3-24<1,不等式无解…

若P假q真，则Lm<3R《-2,或m>l,

m<-2,或14m《3…

综上可得：m<-2,或14m43....

21.解：(1)证明：•.•NAEA]为二面角A]-ED-A的平面角

.•.A]E_LED,AE_LED,A,EnAE=E,；.ED_L平面A【AE,DEU平面A]DE,

，平面A[DE_L平面A]AE.

(2)如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),A](0,0,&),B(1,0,0),D(0,m,0),

E(1,岂，0).

2

不=(1'T，-&)，ED=(-1,I，0)，AE=(1,I，o),

2一

VAE±ED,,即-l+JB-=0=m=2,则C(1,2,0),CIF(一八°-。)

---,/,«j-、/—•—EAj,CDii

EAR（-1.7,a）,C0S<EAr⑪〉二西||而「71+1+，71工，

.,.异面直线AF、CD所成的角为60。.

（3）依题意得：G（工，1,返），M=入标，，M（0,2人，0）.

33

MG=g1_2入，*），

假设存在人满足题设条件，则而・£人1=0，且而•而=0，

22.解：(I)抛物线y2=4x的焦点为F(1,