湘教版九年级上册数学教案

第1章反比例函数

1.1建立反比例函数的模型（1）

教学目标

1.使学生理解并掌握反比例函数的概念。

2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，能根据已知条件确定反比例函数

表达式。

3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想。

教学重难点

重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式。

难点：理解反比例函数的概念。

教学过程

一、预习导学

通过自主预习教材P2-3完成下列问题

1.当路程一定时，速度与时间成什么关系？当一个长方形面积一定时，长与宽

成什么关系？

2.如果两个变量y与x的关系可表示成（k为常数，k—0）的形式,

那么称是

的反比例函数，自变量x不能为，常数称为反比例函数的

比例系数。

3.若xy=2,则可写成y=,此时y是x的。

问题1中的情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生

积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时,

这两个量成反比例关系，如xy=k（k为一个定值），则x与y成反比例。

二、探究展示

（一）合作探究

1.如何解教材第2页“动脑筋”中的问题？

以小组为单位，由组长带领组员讨论，得出结论：

1

当路程一定时，选手的平均速度与所用时间之间的关系式为丫=迎也，当路程

S一定时，每当t取一个值时，V都有唯一的一个值与它对应，因此V是t的函

数，由于当S一定时，V与t成反比例关系，因此把这样的函数称为反比例函数。

设计意图：先引导学生审题，列出函数关系式，并与我们以前学过的一次函数、

正比例函数的关系式进行类比，找出不同点，使学生对知识认知有系统性、完整

性。

2.你能归纳反比例函数的概念吗？

先由学生根据问题1的结论讨论，然后总结:

1/

一般地，如果两个变量y与x的关系可表示成y=-（k为常数，kWO）的函

X

数称y是x的反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。反

比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数

k

反比例函数y=-的变式：xy=k,y=kxH

X

注意：（1）在反比例函数的表达式y=5（k为常数,kN。）中'x的次数是-L

常数k可正可负，反比例函数的实质是一类分式函数。

k

（2）在反比例函数的表达式y=-（k为常数,kWO）中，变量x与y的位置

X

是对称的，即X也可看作y的函数。

（二）展示提升

1.如图，已知菱形ABCD的面积为180,设它的两条对角线AC,BD的长分别为x,y。

写出变量y与x

学生先尝试着解答，然后再交流，从中得出什么结论与大家分享。

2.下列函数是不是反比例函数？若是，请写出它的比例系数。

(1)y=3x-1⑵y

3

2

1

(3)y(4)y=

5x1\x

可点名展示，也可分组展示，培养学生分析问题和解决问题的能力；同时增强

学生团结协作的精神。老师在此环节准确引导，及时点拨和追问，总结出解决问

题的方法和规律。

设计意图：通过实例进一步加深对反比例函数的认识。

三、知识梳理

本节课我们学到了什么？启发学生谈谈本节课的收获。

1.一般地，如果两个变量y与x的关系可表示成y=K(k为常数，kWO)的

X

函数称y是x的反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。反

比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数

2.反比例函数的变式有xy=k,y=kx，运用反比例函数的概念及变式正确

判断一个给定的函数是否为反比例函数

四、当堂检测

1.写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数。

如果是，指出比例系数k的值。

(1)底边为5cm的三角形的面积y(cm2)随底边上的高x(cm)的变化而变

化；

(2)某村有耕地面积200ha,人均占有耕地面积y(ha)随人口数量x(人)

