2021年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

#2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）TOC\o"1-5"\h\z7c(1-a)2(1-b)2,71.已知a+b=2,+=一4，则ab的值为()ba111A.1.B.—1.C.——.D.22【答】B.由+_-—4可得a(1—a)2+b(1—b)2=—4ab,ba即(a+b)—2(a2+b2)+a3+b3+4ab—0,即2—2(a2+b2)+2(a2—ab+b2)+4ab-0，即2-2ab+4ab-0，所以ab-—1.2.已知△ABC的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）B.6.C.7.A.5.B.6.C.7.D.8.B.6.C.7.【答】B.2S2S2S设厶ABC的面积为S,所求的第三条高线的长为h,则三边长分别为丁，石，.显520h2S2S然~5>"20，于是由三边关系，得2S2S2S—+一>——20h52S2S2S+>——〔205h解得4<h<2°.所以h的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.3.方程Ix2—11=(4一2\/3)(x+2)的解的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个【答】C.当IxIn1时，方程为x2—1—(4—2、.：3)(x+2)，即x2—(4—23)x—9+4.3—0,解得叫f厅，x-4—3、：'3，均满足IxI>1.2当IxI<1时，方程为1—x2—(4—2>；3)(x+2)，即x2+(4—2、：3)x+7—3—0，解得x3=打-2，满足1xkh

综上，原方程有3个解．•4.今有长度分别为1,2,…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（）A.5A.5组.B.7组.C.9组.D.11组.【答】C.显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条.当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和.当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等.45又因为1+2+由于+9二45又因为1+2+由于7二1+6二2+5二3+4；8二1+7二2+6二3+5；9二1+8二2+7二3+6二4+5；1+9二2+8二3+7二4+6；2+9二3+8二4+7二5+6.所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。故满足条件的“线段组”的组数为1X4+5=9.5.如图，菱形ABCD中，AB=3,DF=1,ZDAB=60。,ZEFG=15。,FG丄BC,则ae=（）A.1A.1+迈.B.(6.C.2朽-1.D.1+込.【答】D..•・ZAFH=30。AH=1，FH，nC过F作AB的垂线，垂足为H.TZDAB=60。.•・ZAFH=30。AH=1，FH，nC又•・•ZEFG二15。，.•・ZEFH二ZAFG—ZAFH—ZEFG二90。—30。-15。=45。，从而△FHE是等腰直角三角形，所以HE=FH=朽，.•・AE二AH+HE=1+、3.1111111112346.已知一+—+—+——丁，则_+—+—的值为xy+z2Yz+x3zx+Y4xyz）35A.1.B.—C.2.D.22【答】C.由已知等式得XY+zx—2，YZ+xy—3，zx+yz—4，所以xy+yz+zx—9x+y+zx+Y+zx+Y+zx+y+z2于曰Yz—5亠9zx—3亠9xy——1•所以-—5z3y•，——3，——5—~，ccc・PI3，cx+y+z2x+y+z2x+y+z2x3yx3

TOC\o"1-5"\h\z1111代入一+=—，得一+-5xy+z2x5x+5x3=-，解得x=2321023=-，解得x=23210所以—I+=++==2.xyzx55x5xx3二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1.在厶ABC中，已知ZB=2ZA，BC=2,AB=2+2订3，则ZA=【答】15。。延长AB到D,使BD=BC，连线段CD，则ZD=ZBCD=丄ZABC=ZA，所以CA=CD。CD。作CE丄AB于点E，则E为AD的中点，故AE=DE=1AD=!(AB+BD)=丄(2+2运+2)=2+“运,222BE二AB-AE二(2+2、③-(2+丫3)二朽.在Rt△BCE中，cosZEBC=BC=计，所以ZEBC=300ZA=2zabc=150•2.二次函数y二x2+bx+c的图象的顶点为D,与x轴正方向从左至右依次交于A,B两点，与y轴正方向交于C点，若厶ABD和厶OBC均为等腰直角三角形（0为坐标原点），则b+2c=.【答】2.一b一pb2一4c一b+tb2一4cbb2—4c由已知，得C(0,c)，A(,0)，B(,0)，D(—b2—4c1过D作DE丄AB于点E,，则2DE=AB，即2x十=加一4c，所以vb2—4c=0或\：b2—4c=2.又b2—4c>0，所以vb2—4c=2.1—b+1b2—4c.又OC=OB，即c=——-—,得b+2c=tb2—4c=2.

