专题14一次函数的应用（课件）

中考数学一轮复习14一次函数的应用

考点课标要求考查角度1待定系数法会用待定系数法确定一次函数的表达式．多以解答题的形式考查．2一次函数的应用问题能用一次函数知识解决简单实际问题多以解答题的形式考查一次函数在实际生活中的应用．也有部分地市以探究题的形式考查．中考命题说明思维导图知识点1：一次函数解析式的确定

知识点梳理1．确定一次函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）依据题意中等量关系直接列出解析式；（3）通过几何变换（通常为平移）前后的解析式特征（自变量“左加右减”，函数值“上加下减”）确定新函数解析式．知识点1：一次函数解析式的确定

知识点梳理2．用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：确定一个正比例函数，需要确定正比例函数解析式y=kx（k≠0）中的常数k．确定一个一次函数，需要确定一次函数解析式y=kx+b（k≠0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法．（1）设出函数的一般形式．（2）根据已知条件（自变量与函数的对应值）代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组．（3）解方程或方程组求出待定系数的值．（4）将所求得的系数的值代入到一般形式中．知识点1：一次函数解析式的确定

知识点梳理3．确定正比例函数表达式，只需一对x与y的对应值（即已知正比例函数图象上的一个点即可）；确定一次函数的表达式，只需要两对x与y的对应值（即已知一次函数图象上的两个点即可）．典型例题知识点1：一次函数解析式的确定

【例1】（2022•广州）点（3，－5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（

）A．－15 B．15 C．D．【解答】解：∵点（3，－5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，∴－5＝3k，解得：

，故选：D．典型例题知识点1：一次函数解析式的确定

【例2】（2022•泰州）一次函数y＝ax＋2的图像经过点（1，0）．当y＞0时，x的取值范围是

．【解答】解：将点（1，0）代入y＝ax＋2，得a＋2＝0，解得a＝－2，∴一次函数解析式为y＝－2x＋2，如图，∴当y＞0时，x＜1．故答案为：x＜1．典型例题知识点1：一次函数解析式的确定

【例3】（2022•铜仁市）在平面直角坐标系内有三点A（－1，4）、B（－3，2）、C（0，6）．（1）求过其中两点的直线的函数表达式（选一种情形作答）；（2）判断A、B、C三点是否在同一直线上，并说明理由．典型例题知识点1：一次函数解析式的确定

（2）当x＝0时，y＝0＋5≠6，∴点C（0，6）不在直线AB上，即点A、B、C三点不在同一条直线上．【解答】解：（1）设A（－1，4）、B（－3，2）两点所在直线解析式为y＝kx＋b，∴

，解得

，∴直线AB的解析式y＝x＋5．典型例题【例4】（4分）（2021•安徽6/23）某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（）A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm知识点1：一次函数解析式的确定

【分析】先设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式，再把x＝38代入求出y即可．典型例题知识点1：一次函数解析式的确定

【解答】解：∵鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系，∴设函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），由题意知，x＝22时，y＝16，x＝44时，y＝27，∴

，解得：

，∴函数解析式为：y=x+5，当x＝38时，y=×38+5＝24（cm），故选：B．典型例题【例5】（8分）（2021•西藏24/27）已知第一象限点P（x，y）在直线y=-x+5上，点A的坐标为（4，0），设△AOP的面积为S．（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；（2）当S=4时，求点P的坐标；（3）求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象．知识点1：一次函数解析式的确定

典型例题知识点1：一次函数解析式的确定

【解答】解：（1）把点P的横坐标为2代入得，y=-2+5=3，∴点P（2，3），∴

；（2）当S=4时，即

，∴y=2，当y=2时，即2=-x+5，解得x=3，∴点P（3，2）；典型例题知识点1：一次函数解析式的确定

（3）由题意得，

，当y＞0时，即0＜x＜5时，S=2(-x+5)=-2x+10，∴S关于x的函数解析式为S=-2x+10（0＜x＜5），画出的图象如右图所示．典型例题【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象与几何变换．【分析】（1）根据平移的规律即可求得．（2）根据点（﹣2，﹣2）结合图象即可求得．【例6】（5分）（2021•北京23/28）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数