的变化而变化；

(3)一个物体重120N,物体对地面的压强p(N/m2)随该物体与地面的接触

面积S(n?)的变化而变化。

2.下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？如果是，比例系数是多少？

22

(1)丫=鼻x；(2)y=~；(3)xy+2=O；

oox

2

(4)xy=0；(5)x=­o

3y

3.已知函数丫=(m+1)是反比例函数，则m的值为o

五、教学反思

3

1.2反比例函数的图像与性质（2）

教学目标

1.体会并了解反比例函数的图象的意义

2.能描点画出反比例函数的图象

3.结合图象分析并掌握当k>0时反比例函数的性质

教学重难点

重点：反比例函数的图像及当k>0时反比例函数的性质

难点：绘制反比例函数的图像

教学过程

一、预习导学

自主预习教材P5-7,并思考下列问题：

1.画反比例函数图像的步骤是、、o

2.反比例函数y=&（k为常数，kWO）的图象是,当K>0时，双曲线

X

的两支分别位于第一、象限，它们与—轴、一轴都不相交，在每个

象限内，y随x的增大而o

3.函数y=2的图象在第象限，在每一象限内，y随x的增大而。

X

二、探究展示

（一）合作探究

如何画反比例函数y=g的图象？

X

由组长带领本组组员共同探讨完成。

4

由于反比例函数y=9的图象是曲线型的，且分成两支.对此，学生第一次接触

X

有一定的难度，因此需要分几个层次来探求：

（1）可以先估计例如：位置（图象所在象限、图象与坐标轴的交点等）、趋

势（上升、下降等）；

（2）方法与步骤——利用描点作图；

列表：取自变量x的哪些值？一一x是不为零的任何实数，所以不能取x的

值的为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值。

X-6-5-4-3-2-1.-111.23456

55

6

y=--1-1.-1.-2-3-4-664321.1.1

X

2552

描点：依据什么（数据、方法）找点？

在平面直角坐标系内，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标,

描出相应的点。

连线：怎样连线？一一可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的

曲线把所描的点连接起来。

5

观察上图，图像位于哪些象限？图像与坐标轴相交吗？在每一象限内，函数值y

随自变量x的变化如何变化？（点名回答）

设计意图：学习正确的作图过程，在填表过程中感受y随x的变化规律，为基

于图象探究函数性质打下基础。

（二）展示提升

1.完成P6做一做，画出反比例函数y=±3的图像

x

设计意图：提高学生利用描点法画反比例函数的基本技能，加深学生对反比例

函数图象的认识，为下一步归纳反比例函数的性质做准备。

6

2.观察画出的y=9,y=3的图像，思考下列问题：

XX

（1）每个函数的图像分别位于哪些象限？

（2）在每一象限内，函数值y随自变量x的变化如何变化？

先由小组讨论交流，教师准确引导，及时点拨和追问，总结出规律:

一般的，当K〉0时，反比例函数y=&的图像由分别在第一、第三象限内的两支

X

曲线组成，它们与X轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量X的

增大而减小。

设计意图：让学生独立思考、讨论交流，经历从特殊到一般的归纳过程，积累基

本活动经验。

三、知识梳理

启发学生谈谈本节课的收获。

1.用描点法作反比例函数图象的步骤：列表、描点、连线。

2.图像性质：反比例函数y=&（k为常数，kWO）的图象是双曲线，当K〉0时,

X

双曲线的两支分别位于第一、三象限，它们与X轴、y轴都不相交，在每个象限

内，y随x的增大而减小。

四、当堂检测

4

1.画出反比例函数,=一的图像

X

2.如右图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象（）

43

Ay=5xBy=2x+3Cy=—Dy=——

xx

3.函数y=二的图象在第象限，在每一象限内，y随x的增大而

X

7

4.在反比例函数y=9图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k

X

的取值范围是o若关于x,y的函数》=士k4\图象位于第一、三象限，则

X

k的取值范围是o

五、教学反思

1.2反比例函数的图象与性质（3）

教学目标

1.能画出反比例函数y=K（k为常数，kV0）的图象。

X

2.根据反比例函数y=K（k为常数，kVO）的图象探索并理解其性质。

X

3.在自主探究反比例函数的性质的过程中，让学生初步感知反比例函数的图象的

对称性。

教学重难点

重点：反比例函数y=K（k为常数，kVO）的图象的画法及其性质。

X

难点：由反比例函数y=K（k为常数，kVO）的图象探究出其性质。

X

教学过程

一、预习导学

自主预习教材P7-9完成下列各题：

8

k

1.反比例函数y=-（k为常数，kWO）的图象是由两支曲线围成的，这两支曲线

X

称为。2.当K<0时，反比例函数y=K的图象与的图象关

---------X-----------

于X轴对称。

k

3.当K<0时，反比例函数y=-的图象由分别在第______象限内的两支曲线

X

组成，它们与X周、y轴都，在每个象限内，函数值y随自变量X的

增大而。

二、探究展示

（一）合作探究

探究1：如何画反比例函数y=-9的图象？y=-9的图象与y=9的图象有什么

XXX

关系？

由组长带领组员共同探讨画反比例函数y=的图象的方法。引导学生采用多

X

种方式进行自主探索活动：

1.可以通过探索函数y=-9与y=9之间的关系，画出y=-色的图象。

XXX

2.可以用画反比例函数y=9的图象的方式与步骤进行自主探索其图象。

9

引导学生总结归纳：

1.当K<0时，反比例函数y=K的图象与旷=-七的图象关于x轴对称，

XX

2.当K<0时，反比例函数y=K的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组

X

成，它们与X轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量X的增大而

增大。

3.可用描点法画反比例函数y=K（K<0）的图象。

X

设计意图：巩固了反比例函数图象的基本作法，也为后面观察分析归纳出反比

例函数图象的性质增加感性认识。

探究2：反比例函数y=K（k为常数，kWO）的图象的对称性。

X

先让学生观察函数）=-9与丁=色的图象，讨论交流它们各自具有什么对称性，

XX

然后总结得出：反比例函数y=K（k为常数，k70）的图象是中心对称图形，其

X

对称中心为坐标原点，其图象还是轴对称图形，对称轴有两条，分别是一、三象

限角平分线（即直线y=x）和二、四象限角平分线（即直线y=-x）。

10

探究3：根据我们已经学过的反比例函数的性质填写下表，并说说k>0和kVO

时图象性质的区别。

反比例函数y=—(Zw0)

X

k的符号k>0k<0

4

、y

图象

（双曲线）0「‘X

x>yxe的取值范围x#0x的取值范围xW0

取值范围y的取值范围yWOy的取值范围yW0

位置第一，三象限内第二，四象限内

增减性每一象限内，y随x的增大而减小每一象限内，y随x的增大而增大

反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴，画图象时,要体现

渐近性

出这个特点。

反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形。反比例函数的图象也是轴

对称性

对称图形。

设计意图：使学生经历由特殊到一般的过程，培养学生的抽象概括能力、渗透

分类讨论思想和类比思想。

（二）展示提升

1.画出反比例函数>=-2的图象

X

2.反比例函数y=的图象在第一、—象限，在每个象限内，函数值y随

2x

自变量X的增大而,图象关于成中心对称，关于成轴对称。

3.若反比例函数丁=丝口的图象在第二、四象限，求m的取值范围。

X

11

设计意图:通过练习及时去巩固学生对反比例函数图象的画法及其性质的理解

及是否能够正确的运用其性质解决简单问题。

三、知识梳理

本节课有什么收获？

1.用描点法画反比例函数y=K(K<0)的图象步骤：列表，描点，连线。

X

2.反比例函数y=6的图象性质：图象与X轴、y轴都不相交，当K>0时，图

象在第一、三象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当

K<0时，图象在第二、四象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大

而增大。

3.反比例函数y=K(k为常数，k#0)的图象关于原点成中心对称，当K>0时，

X

图象关于直线y=-x成轴对称，当k<0时，图象关于直线y=x成轴对称。

四、当堂检测

1.画出反比例函数y=-&的图象。

x

2.在反比例函数丁=」的图象的每一支曲线上，y随x的增大而增大，则k的

x

值为O

7

3.已知点(2,),(3,y)在函数y=的图象上，试比较力,丫2的大小。

Y12x

五、教学反思

12

1.2反比例函数的图像与性质（4）

教学目标

1.能用待定系数法求反比例函数的解析式。

2.能用反比例函数的定义和性质解决实际问题。

教学重难点

重点：能用待定系数法求反比例函数的解析式。

难点：根据反比例函数的图象或表达式来理解反比例函数的性质。

教学过程

一、预习导学

自主学习教材P10-11,并思考下列问题：

1.认真完成P10的动脑筋，思考怎样用待定系数法求反比例函数的解析式？

2.认真阅读例题2,书上是运用反比例函数的什么知识解决问题的？

3.例题3中，用待定系数法时为什么要标明krk2?