3.能使2n+256是完全平方数的正整数n的值为.【答】11.当n<8时，2n+256=2n(1+28-n)，若它是完全平方数，则n必为偶数.若n二2，贝y2n+256=2x65；若n二4，贝y2n+256=24x17；若n二6，则2n+256=26x5；若n=8，则2n+256=28x2。所以，当n<8时，2n+256都不是完全平方数．当n>8时，2n+256=28(2n-8+1)，若它是完全平方数，则2n-8+1为一奇数的平方。设2n-8+1=(2k+1)2(k为自然数),则2n-10=k(k+1).由于k和k+1一奇一偶，所以k=1，于是2n-10=2，故n=11.4.如图，已知AB是00的直径，弦CD与AB交于点E,过点A作圆的切线与CD的延长3线交于点F,如果DE=^CE，AC=朋，D为EF的中点，则ABB4B【答】24.设CE=4x,AE=y，则DF=DE=3x,EF=6x.连AD，BC.因为AB为00的直径，AF为00的切线，所以ZEAF=90。,ZACD=ZDAF.又因为D为RtAAEF的斜边EF的中点，.•・DA=DE=DF,.•・ZDAF=ZAFD，.•・ZACD=ZAFD,.•・AF=AC=8^5.在RtAAEF中，由勾股定理得EF2=AE2+AF2，即36x2=y2+320.设BE=z，由相交弦定理得CE-DE=AE-BE，即yz=4x-3x=12x2，.•・y2+320=3yz①又AD=DE，.•・ZDAE=ZAED.又ZDAE=ZBCE,ZAED=ZBECZBCE=ZBEC，从而BC=BE=z.在RtAACB中，由勾股定理得AB2=AC2+BC2，即（y+z）2=320+z2,y2+2yz=320.②

联立①②，解得y=&z=16.所以AB二AE+BE二24.第二试（A）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数a,b,c满足a-b+c—3,方程x2+ax+1—0和x2+bx+c—0有一■个相同的实根，方程x2+x+a—0和X2+cx+b—0也有一个相同的实根.求a,b,c的值.解依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④.[x2+ax+1—0,设x是方程①和方程②的一个相同的实根，则｛171c两式相减，可解得Ix2+bx+c—0,11c-1x—a-b……5分Ix2+x+a—0,设x是方程③和方程④的一个相同的实根，则｛22两式相减，可解得Ix2+cx+b—0,22a-bx—c-1所以x1x2—1又方程①的两根之积等于1，于是x2也是方程①的根，则x2+ax2+1-0。15分又x；+x2+a-0，两式相减，得(a-1)x2-a-115分若a-1，则方程①无实根，所以a丰1，故x2-1-于是a—-2,b+c—-1.又a-b+c—3，解得b—-3,c—2.………20分二.（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知ZBAD—60。，ZABC—90。，ZBCD—120°，对角线AC,BD交于点S，且DS—2SB，P为AC的中点.求证：（1）ZPBD—30°；(2)AD—DC.C证明（1）由已知得ZADC—90°，从而A,B,C,D四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心.5分C作PM丄BD于点M，知M为BD的中点，所以ZBPM=2ZBPD=ZA—60°，从而ZPBM—30°.10分(2)作SN丄BP于点N，则SN=2SB.又DS=2SB,DM=MB=-BD,231.•・MS=DS-DM=2SB--SB=-SB=SN,15分22・•・RtAPMS9RtAPNS,・•・ZMPS二ZNPS二30。,又PA二PB,所以ZPAB=1ZNPS=15。,故ZDAC二45。=ZDCA,所以2AD二DC.25分三.(本题满分25分)已知m,n,p为正整数，m<n.设A(-m,0),B(n,0),C(0,p),O为坐标原点.若ZACB—90。，且OA2+OB2+OC2=3(OA+OB+OC).证明：m+n—p+3；求图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式.解(1)因为ZACB—90。,OC丄AB，所以OA-OB—OC2，即mn—p2.由OA2+OB2+OC2—3(OA+OB+OC),得m2+n2+p2—3(m+n+p).5分又m2+n2+p2—(m+n+p)2一2(mn+np+mp)—(m+n+p)2一2(p2+np+mp)—(m+n+p)2一2p(m+n+p)—(m+n+p)(m+n-p),从而有m+n-p—3,即m+n—p+3.10分(2)由mn—p2,m+n—p+3知m,n是关于x的一元二次方程x2一(p+3)x+p2—0①的两个不相等的正整数根，从而A—[-(p+3)]2-4p2>0,解得—1<p<3。又p为正整数

