高中数学第一章三角函数15正弦函数例题与探究北师大版4

1.5正函典精1.周函数一定都有最小正周期？剖：不是所有周期函数都存在最小正周.很多同学对此产生疑，其突破的方法是：通过经验的积累，考虑特殊的周期函.例如：常数函数f(x)=C（为数当x定义域内的任意值时，函数值都是C，对于函数f(x)的定义域内的每个值有f(x+T)C，因此f(x)是期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没最小正周期2.正函数线有何作用？剖：的同学学习了正弦线后，感到正弦线没有什么用.其破的路径是准确理解正弦线的定义和平时经验的积.正弦线是当点P为边与单位圆点时，正弦函数值的直观表现形.正弦线的方向和长度直观反映了正弦值的符号和绝对由正弦线的方向判断正弦值的正负，由正弦线的长度确定正弦值的绝对值大.由可见，用正弦线表示正弦函数值，反映了变换与转化、数形的结合与分离的思想方.正函数在各象限的符号除从各象限点的坐标的符号结合正弦函数的定义来记忆之外，也可以根据画出的正弦线的方向记正线的主要作用是解三角不等式证明三角不等式求函数定义域及比较三角函数式的大小时它也是以后学习正弦函数的图像与性质的基.例如：求函数y=log(sinx)的定.思分：化为解三角不等式sinx＞图1-4-5解要使函数有意义x的值需满足sinx＞0.如图1-4-5所示，

MP

是角x的正弦线，则有sinx=

MP

＞0,∴MP的向向上∴角x的边在x轴上.∴2k＜＜2kπ+π(k∈Z).∴函数y=log(sinx)的义域是2kπ,2kπ+π)k∈由以上可看出，利用三角函数线，数形结合，能使问题得以简.三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数问题的重要工具，通过平时经验的积累，掌握三角函数线的应.3.在广了的三角函数定义中，什么三角函数值与点P角α终上的位置无关，只依赖于角的小？剖：系相似三角形的知识来分.设P（x,y)是角α终边上的另一点|OP|=r，由相三角形的知识可知，只要P在α1

yy终边上=.因此所得比值都对应相.所以角α的正弦函数值只依赖于终边的rr位置即的小，与点P在α终上的位置无典精例1（经典回放）sin600°的是（）A.

1B.-22

C.

3D.-2思解：sin600°＝sin(360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=sin60°=

32

.答：绿通诱公式选择的一般步骤将-α化为正角用2k+α(kZ)化π内的角再π+απ-，π-α化为锐角的三角函.由看利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，也就是说：诱导公式真是好，负化正后大化.变训sin(-2010°)值是（）A.-

12

B.

33C.D.-222思解：sin(-010°）=sin［(-6×360°］＝sin150°=sin(180°30°）=sin30°=

12

.答：例2(2005福建考卷，理12)f(Z)是义在R上以3为周的奇函数，且f(2)=0则方程在间（0，）解个数的最小值是（）A.2B.3C.4D.5思解：∵f(x)奇函数，∴f(0)=-f(-0)，f(-2)=-f(2)=0.∴f(0)=0，f(2)=0.∵f(x)是以3为期的周期函数，∴f(-2)=f(3-2)=f(1)=0,f(3)=f(0)=0,f(4)=f(1+3)=f(1)=0.∴f(5)=f(3+2)=f(2)=0.∴在区间（，）f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0.答：绿通：考试题中通不会单独考查周期函数往是周期函数和三角函数和数的奇偶性、单调性等综合考查一是利用周期函数的性质f(x+T)=f(x)，解决求函数值、解析式及解方程等问.变训义在R上的偶函数f(x)满f(3+x)=f(3-x),当x∈(0,3),f(x)=2,当x∈(-6,-3)时f(x)的析式为）A.2B.-2思解：∵f(x)偶函数，∴f(-x)=f(x).又∵-x)，∴f(x)的图像关于直线x=3对.∴f(x+6)=f(x+3+3)=f［］=f(-x)=f(x).2

∴f(x)是周期函数6是一个周当∈(时,有0＜x+63，∴f(x)＝f(x＋＝答：例3已角α的边经过点P（3sin.思分：别写出x、、r值，应用定义求解.解由，y=4，r=

2

2

=5.∴sin=

y4=.r5绿通：果已知角的终边经过的一个点求三角函数值，通常应三角函数的定义求变训已知角α的终边经过点P（，4t≠0，α.思分：用三角函数的定义直接求解，注意t的值号解由，y=4t，得r=

t)2(4t)