二、探究展示

（一）合作探究

如何解答教材P10的动脑筋？

由组长带领组员讨论交流，教师适当引导，然后总结得出：由于反比例函数

y=4中只有一个待定系数K,因此只需要图像上一点的坐标，把其值代入得到一

X

个关于K的一元一次方程，求出K值即可确定函数关系式。知道反比例函数的表

达式就可以知道某一点是否在这个函数图象上。由K值得正负就可以知道函数图

象分布的象限及函数值随自变量值的变化情况。

（二）展示提升

13

1.反比例函数y=V的图象如图所示，根据图象，回答下列问题：

X

(1)K的取值范围是K>0还是KVO?说明理由

(2)如果点A(-3,y,),B(-2,y2)是该函数图象上的两点，试比较y,y?

的大小。

设计意图：读图能力训练，加深学生对反比例函数图象性质的理解。

2.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(-3,4),试求出它们

让你的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象。

提示：先设两个函数的表达式，且两个函数表示式中的比例系数应用I、k?区

分。

学生分组讨论交流，交流后小组代表展示，教师进行补充。

设计意图：揭示知识间的内在联系，有助于构建较完整的知识网络。

三、知识梳理

启发学生谈谈本节课的收获。

1.用待定系数法求反比例函数的解析式.

14

2.用待定系数法求反比例函数的解析式步骤:

(1)设出反比例函数的解析式y='(kWO)

X

(2)把已知条件(一组自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于k的一

元一次方程

(3)解这个方程，求出待定系数k

(4)将k的值代入得出反比例函数的解析式。

四、当堂检测

1.已知反比例函数的图像经过点(。，人)，则它的图像一定也经过()

A、(—a,—b)B、(a,—b)C、(-a,b)D、(0,0)

2.已知反比例函数y=K的图象经过点M(-2,2)

x

(1)求这个函数的表达式

(2)判断点A(-4,1),B(1,4)是否在这个函数图象上

(3)这个函数的图象位于哪些象限？函数值y随自变量x的增大而如何变化？

3.如图，一次函数丫=1«+13的图象与反比例函数y='的图象交于A(—2,l)、

X

B(1,n)两点(1)求反比例函数和一次函数的解析式

(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值

范围

五、教学反思

15

1.3反比例函数的应用(5)

教学目标

1.经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程，体会

建模思想。

2.体验数形结合的思想。

教学重难点

重点：建立反比例函数的模型，进而解决实际问题。

难点：经历探索的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力。

教学过程

一、情景导入，初步认知

复习回顾

1.什么是反比例函数？

2.反比例函数的图象是什么？

3.反比例函数图象有哪些性质？

4.反比例函数的图象对称性如何？

【教学说明】通过提出问题，引发学生思考,培养学生解决问题的能力。

二、思考探究，获取新知

1.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、

迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时通道,

从而顺利完成了任务。你能解释他们这样做的道理吗？

F_

(1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式p=1，请你判断:

当F一定时，p是S的反比例函数吗？

⑵如人对地面的压力F=450N,完成下表：

受力面积s(nJ)0.0050.010.020.04

压强Pa)

(3)当F=450N时，试画出该函数的图象，并结合图象分析当受力面积S增大时,

地面所受压强p是如何变化的，据此，请说出它们铺垫木板通过湿地的道理。解:

16

F

(1)对于p=S,当F一定时，根据反比例函数的定义可知，p是S的反比例函

数。

F_

(2)因为F=450N,所以当S=0o005m2时，由p=S得：p=450/0o005=90000(Pa)