的图象向下平移1个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．知识点1：一次函数解析式的确定

典型例题【解答】解：（1）函数

的图象向下平移1个单位长度得到

，∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数

的图象向下平移1个单位长度得到，∴这个一次函数的表达式为

．知识点1：一次函数解析式的确定

典型例题（2）把x＝﹣2代入

，求得y＝﹣2，∴函数y＝mx（m≠0）与一次函数

的交点为（﹣2，﹣2），把点（﹣2，﹣2）代入y＝mx，求得m＝1，∵当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数

的值，∴

≤m≤1．知识点1：一次函数解析式的确定

知识点梳理知识点2：一次函数的几何应用1.一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积：直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（

，0），与y轴的交点坐标为（0，b）；直线与两坐标轴围成的三角形的面积为

．2.一次函数与几何图形结合的综合运用．典型例题知识点2：一次函数的几何应用【例7】（3分）（2020•陕西7/25）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y=x+3分别与x轴、直线y=-2x交于点A、B，则△AOB的面积为（

）A．2

B．3

C．4

D．6【解答】解：在y=x+3中，令y=0，得x=-3，解

得：

，∴A（-3，0），B（-1，2），∴△AOB的面积

．故选：B．典型例题知识点2：一次函数的几何应用【例8】（3分）（2021•呼和浩特7/24）在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（

）A．B．C．D．y=4【分析】过D点作DH⊥x轴于H，证明△ABO≌△DAH得到AH=OB=4，DH=OA=3，则D（7，3），然后利用待定系数法求直线BD的解析式．典型例题知识点2：一次函数的几何应用【解答】解：过D点作DH⊥x轴于H，如右图，∵点A（3，0），B（0，4）．∴OA=3，OB=4，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠DAH=90°，∴∠ABO=∠DAH，典型例题知识点2：一次函数的几何应用在△ABO和△DAH中，

，∴△ABO≌△DAH（AAS），∴AH=OB=4，DH=OA=3，∴D（7，3），典型例题知识点2：一次函数的几何应用设直线BD的解析式为y=kx+b，把D（7，3），B（0，4）代入得

，解得

，∴直线BD的解析式为

．故选：A．典型例题【例9】（3分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟17/26）如图，点B1在直线l：

上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交直线l于点B2；以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3，延长A3C2交直线l于点B3；…；按照这个规律进行下去，点B2021的坐标为

．知识点2：一次函数的几何应用典型例题【解答】解：∵点B1在直线l：

，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，∴A1（1，0），B1（1，

），∵四边形A1B1C1A2是正方形，∴A2（

，0），B2（

，

），A3（

，0），B3（

，

），A4（

，0），B4（

，

），……，An（

，0），Bn（

，

），∴点B2021的坐标为（

，

），故答案为：（

，

）．知识点2：一次函数的几何应用典型例题【例10】（10分）（2020•河北24/26）表格中的两组对应值满足一次函数y=kx+b，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l′．（1）求直线l的解析式；（2）请在图上画出直线l′（不要求列表计算），并求直线l′被直线l和y轴所截线段的长；（3）设直线y=a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．知识点2：一次函数的几何应用典型例题知识点2：一次函数的几何应用【解答】解：（1）∵直线l：y=kx+b中，当x=-1时，y=-2；当x=0时，y=1，∴

，解得

，∴直线l的解析式为y=3x+1；典型例题知识点2：一次函数的几何应用（2）依题意可得直线l′的解析式为y=x+3如右图，解

得

，∴两直线的交点为A（1，4），∵直线l′:y=x+3与y轴的交点为B（0，3），∴直线l′被直线l和y轴所截线段的长为：

；典型例题知识点2：一次函数的几何应用（3）把y=a代入y=3x+1得，a=3x+1，解得

；把y=a代入y=x+3得，a=x+3，解得x=a-3；分三种情况：①当第三点在y轴上时，

，解得

；②当第三点在直l上时，

，解得a=7；典型例题知识点2：一次函数的几何应用③当第三点在直线l′上时，

，解得

；∴直线y=a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为

或7或

．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，两直线相交问题，待定系数法求一次函数的解析式，分类讨论是解题的关键．典型例题【例11】（10分）（2019·沈阳23/25）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．

（1）k的值是________；

（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．

①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求□OCED的周长；②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为，请直接写出点C的坐标．知识点2：一次函数的几何应用典型例题知识点2：一次函数的几何应用【解答】

