2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题新高考Ⅰ卷及参考答案

数学试题数学试题B第#17.⑴由数学归纳法不难归纳出2fnttn=<［警2|n从而bn=a-2n=3n—l.(n€b\=2;62=5.⑵TOC\o"1-5"\h\z201010=£叫一1+y^u2kk=ll?=lk=l1010=工(312)+工(3—1)Ar=lAr=l10=6刀上一30=300.k^l18・(1)X的分布列为：P(X=0)二0.2P(X=20)=0.8x(1-0.6)=0.32P{X=1(X))=0.8x0.6=0・48・(2)在先答类朋4的前提下，数学期望为E(X)=20x0.32+100x0.48=54.4在先答类型3的前提下，数学期望为E(Y)=80x0.6x(1().8)+100x0.48=57.6由于小明先答B能使累计得分数学期望更大(E(W)>E(X)),故小明应该先答类型B.19.(1)由正弦定理可得:cras\nCacb2bd=1^b=T=T(2)注意到ZBDA与乙BDC是互补的■它们的余弦值互为相反数，从而分别在△BDA以及△BDC中使用余弦定理得：应叱+COSZ咖锵〜律畫丁2“2-(|6)b2(|6)6化简得芈沪一疋一2疋=().再由从=处代入得3c2—llac+6a2=0.令入=£,得3疋・aO・11入+6=0・解得入=3或孑•从而<5.ca24-c2-62a2+c2-acA2—A+1cos/.ABC=--t—-==-…2ac2ac2A20.⑴由干平面ABD丄平而BCD而AB=AD・等腰三角形的中线即为高，因而AO丄BD,考虑到BZ?为两平面的交集因此AO丄平面BCD・从而04丄CD.(2)以O为原点，oi+oi方向为0•轴正方向，oi-^ob方向为y轴正方向，0才方向为Z轴正方向建立坐标系。设\OA\=h,那么我们可以得到各个点的坐标D(-£,f,O),eg,爭0),碣，-礬0),川0,0上)，E(f可・设平^BCD的一个法向尿为徒=(0,0,1),平而BCE的一个法向虽为应=仗〃1),而灵=OOO(0,^,0).员=《'净-細那么

=0\x=h衫・E（i=0”=0从而cos<^S>=-^L==^.,得到h=l.9因此三棱锥的体积为v1+h2i12xlx^12xlx^xl=^.由双曲线的定义知.C是一个右半边的双曲线，其中a=J|MFl|+|MF2|）=1，C=6=>/l7^1=4.故C的方程为（兀>1）（兀>1）（2）考虑过T点任栽斜率k井交C干两点的愴况。氐线的方程为“=滋+Z-［代入C的方程并化简得（16一k2）x2-昨-2町一（C_£尸一16=0.此时•设直线与C的两个交点为心（5"1）和卷伽恥）.那么由韦达定理得引+帀=蛰鲁・引工2=埠戸此时ITX.I-\TX,\=-x2）=伙$+1）（物工2-扌（叭+”2）+j）=（1十以）（以十12）令|TXi|・ITJGI=入，我们整理得（亠*2+12那么它们杲上述方程的两个根（对于某个给定此时我们设頁线匚4和直线FP斜率分别为血，那么它们杲上述方程的两个根（对于某个给定的入而言），因而由韦达定理得姑+慮=0・22.(1)求导数得f(x)=In(a-),根据尸@)的正负知在(0,1)上单调递增，在⑴8)上单调递减。(2)证明：令“=1,v=J•化简得u(l-ln(w))=v(\-ln(v)).即/(^)=几^)・此时我们只碍要证明2<?/+v<abe,也即2—u<v<e-u.其中，我们不妨假设v>u.那么u€(0,1),v€(l.e).由洛必达法则知lim/(z)=lim-—製工)=lim―f-=liuix=0・:tto*z-xj*:—刍mtO*再由第一问得到的函数单调性知/(X)>0对于任意T€(()工)恒成立。令g(x)=/(x)-/(2-x),其中X€(0,1).那么畑=-ln(l-x)-ln(z).g"[x}=第二V0.故如在区间(0,1)上单调递减，故・(/〔=)>g(l)=0.从而ff(x)在此区间单调递增.所以ff(x)<ff(l)=0•令x=u>可知7(u)</(2-u).所以f(v)=f(u)<f(2-u),再由/(x)在区间(l,e)上单调递减得>2-类似地■再令人仗)=/(可-/(£一切・其中x€(0,1),此时h\x)=—ln(e一z)—ln(x).h,f(x)=竽——聲<类似地■再令人仗)=/(可-/(£一切・故X(h)在区间(0,1)上单谓递彼，此时//(l)=-ln(e-l)<0;又因为当:时，t+8,从而在区间(0J)上有唯一的零点乙此时Mr)在©e)上单调递增,在(c1)±单调递减，而理3)=魄心=0.并且h⑴=f(l)-f(e-