类似的，当S=0。01m2时，p=45000Pa；当S=0。02m2时，p=22500Pa；当S=0。

04m2时，p=11250Pa

(3)当F=450N时，该反比例函数的表达式为p=450/S,它的图象如下图所示，由

图象的性质可知，当受力面积S增大时，地面所受压强p会越来越小，因此，该

科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积。以减小地面所受压强，从而可以

顺利地通过湿地。

2.你能根据玻意耳定律(在温度不变的情况下，气体的压强p与它的体积V的乘

积是一个常数K(K>0),即pV=K)来解释：为什么使劲踩气球时，气体会爆炸？

【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力，提高感知水平；止匕外,

在解决实际问题时，要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用。

三、运用新知，深化理解

1.教材P15例题。

2.一个水池装水12m3,如果从水管中每小时流出xm3的水，经过yh可以把水放

完，那么y与x的函数关系式是，自变量x的取值范围

是

12

【答案】y=x；x>0

2

3.若梯形的下底长为x,上底长为下底长的5,高为y,面积为60,则y与x的

函数关系是(不考虑x的取值范围).

17

90

【答案】y=%

4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展

示.设矩形的宽为xcm,长为ycm,那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽

x(cm)之间的函数关系的图象大致是()

【答案】A

5.下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是()

A.小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系

B.长方形的面积为24,它的长y与宽x之间的关系

C.压力为600N时，压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系

D.一个容积为25L的容器中，所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关

系

【答案】D

6.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次

加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：

体积x/mL10080604020

压强,/kPa6075100150300

则可以反映y与x之间的关系的式子是（）.

30006000

A.y=3000xB.y=6000xC.y=xD.y=x

【答案】D

7.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，

设小矩形的长和宽分别为x、y,剪去部分的面积为20,若2WxW10,则y与x

的函数图象是()

18

ABCD

【答案】A

8.一个长方体的体积是100cm3,它的长是y(cm),宽是5cm,高是x(cm).

(1)写出长y(cm)关于高x(cm)的函数关系式，以及自变量x的取值范围；

⑵画出(1)中函数的图象；

⑶当高是3cm时，求长.

解：

20

(l)y=x(x>0)；

⑵图象略；

20

(3)长为3cm。

【教学说明】用函数观点来处理实际问题的应用，加深对函数的认识。

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结。教师作以补充。

课后作业

布置作业：教材''习题L3”中第1、2、4题。

五、教学反思

19

第1章反比例函数（复习课）（6）

教学目标

巩固本章知识点，牢记反比例函数的图象与性质，并能利用性质解决实际问题。

教学重难点

重点：理解反比例函数的图象与性质；

难点：利用反比例函数的性质解决实际问题。

教学过程

一、基本知识：

1、反比例函数的定义：

一般地，如果两个变量X与），的关系可以表示成y=A〃是常数，^0）的

X

形式，那么称），是x的反比例函数。

⑴反比例函数解析式的几种表示法：

①y=g/为常数，kfO）②y=^T化为常数，kxO）③刈=可左为常数，kxO）

⑵自变量的取值范围：XH0的一切实数。

2、反比例函数的图象和性质：

⑴图象：是双曲线，分两支是断开的，关于原点成中心对称，延伸部分有逐

渐靠近坐标轴的趋势，但永不与坐标轴相交。

（2）性质：

在反比例函数y=K（心0）中

X

①当%>0时，函数图象分两支在一、三象限，在每个象限内，），随X的增大

而减小；

②当4<0时，（与上类似）

⑶由反比例函数图象上任一点向两坐标轴作垂线，所以矩形面积等于网o

3、反比例函数在生活中的应用：

读懂题意，特别注意自变量的取值范围。

二、典型题例：

20

1、已知y=*,若)，是X的反比例函数，求“的值。

£广-A-1

分析：由题意，得

a=2或〃=—1

2-a-\=\

解得1

3。+1/0aw——

3

•67=25^—1

即当〃=减-1时，尸罟是反比例函数。

2、如图，正比例函数y=&x的图象与反比例函数广幺的图象相交于A、B

X

两点，其中点A的坐标为(6,26)0

⑴分别求出这两个函数解析式;

⑵求出B点坐标。

分析:

⑴：点A(G，26)在俩函数图象上

：.2』凤,26=宝

••k、=2,k?—6

...正比例函数的解析式是y=2x,

...反比例函数的解析式是y=J

X

⑵方法1:方法2：

由题意，有•反比例函数的图象关

于原点成中心对称

■解得卜或卜=一,

・'B点和A点关于原点中心对称

y=-E=2j3出=_2j3

・川省,2@,6(-73,-2月-25/3)

