2022年高考理科数学《平面向量》题型归纳与训练

2022年高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练【题型归纳】题型一平面向量的线性运算例1：记maxx，y＝x,x≥yA．min{a+C．maxa+b2,【答案】：D【解析】方法一：对于平面向量a,b,|a+b|与|a－b|表示以方法二：若a,b同向，令|a+b|＝5，|a－b|＝1，min{|a+b|，|a－b|}＝1，min{|a|，|b|}＝2；若令|a|＝2【易错点】平面向量加减法线性运算性质。【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对a,b特殊化，从而得到题型二共线向量定理、平面向量基本定理的应用例1.△ABC中,AB边的高为CD,若CB＝a,A.13a－13bB.【答案】D【解析】方法一：∵∴BD＝5方法二：如图,以C为原点，CA,CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．由已知得A2,0,B0，1.又因为CD⊥AB，所以可求得D(25,45),于是AD【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示；【思维点拨】根据题设条件确定出A、B、D三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决.例2.若点M是∆ABC所在平面内一点,且满足:设AM（1）求∆ABM与∆（2）若N为AB中点,AM与CN交于点O,设BD=xBM【答案】见解析；【解析】（1）由AM＝34如图令BM=λλ=14;（2）由BO=x由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线⇒x+【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；【思维点拨】.利用共线性质得出AB与AC的线段长度之比，即可得到面积之比；第二问中利用O、M、A三点共线及O、N、C三点共线性质进行解决即可；例3.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F与x轴垂直的直线l交两渐近线于A.BA．y=±34xB．y=±2【答案】B【解析】由题意可知A(c,bca),B(c,-bca),代入OP=mOA+nOB，得【易错点】A、B、P三点坐标的确定，离心率的概念。【思维点拨】解析几何中基本量的计算要注意方程思想的应用和运算的准确性.题型三平面向量数量积的概念与计算例1.如图,正六边形ABCDEF的边长为1,则AD∙A.3B.-3C.3D.【答案】D【解析】根据正六边形性质,有∠ADB＝30°,于是向量AD与DB所成角为150°;且AD=2,|DB|=3,所以【易错点】正六边形的性质及平面向量的加减法运算法则的应用；【思维点拨】利用定义求两个非零向量数量积,关键要搞清向量的数量积和模,尤其在求向量夹角时,要判断其起点是否共点．例2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinC2=【答案】B【解析】过点C作CO⊥AB,垂足为O．如图所示,C0,取点P靠近点B的三等分点．则P63,0同理取点P靠近点A的三等分点答案也是6．CP∙【易错点】坐标系的建立，点坐标的确定；【思维点拨】用坐标法求平面向量数量积可以简化解题过程,坐标法思想能否灵活使用以及坐标系建立的恰当与否是解题关键．例3.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,BF=2FOA．-34B．-89【答案】B【解析】∵BF【易错点】平面向量线性运算性质的应用，共线性质的应用；【思维点拨】利用线性运算将待求量转化到利用B.O.C,D.O.E共线的向量表示,利用同向或是反向解决问题；题型四平面向量的夹角与模的计算例1.若非零向量a,b满足|a|＝223|bA.π4B.π2C.【答案】A【解析】设b＝x,〈a,b∵(∴3∴2【易错点】垂直关系的转化，比例关系的应用，夹角的范围；【思维点拨】利用垂直得出a,b的等式关系，借助长度关系建立关于夹角余弦值方程即可解决;题型五平面向量中的范围、最值问题例1.在边长为2的等边三角形∆ABC中,D是AB的中点,E为线段AC上一动点,则EB∙【答案】见解析；【解析】由题意可得，AE与AB的夹角是60°，D是AB的中点，设∴EB=2|由于E为线段AC上的一动点，故0≤x≤2，令f(x)=2-3∴当x=34时，f(x)min=2316；当x=2时,【易错点】线性转化，函数关系的构造，取值范围的确定；【思维点拨】将EB∙ED用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中例2.已知向量a,b,c满足:a=4,b=22A.2+12B.2+【答案】D【解析】设OA=a,OB=b,OC∵a=4,b=22,a与b的夹角为π4∴x2+y2-6x-2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1表示以(3,1)为圆心，以1为半径的圆,|c-a∴|c-a|的最大值为2【易错点】题干条件的转化，几何意义的应用；【思维点拨】夹角已知向量模已知的情况下，即可将线性运算转化为坐标运算，将问题具体化.例3.已知向量OA与OB的夹角为θ,OA=2,OB=1,OP=tOAA.(0,π3)B.(π【答案】D【解析】由题意知,OA∴PQ25+4cosθt由二次函数图像及其性质知,当上式取得最小值时,t0由题意可得,0<1+2cosθ5+4cosθ<15【易错点】转化方向的确定，函数关系的建立；【思维点拨】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解.例4.