=5|t|.当t＞时，r=5t，α=

45

；当t＜时，r=-5t，α=-

45

.例安高考卷，文8)设＞，于函数f(x)=

sinsin

(0＜＜)，下结论正确的是（）A.有大值而无最小值有最小值而无最大值C.有大值且有最小值既无最大值又无最小值思解：t=sinx,0x＜，∈(0,1么函数f(x)=

sinsin

(0＜＜π的值域为函数y=1+

at

a,t∈(0,1］的值域，又a＞，以证明y=1+,t∈(0,1是一个减函数，t所以函数f(x)有小值而无最大.答：绿通1）求三角函数最值的常用方法：换元设sinx=t，将三角函数转化为二次函数等其他常见的初等函数，再求最值；（）如“y=

asinc

的函数的最值问题，常用换元法，也可用分离变量.变训1求数y=

3sinxsin

的值域思分：类题型可转化为分式函数的值域的求分离常数法或通过反解sinx法利用sinx的域确定函数的值.解法一：设t=sinx,x∈R，则t∈［-1,1∴函数f(x)=

3sinxt的值域为函数y=,t∈［-1,1的值域，sint3t可以证明y=,t∈［，］是增函.t3∴≤y≤.13

∴2≤y≤

43

.∴函数的值域为-2,

43

］解法二：由y=

x

2y，得sinx=.3y∵|sinx|≤1，∴|

2y3y

4|，解得2≤.3∴函数的值域为-2，

43

］变训2求数y=(5-sinx)(2+sinx)的最大值及此时的集合.思分：用换元法转化为求二次函数的最大.解设sinx=t，则1≤1，y=(5-sinx)(2+sinx)=(5-t)(2+t)=-t+3t+10=-(t-

349)+，当t=1时，y取最大12，24此时sinx=1，π

2

(k∈Z)，所以函y=(5-sinx)(2+sinx)大值为，时x的集合是{x|x=2k+

2

,k∈例5作函数y=-sinx(0≤x≤2π)的图像思分：用“五点法”作图，关键是找出五个关键点，所以，好利用列表整理数据，使问题既清晰又准确解列表：x0sinx0-sinx0

21-1

π00

32-11

200描点作图（图1-4-6图1-4-6绿通：于正弦曲线直观地表现了正弦函数数各种性态此要熟悉图像掌五点法作图并能应用图像解决有关问题“五点”即y=sinx图像在一个最小正周期内的最高点低点及与x轴的交点地y=sinx的一个周期常作区0,23］上的图像2

2

，变训1求数y=

x

的定义域.4

思分：化为解不等-sinx≥0.利用图像法解不等式.解在平面直角坐标系中画出函数y=-sinx的像，如图1-4-6所示.在［0,2］，sinx≥0，记函数的图像位于x轴上时≤x≤2π.所以函数y=

的定义域是［π+ππ+2π］kZ.变训2函y=|sinx|周期是_________.思解：函数y=|sinx|的图像，观察图像得函数周期为π.答：π问探问题1（）正弦曲线关于原点π、π成中心对称图结合正弦函数的图像，你发现正弦曲线还有其他对称中心吗？（）弦曲线关于直线

、x=-22

、x=

32

成轴对称图.结合正弦函数的像，你发现正弦曲线还有其他对称轴吗？导：究思路是由特殊到一般，利用归纳推理：先归，再猜想出结论，最后利用对称的定义作出证.探1）由于正弦函数是奇函数，则其像关于原点对.设点P(x)是正弦函数图上任意一点，则y=sinx.那么点P(x,y)关于点π,0)的称点为M(2π-x,-y)，∵sin(2-x)=-sinx,∴siπ-x)=-y，即点M(2-x,-y)也正弦函数y=sinx的图像.又∵点P(x,y)是正弦函数y=sinx图像上任意一点，∴正弦曲线关于(,0)中心对称图.同理可证正弦曲线关(π成中心对称图形图1-4-7如图1-4-7所示，观察正弦函数图像，可归,原点、(±,0)都正弦曲线与x的交点，可猜想正弦曲线与x轴的交(kπ,0)(k∈Z)都是正弦曲的对称中.证明：设点P(x,y)是正弦函数y=sinx图上任意一点，则y=sinx.则点P(x)关于点kπ,0)的对称点M(2kπ-x,-y)，∵sin(2k-x)=-sinx，∴sin(2k-x)=-y，即点π-x,-y也在正弦函数y=sinx像上∵点P(x)是正弦函数图上任意一点，∴正弦曲线关于(k,0)中心对称图.综上可得，正弦曲线的对称中心是正弦曲线与的交点，即此时的正弦值为0；并且任意相邻的两个对称中心正好相差半个周.（）点P(x,y)是正弦函数y=sinx图像任意一点，则=sinx.5

22则点P(x)关于直线x=

2

的对称点为M(π-x,y)∵sin(-x)=sinx∴sin(-x)=y即点M(-x,y)也在正弦函数y=sinx像上∵点P(x)是正弦函数图上任意一点，∴正弦曲线关于直线x=成轴对称图.23同理可证正弦曲线关于直线、x=成对称图.22观察正弦函数的图像，可归纳得：直线x=

、x=-2

、x=

32

都过正弦曲线最高或最低点，可猜想过正弦曲线最高或最低点的直线x=kπ+

2

(k∈Z)都是正弦线的对称.证明：设点P(x,y)是正弦函数y=sinx图上任意一点，则y=sinx，则点P(x