3、在反比例函数y=A的图象上有一点p(%”)，它的横坐标机与纵坐标〃是

X

方程/一4/-2=0的两根。

21

⑴求k的值；⑵求点P到原点。的距离。

分析：

⑴,/在函数y=卜的图象上⑵由题意，有

x

/./I=—BPnm—kmn=—2,+〃=4

m

又*/m、〃是方程产-4,-2=0的两根

nr+〃2=+—linn=16+4=20

mn=-2/.OP=y/m2+n2=x/20=2>/5

J&=-2即点p到原点的距离为2逐。

三、小结：

牢记反比例函数的图象与性质，注意区别一次函数与反比例函数、读懂题意,

仔细作答。

四、作业：

1、课堂：

⑴点A（w,n）是双曲线y=kx~l上一点，且m、n是一兀二次方程f一3%-6=0的

两根，求双曲线的解析式。

⑵已知一次函数尸x+m与反比例函数W吧（,叱-1）的图象在第一象限内的

交点为p（%,3）,求一次函数和反比例函数的解析式。

2、课外：

完成《学法大视野》。

五、教学反思

22

第2章一元二次方程

2.1一元二次方程（7）

教学目标

1、在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的

感性认识。

2、了解一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化为一般形式，能写出一

般形式的二次项系数、一次项系数和常数项。

3、经历由具体问题分析数量关系并建立一元二次方程模型的过程，体会数学建

模思想。

教学重难点

重点：一元二次方程的有关概念，一元二次方程的一般形式。

难点：把实际问题转化为一元二次方程的模型。

教学过程

一、预习导学

学生通过自主预习教材P26-27完成下列问题：

1.已知方程x（7-x）=8,它一元一次方程。（填“是”或“不是”）

2.如果一个方程通过整理可以使右边为,而左边是只含有个未知数的

次多项式，这样的方程叫做一元二次方程。

3.一元二次方程的一般形式是,其中二次项为,一次

项为，

常数项为，二次项系数为,一次项系数为。

学生课前完成，教师检查，学生通过预习初步感知一元二次方程的相关概念和一

般形式。

二、探究展示

（一）合作探究

1.如图，已知一矩形的长为200cm,宽为150cm,现在矩形中挖去一个圆，使剩

余部分的面积为原矩形面积的上。求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其

4

中兀取3）

23

引导学生设挖去的圆的半径为xm,

找等量关系：矩形的面积一圆的面积=矩形的面积X士。

4

列出方程：200X150-3x2=200X150X2。①

4

2.据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万

辆。求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程。

引导学生思考：

等量关系：两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量义(1+年平均增长量)2

列出方程：75(1+X)2=108②

3.能把①，②化成右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式

吗？让学生展开讨论，并引导学生把①，②化成下列形式：

①化简，整理得X2-2500=0③

②化简，整理得25x，50x-ll=0④

观察上述方程③和④，启发学生归纳得出：

如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项

式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：

ax2+bx+c=0(a,b,c是已知数，aWO)

其中a,b,c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项。

4.让学生指出方程③，④中的二次项系数、一次项系数和常数项。

设计意图：首先呈现两个实际问题，通过寻找等量，列出方程，然后再引导学

生观察列出的两个方程的特征，引出一元二次方程的形式，进而抽象出一元二次

方程的概念。

(二)展示提升

1.下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和

常数项。

(1)0o01t2=2t(2)5x(x+1)+7=5x-4

(3)3x(1-x)+10=2(x+2)(4)(9y-l)(2y+3)=18y2+l

注意：要确定一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须先将

方程化为一般形式。

24

2.某超市1月份的营业额是36万元，3月份的营业额是49万元，设每月营业额

的平均增长率为x,则平均增长率为x应满足的方程为o

3.已知一个数x与比它大2的数的积等于35,请根据题意，列出关于x的方程,

这个方程是一元二次方程吗？

设计意图：通过习题展示，让学生对本节知识进行及时巩固。

三、知识梳理

1.一元二次方程的显著特征是：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,

整式方程。

2.一元二次方程的一般形式为：ax=bx+c=O(a#O),一元二次方程的二次项系

数、一次项系数、常数项都是根据一般形式确定的。

3.在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，体会学习一元二次方程的

必要性和重要性。

四、当堂检测

1.下列方程是一元二次方程的是(只填序号)