已知a=λ,2,b=(-3,5),且a与【答案】λ<【解析】由于a与b的夹角为锐角,∴a∙b>0,且a与b不共线同向,由a∙b>0⇒-3λ+10>0,解得λ<103,当向量a与b共线时,得【易错点】忽略夹角为锐角的条件及其需要满足的条件；【思维点拨】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,π],而三角形内角范围是(0,π),向量夹角是锐角,则cosθ>0且cosθ≠1,而三角形内角为锐角,则题型六平面向量在三角函数中的应用例1.在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=(2①若m⊥n，求tanx的值；②若m与n的夹角为π3,求x【答案】见解析；【解析】①∵m=(22,-2∴m·n=22sinx-22②由题意知，m＝22m·n=而m·n＝又∵x∈0,π2，x-π4∈-【易错点】运算出错，角度范围不明确；【思维点拨】利用平面向量坐标运算性质及垂直关系建立等式即可得出结果。

【巩固训练】题型一平面向量的线性运算1.设D,E分别是∆ABC的边AB,BC上的点，AD＝12AB，BE＝23【答案】：1【解析】：∵DE＝又∵DE＝2.已知A,B,C为圆O上的三点，若AO=12AB+【答案】：90°【解析】：由AO=12AB+AC可知O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC=90°3.在△ABC中,点M,N满足AM=2MC，BN=NC,若MN【答案】：1【解析】：如图，在△ABC中，MN==12AB题型二共线向量定理、平面向量基本定理的应用1.如图,在平行四边形ABCD中,AB＝a,AD＝b,A.14a-34bB.3【答案】D【解析】BN2.已知OA,OB是两个单位向量,且OA∙OB=0.若点C在∠AOB内,且A.13C.【答案】C【解析】以O原点,向量OA,OB所在直线为轴,建立平面直角坐标系,因为∠AOC=30°,设点C的坐标为(x,33x),由OC=m3.直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且交抛物线于A,B两点,交其准线于C点,已知AF=4,CBB.43C.【答案】C【解析】过A,B分别作准线的垂线交准线于E,D.因为AF=4,CB=3BF，所以AE=4,|CB|=3|BF|,且|BF|=|BD|,设BF=BD=a,4．在∆ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点,AN=λABA.12B.1【答案】A【解析】∵M为边BC上任意一点,∴可设AM=x∵N为AMAM中点,∴AN=∴λ+μ=1题型三平面向量数量积的概念与计算1.若等腰∆ABC底边BC上的中线长为1,底角B＞60°,则BA【答案】-1,-【解析】因为等腰∆ABC底边BC上的中线长为1,底角B＞60°,所以∠cos∠BAC∈12,1,∵AB+AC2∴2AB又∵cos∠BAC∈12,1,∴AB∴BA∙故答案为：-1,-22.已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域x+y≥2x≤1y≤2上的一个动点,则A.[-1,0]B.[0,1]C.[0,2]D.[-1,2]【答案】C【解析】OA∙OM=-x+y,作出不等式组x+y≥2x≤1y≤2表示的平面区域，如图∆ABC内部(含边界),作直线l:-x+y=0,平移直线l,直线过A(-1,1)时,-x+y=0,过3.在边长为1的正∆ABC中,BD=xBA,A.-58B-34【答案】D【解析】由题意：AB∙ACBE∴CD∙BE==-12x2+12x-1题型四平面向量的夹角与模的计算1.已知向量AB与AC的夹角为120°,且|AB|=3,AC=2.若AP=λ【答案】7【解析】∵AP⊥BC,∴AP∙BC=0,∴λAB+AC∙BC=0,即λ∴λ-1AB2.平面向量a＝1,2,b＝4,2,c＝ma+A．－2B．－1C．1D．2【答案】D【解析】:c＝ma+b＝m+4，2m+23.)在平行四边形ABCD中,AD＝1,∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC∙【答案】1【解析】方法一：由题意可知，AC=AB+AD，BE=-12AB+AD因此①式可化为1+14AB－12AB2=1方法二：以A为原点，AB为x轴建立如图的直角坐标系，过D作DM⊥AB于点M.由AD=1,∠BAD＝60°，可知AM=12,DM=32因为E是CD的中点，所以Em2+由AC∙BE=1，可得m+1212-m2+题型五平面向量中的范围、最值问题1.已知AB⊥AC,AB=1t,ACA．13B．15C．19D．21【答案】A【解析】以点A为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则B1AP=1,0+40,1=(1,4),即P因此PB∙PC=1-1t所以PB∙PC的最大值等于13,当1t2.已知a,b是平面内互不相等的两个非零向量,且a=1,a-A.(0,3]B.[1,3]C.(0,2]【答案】C【解析】如下图所示,AB=a,AD=b,则AC=DB=a-b,∵a-b与∴∠ADB=30°，设∠DBA=θ，则0°<θ<150°,在∆ABD中,由正弦定理得|a|sin30°=|b|sinθ,3.非零向量a,b满足2ab=a2b2,a+【答案】【解析】由题意得a∙b=12a2∙整理得a2+cos<a,b>=a∙b|a|∙|b|=4.设向量e1,e2满足：|e1|=2,|e2A．(-7,-12)C.[-7,-142)∪(-【答案】B【解析】由题可知：|e1|∴2te欲使夹角为钝角,需2t2+15t+7<0,得-∴2t=λ且t=7λ，∴2t2=7,；∴t=-142,此时λ=-14，即t=-142题型六平面向量在三角函数中的应用1.已知a＝(1)若|a－b(2)设c＝(0,1)，若a＋b【答案】见解析；【解析】(1)证明：由题意得|a－b又因为a2=b2=|a|2=(2)因为a+所以cosα+cosβ=0sinα+sinβ=1由此得，cosα=cos(π－β)