15分当p=1时，方程①为x2-4x+1=0，没有整数解.当p=2时，方程①为x2-5x+4=0，两根为m=1,n=4.综合知：m=1,n=4,p=2.20分设图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式为y=k(x+1)(x-4)，将点C(0,2)的坐标代入得2=kx1x(-4)，解得k=-*.所以，图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式为=--(x+1)(x-4)=--x2+3x+222225分第二试(B)一.(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.二(本题满分25分)如图，在四边形ABCD中，已知ZBAD=60。，ZABC=90。，ZBCD=120。，对角线AC,BD交于点S，且DS=2SB.求证：AD=DC.设P为AC的中点，则P为四边形ABCD的外接圆的圆心.5分作PM丄BD设P为AC的中点，则P为四边形ABCD的外接圆的圆心.5分作PM丄BD于点M，则M为BD的中点，所以ZBPM=2ZBPD=厶10分ZA=60。，从而ZPBM=30。.作SN丄BP于点N，则SN=-SB.2又DS=2SB,DM=MB=-BD，2

3115分.•・MS=DS-DM=2SB-—SB=—SB=SN15分22・•・RtAPMS9RtAPNS,・•・ZMPS=ZNPS=30。，又PA=PB，所以ZPAB=-ZNPS=15。，所以ZDAC=45。=ZDCA，所以2AD=DC．25分三.((本题满分25分)已知m,n,p为正整数，m<n.设A(-m,0)，B(n,0)，C(0,p)，0为坐标原点.若ZACB=90°,且OA2+OB2+OC2=3(OA+OB+OC).求图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式．三.(解因为ZACB二90°,OC丄AB，所以OA-OB=OC2，即mn二p2.由OA2+OB2+OC2二3(OA+OB+OC),得m2+n2+p2=3(m+n+p).5分又m2+n2+p2=(m+n+p)2一2(mn+np+mp)=(m+n+p)2一2(p2+np+mp)二(m+n+p)2一2p(m+n+p)=(m+n+p)(m+n-p)，从而有m+n一p=3，TOC\o"1-5"\h\z即m+n=p+3.10分又mn二p2，故m,n是关于x的一元二次方程x2一(p+3)x+p2二0①的两个不相等的正整数根，从而人二[-(p+3)]2-4p2>0,解得—1<p<3。又p为正整数，故p=1或p=2.15分当p=1时，方程①为x2-4x+1=0，没有整数解.当p=2时，方程①为x2一5x+4=0，两根为m=1,n=4.综合知：m=1,n=4,p=2.20分设图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式为y=k(x+1)(x-4)，将点C(0,2)的坐标代入得2=kx1x(—4)，解得k=一—.所以，图象经过A,B,C三点的二次函数的解析式为13y=——(x+1)(x—4)=——x2+x+2.•••25分22

第二试（C）（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同.（本题满