(1)x2=-l(2)x2+xy+l=0(3)ax2+bx+c=0

(4)21X2+3X-1=0(5)(-)2+x-l=0(6)(x+1)(x-l)x=x2+l

X

2.把一元二次方程(3x-2)(x+l)=8x-3化为一般形式是其中二

次项系数是，一次项系数是，常数项是。

3.将一根长为64cm的铁丝剪成两段，每段均折成一个正方形，若两个正方形的

面积和为160cm",且其中一个正方形的边长为xcm,请根据题意列出关于x的

方程。

4.已知关于x的方程(k2-l)x2+(k+l)x-2=0当k为何值时，此方程是一元二次方

程，并写出这个方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

五、教学反思

25

2.2.1配方法(8)

教学目标

1.知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。

2.掌握用直接开平方法对形如x2=a(a20),(ax+n)2=d(a,n,d为常数，d20)

形式的一元二次方程进行求解。

3.引导学生体会解一元二次方程中的转化与降次思想。

教学重难点

重点:用直接开平方法对形如x?=a(a20),(ax+n)2=d(a,n,d为常数，d20)

形式的一元二次方程进行求解。

难点：体会解一元二次方程中的转化与降次思想。

教学过程

一、预习导学

学生通过自主预习教材P30—31完成下列问题：

1.若x?=a；贝!Jx叫a的,x=；若x?=4,贝I]x=；若x?=2,

贝UX=O

2.方程(ax+n)2=d(a,n,d为常数，d20)的根为。

3.根据平方根的意义来解一元二次方程的方法叫做，其实质

是，将一个一元二次方程转化为一个一元一次方程。

二、探究展示

(一)合作探究

1.如何解本章2.1节“动脑筋”中的方程①:x-2500=0呢?

问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程？

引导学生把方程①写成X2=2500

这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得

X=72500或x=_j2500

因此原方程的解是:x,=50,X2=-50

对于实际问题中的方程①而言，Xz=-50不合题意，应当舍去。

注意：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

2.课本P31动脑筋：如何解方程(1+x)2=81

26

先学生讨论交流：当二次项的底数是一个多项式时怎么用直接开平方法解答？

教师引导：把1+X看成一个整体。

由(1+x)J81得l+x=VsT或l+x=-J灯，即l+x=9或l+x=-9

解得x,=9,X2=-9

引导学生归纳总结：

解一元二次方程的基本思路是：通过降次，将一个一元二次方程转化为两个一元

一次方程。

对形如x‘=a(a>0),(ax+n)?=d(a,n,d为常数，d20)形式的一元二次方程进

行可以用直接开平方法求解,一定要注意此时方程有两个解。

设计意图：让学生经历用直接开平方法解一元二次方程的过程，使学生对一元

二次方程的解有全面了解。

(二)展示提升

1.解方程。

(1)4x2-25=0(2)(2X+1)2=2

(3)(x+3)2-36=0(4)x2-6x+9=5

小组讨论交流，然后小组代表在全班展示交流。

设计意图：通过习题演练、展示，加深学生对用直接开平方法解一元二次方程

的理解，让学生通过分组讨论的形式，训练学生的合作交流意识。

三、知识梳理

1.解一元二次方程的基本思路是：通过降次将一个一元二次方程转化为两个一

元一次方程。

2.对形如x?=a(a»0),(ax+n)'=d(a,n,d为常数，d>0)形式的一元二次方

程进行可以用直接开平方法求解，一定要注意此时方程有两个解。

四、当堂检测

1.解方程。

(1)9x2-49=0(2)9(1-2X)2-16=0

27

(3)2(2x-l)-4=0(4)25x-10x+l=9

2.一个正方形面积为7m:宽是长的一半，求长和宽各是多少。

五、教学反思

2.2.1配方法(9)

