微积分基础知识

关于微积分基础知识第1页，共52页，2023年，2月20日，星期四2参考书目＜微积分学习指导＞＜高等数学＞同济大学数学系编（高等教育出版社）第2页，共52页，2023年，2月20日，星期四31.基础:函数,极限,连续

2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程主要内容多元微积分第3页，共52页，2023年，2月20日，星期四4

高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。

由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：概念更复杂理论性更强表达形式更加抽象推理更加严谨第4页，共52页，2023年，2月20日，星期四5

因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽象思维和逻辑推理的能力。

学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学好了数学。第5页，共52页，2023年，2月20日，星期四6极限方法1）计算圆的周长圆内接正n

边形Or)第6页，共52页，2023年，2月20日，星期四72）切线的斜率第7页，共52页，2023年，2月20日，星期四8abxyo3)计算曲边梯形面积曲边梯形面积为第8页，共52页，2023年，2月20日，星期四94)无穷级数第9页，共52页，2023年，2月20日，星期四10一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的对象的全体.组成集合的事物称为该集合的元素.P（x）表示元素具有性质

第0章基本知识第10页，共52页，2023年，2月20日，星期四112.邻域:第11页，共52页，2023年，2月20日，星期四121.定义设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，

若对于x∈D，变量y按照确定的法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数记作自变量因变量二、函数第12页，共52页，2023年，2月20日，星期四13函数的两要素:定义域与对应法则.自变量对应法则f因变量约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.第13页，共52页，2023年，2月20日，星期四14(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo第14页，共52页，2023年，2月20日，星期四15(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线第15页，共52页，2023年，2月20日，星期四16有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数第16页，共52页，2023年，2月20日，星期四17(4)取最值函数yxoyxo

在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.第17页，共52页，2023年，2月20日，星期四18三.函数的几种特性设函数

(1)有界性使称A为上界，B为下界。(2)单调性为有界函数.当时,称为I

上的单调增函数;称为I

上的单调减函数.第18页，共52页，2023年，2月20日，星期四19(3)奇偶性且有若则称

f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,

偶函数双曲余弦记第19页，共52页，2023年，2月20日，星期四20例1判断函数的奇偶性.解：∴f(x)是奇函数.例2设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。证明：设显然g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而

故命题的证.

第20页，共52页，2023年，2月20日，星期四21(4)周期性且则称为周期函数,若称

l

为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:

周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x

为有理数x为无理数第21页，共52页，2023年，2月20日，星期四四.反函数若函数为单射,则存在逆映射称此映射为f

的反函数.DWDW22第22页，共52页，2023年，2月20日，星期四23习惯上,的反函数记成图形关于直线对称.单调性一致第23页，共52页，2023年，2月20日，星期四24例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数第24页，共52页，2023年，2月20日，星期四25例1

证明若函数y=f(x)是奇函数且存在反函数

x=f1(y),则反函数也是奇函数。证明：∴反函数是奇函数。例2解:当x0时,y1,当x<0时,y<1,x=y-1,第25页，共52页，2023年，2月20日，星期四26

初等（显）函数

y=f(x)

隐函数F(x,y)=0

参量函数分段函数单值函数多值函数五.初等函数第26页，共52页，2023年，2月20日，星期四27基本初等函数1.幂函数第27页，共52页，2023年，2月20日，星期四282.指数函数第28页，共52页，2023年，2月20日，星期四293.对数函数第29页，共52页，2023年，2月20日，星期四304.三角函数正弦函数余弦函数第30页，共52页，2023年，2月20日，星期四31正切函数余切函数第31页，共52页，2023年，2月20日，星期四32正割函数余割函数第32页，共52页，2023年，2月20日，星期四335.反三角函数第33页，共52页，2023年，2月20日，星期四345.反三角函数第34页，共52页，2023年，2月20日，星期四35第35页，共52页，2023年，2月20日，星期四36复合函数y=f(u)称为外函数，u=(x)称为内函数定义第36页，共52页，2023年，2月20日，星期四37注:2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.1.复合函数代入法不能构成复合函数.3.并不是任意两个函数都可以进行复合运算第37页，共52页，2023年，2月20日，星期四38初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数例如,可表为故为初等函数.

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.否则称为非初等函数.第38页，共52页，2023年，2月20日，星期四39例：不是初等函数为初等函数不是初等函数为初等函数第39页，共52页，2023年，2月20日，星期四40双曲函数奇函数.偶函数.双曲函数第40页，共52页，2023年，2月20日，星期四41奇函数,有界函数,第41页，共52页，2023年，2月20日，星期四42

六数列的极限(P6):第42页，共52页，2023年，2月20日，星期四43几何解释:

第43页，共52页，2023年，2月20日，星期四44第44页，共52页，2023年，2月20日，星期四45如:唯一性,有界性,局部保号性,夹挤规则（两边夹）第45页，共52页，2023年，2月20日，星期四46证:

用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有收敛数列的极限唯一.使当n>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N

时,故假设不真!满足的不等式第46页，共52页，2023年，2月20日，星期四47两边夹准则证:

由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故第47页，共52页，2023年，2月20日，星期四48第48页，共52页，2023年，2月20日，星期四49例.证明数列是发散的.

证:

用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a

存在.取则存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当n>N

时,有因此该数列发散.第49页，共52页，2023年，2月20日，星期四50例(P10)证明若X2k-1→a,X2k→a(k→∞),

则数列{Xn}收敛于a。证：对任ε>0,ヨK1,当k>K1时X2k

落在[a-ε,a+ε]即满足|Ｘ2k-a|≤ε…(1)

ヨK2当k>K2