（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，

解得：

．

（2）①由（1）可知直线AB的解析式为

．

当x＝0时，

，∴点B的坐标为（0，4），∴OB＝4．∵点E为OB的中点，∴BE＝OE＝

OB＝2．典型例题知识点2：一次函数的几何应用∵点A的坐标为（8，0），∴OA＝8．∵四边形OCED是平行四边形，∴CE∥DA，∴

，∴BC＝AC，∴CE是△ABO的中位线，∴CE＝

OA＝4．∵四边形OCED是平行四边形，∴OD＝CE＝4，OC＝DE．在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2，∴DE＝=2，∴C平行四边形OCED＝2（OD+DE）＝2（4+2）＝8+4．典型例题知识点2：一次函数的几何应用②设点C的坐标为（x，

x+4），则CE＝|x|，CD＝|x+4|，∴S△CDE＝

CD•CE＝|x2+2x|＝

，∴x2+8x+33＝0或x2+8x﹣33＝0．方程x2+8x+33＝0无解；解方程x2+8x﹣33＝0，得：x1＝﹣3，x2＝11，∴点C的坐标为（﹣3，

）或（11，

）．知识点3：一次函数的实际应用

知识点梳理1．一次函数应用问题的求解思路：建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质作出解答．利用函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题以及经济决策、市场经济等方面的应用．知识点3：一次函数的实际应用

知识点梳理2．建立函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题，设定实际问题中的变量，明确变量x和y；（2）根据等量关系，建立变量与变量之间的函数关系式，如：一次函数的函数关系式；（3）确定自变量x的取值范围，保证自变量具有实际意义；（4）利用函数的性质解决问题；（5）写出答案．知识点3：一次函数的实际应用

知识点梳理3．利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤：（1）观察图象，获取有效信息；（2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系；（3）选择适当的数学工具（如函数、方程、不等式等），通过建模解决问题．【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围．典型例题知识点3：一次函数的实际应用

典型例题知识点3：一次函数的实际应用

【解答】解：（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为(x＋1)元，由题意得，

，解得x＝11，经检验x＝11是原方程的解，且符合题意，∴乙类型的笔记本单价为x＋1＝11＋1＝12（元），答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元；典型例题知识点3：一次函数的实际应用

（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了(100－a)件，购买的乙的数量不超过甲的3倍，∴100－a≤3a，且100－a≥0，解得25≤a≤100，根据题意得w＝11a＋12(100－a)＝11a＋1200－12a＝－a＋1200，∵－1＜0，∴w随a的增大而减小，∴a＝100时，w最小值为－100＋1200＝1100（元），答：最低费用为1100元．典型例题知识点3：一次函数的实际应用

【例13】（2022•济南）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍．则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．典型例题知识点3：一次函数的实际应用

【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，根据题意得：

，解得

，答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；典型例题知识点3：一次函数的实际应用

（2）购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少，理由如下：设购买两种树苗共花费w元，购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗(100－m)棵，∵购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，∴100－m≤3m，解得m≥25，根据题意：w＝40m＋30(100－m)＝10m＋3000，∵10＞0，∴w随m的增大而增大，∴m＝25时，w取最小值，最小值为10×25＋3000＝3250（元），此时100－m＝75，典型例题【例14】（7分）（2021•陕西23/26）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y（m）与时间x（min）之间的关系如图所示．（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是

m/min；（2）求AB的函数表达式；（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．知识点3：一次函数的实际应用

典型例题知识点3：一次函数的实际应用

【解答】解：（1）由图像知：“鼠”6min跑了30m，∴“鼠”的速度为：30÷6＝5（m/min），“猫”5min跑了30m，∴“猫”的速度为：30÷5＝6（m/min），∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1（m/min），故答案为：1；典型例题知识点3：一次函数的实际应用

（2）设AB的解析式为：y＝kx+b，∵图象经过A（7，30）和B（10，18），把点A和点B坐标代入函数解析式得：

，解得：

，∴AB的解析式为：y＝﹣4x+58；典型例题知识点3：一次函数的实际应用

（3）令y＝0，则﹣4x+58＝0，∴x＝14.5，∵“猫”比“鼠”迟一分钟出发，∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5﹣1＝13.5（min）．答：“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间13.5min．典型例题【例15】（8分）（2021•吉林23/26）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．知识点3：一次函数的实际应用

典型例题知识点3：一次函数的实际应用