教学目标

1.通过实例让学生理解配方法，知道用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

的基本步骤。

2.理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程

中，让学生进一步体会化归的思想方法。

教学重难点

重点：会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

难点：用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的方

程。

教学过程

一、预习导学

学生自主预习教材P32-33完成下列问题：

1.a2±2ab+b-。

2.在下列各题中，填上适当的数，使等式成立：

(1)x2+6x=(x+)2

(2)x2-6x+=(x-)2

(3)X2+6X+5=X~+6X+_+5=(x+)2-

3.解方程(x+2)2-16=0。

设计意图：配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的

特征，通过几个题，进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，

为后面掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。

28

二、探究展示

(一)合作探究

解方程:x2+4x=12

分析:如果能够把方程x?+4x=12写成(ax+n)?=d(a,n,d为常数，d20)的形

式，那么就可以利用上节课讲的直接开平方法，根据平方根的意义来求解。那么

怎样把方程x?+4x=12写成(ax+n)2=d(a,n,d为常数，d20)的形式呢？

小组讨论交流，然后总结得出：x，4x=12是二次项系数为1的方程，在方程左

边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，再经过整理就可以使方程的一边

配成完全平方形式，即(ax+n)2=d(a,n,d为常数，d»0)的形式，最后直接开平

方，就可以求出该方程的解。让学生进一步体会化归的思想。

一般地，在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含

未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫做配方。配方、整理后就可以直接

根据平方根的意义来求解。这种解一元二次方程的方法叫作配方法。

教师总结：配方是为了直接运用平方根的意义，从而把一个一元二次方程转化

为两个一元一次方程来解。

(二)展示提升

1.填空

(1)X2+4X+1=X2+4X+_-+1=(x+)2-

(2)X2+3X-4=X2+3X+__--4=(x+)~-

解方程。

(1)x2+10x+9=0(2)x-12x-13=0

(3)X2+8X-2=0(4)x-5x-6=0

设计意图：通过展示，规范配方法解一元二次方程的过程，让学生充分理解掌握

用配方法解一元二次方程的基本思路及关键是将方程转化成(x+m)2=n(n20)的

形式。

三、知识梳理

1.将二次项系数为1的方程配方的基本步骤是：首先在方程的左边加上一次项系

数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里；然后

将配方后的一元二次方程用直接开平方法来解。

2.配方是为了直接运用平方根的意义，从而把一个一元二次方程转化为两个一

元一次方程来解。

四、当堂检测

29

1.若方程x2+kx+64=0的左边是完全平方式，则1<=

2.配方：x-8x-9=x2-8x+_--9=(x-)2-

3.解方程。

(1)X2-2X-1=0(2)(x-2)(x+3)=6

4.不解方程，只通过配方判断下列方程有无实数根。

(1)x-6x+10=0(2)x2+x+-=0

4

(3)x2-x-l=0

五、教学反思

2.2.2公式法(10)

教学目标

1.经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。

2.会用公式法解简单系数的一元二次方程。

教学重难点

重点：求根公式的推导和公式法的应用。

难点：理解求根公式的推导过程。

教学过程

一、情景导入，初步认知

1.用配方法解方程：

(1)x2+3x+2=0；(2)2x2-3x+5=0.

2.由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都

使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方

程ax2+bx+c=0(aWO)使用这些步骤，然后求出解x的公式？

【教学说明】这样做了以后，我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次

方程的解，取得一通百通的效果。

二、思考探究，获取新知

30

1.用配方法解方程:ax2+bx+c=0(aWO)

分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,

根据上面的解题步骤就可以一直推下去。

解：移项，得：ax2+bx=~c

因为QWO,所以方程两边同除以Q得:

2bC

X+—X—...

a

配方，得:f+2+(白/='+(52

a2aa2a

2

即("小b-4QC

4a2

a7^04a2>0

当b2-4ac》0时¥一卡/0

4Q

-b+'Jb2-4ac

二2a

-b-/-4oc

"-----%------"

当/_4或<0时，方程无解

【归纳结论】由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)