甘肃省兰州市2021-2022学年中考数学模拟试卷（一模）含解析版

【专项打破】甘肃省兰州市2021-2022学年中考数学模仿试卷（一模）

（原卷版）

—•、选—•选：

1.如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可

以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的儿何体是（）

2.方程（m+6）x+〃J=0有两个相等的实数根，且满足须+马=再々则加的值是（）

A.-2或3B.3C.-2D.-3或2

3.在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与工夫t（秒）的关系式为s=5t?+2t,则当t=4时，

该物体所的路程为（）

A.88米B.68米C.48米D.28米

4.下列三个命题中，是真命题的有（）

①对角线相等的四边形是矩形；②三个角是直角的四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四

边形是矩形.

A.3个B.2个C.1个D.0个

5.如图，已知直线a〃b〃c,直线m,n与a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,若AC=4,

6.AB为。。的直径，点C、D在0。上.若NABD=42。，则ZBCD的度数是（）

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D

A.122°B.128°C.132°D.138°

k

7.如图，反比例函数yi='的图象与反比例函数y,=k,x的图象交于点（2,1）,则使yi>y2

x

C.x>2或-2<xV0D.x<—2或0

<x<2

8.下列说法中，正确的是（）

A.“打开电视，正在播放河南旧事节目”是必然

B.某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖

C.神舟飞船发射前要对各部件进行抽样检查

D.了解某种节能灯的运用寿命合适抽样调查

9.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃,加热到100℃,中

止加热，水温开始下降，此时水温（°C）与开机后用时（min）成反比例关系.直至水温降至

30℃,饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机，反复上述自动程序.若在水温为30℃时，接

通电源后，水温y（°C）和工夫（min）的关系如图，为了在上午节下课时（8：45）能喝到不

超过50℃的水，则接通电源的工夫可以是当天上午的

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10.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，己知

盒子的容积为300CT/,则原铁皮的边长为（）

A.10cmB.13cmC.14cmD.16cm

11.（2017年甘肃省兰州市七里河区杨家桥学校中考数学模仿）如图，在AABC中，ZC=90°,

BC=3,D,E分别在AB、AC±,将AADE沿DE翻折后，点A落在点A，处，若A，为CE的中

1

A.—B.3C.2D.1

2

12.如图，在aPaR是。。的内接三角形，四边形ABCD是。。的内接正方形，BC〃QR,则

ZAOR=（）

13.图（1）是一个横断面为抛物线外形的拱桥，当水面在图（1）地位时，拱顶（拱桥洞的点）

离水面2m,水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）

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A.y=-2x2B.y=2x2

C.y=-0.5x2D.y=0.5x2

14.如图，已知Na的一边在x轴上，另一边点力(2,4),顶点为5(—1,0),则sina的值是()

V5

5

15.如图，抛物线？=江+加:+,("0)的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点坐标为(一1,0),

其部分图象如图所示，下列结论：①4ac<62；②方程ax2+6x+c=0的两个根是Xl=-1,X2=

3：③3a+c>0：④当y>0时，x的取值范围是一0<3；⑤当x<0ff寸，y随x增大而增大.其

中结论正确的个数是()

-1/(9

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题：

16.把一元二次方程(X+1)(1-x)=2%化成二次项系数大于零的普通方式是,

其中二次项系数是，项系数是,常数项是.

17.如图，在菱形/8C。中，对角线/C、8。相交于点O,且/B=5,AC=6,过点。作/C的

平行线交3C的延伸线于点E,则△8DE的面积为.

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18.有一等腰直角三角形纸片，以它的对称轴为折痕，将三角形对折，得到的三角形还是等腰

直角三角形（如图）.按照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次，所得小等腰直角三角形的周

长是原等腰直角三角形周长的倍.

19.一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，

AB与CD程度，BC与程度面的夹角为60。，其中AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,那么该小

朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所的路线长为一cm.

C（~O'Xr『40cm~

60cmB

20.在矩形Z8co中，N3的平分线8E与40交于点E,N5ED的平分线EF与。C交于点F,

若AB=9,DF=2FC,贝l]BC=.（结果保留根号）

三、计算题：

21.计算：712+1V3-3|-2sin600-(6)2+2016°.

22.解方程:3x?+2x+1=0

四、解答题：

23.如图1和图2均是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求用实线画出顶点在格点上的图

形.

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要求：

（1）在图形1中画出一个面积为2.5的等腰三角形ABC；

（2）在图2中画出一个直角三角形，使三边长均为不同的在理数.

24.某班"2016年联欢会”中，有一个摸奖游戏：有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2

张是笑脸，2张是哭脸，现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同窗去翻纸牌.

（1）如今小芳和小霞分别有翻牌机会，若正面是笑脸，则小芳获奖；若正面是哭脸，则小霞获

奖，她们获奖的机会相反吗？判断并阐明理由.

（2）如果小芳、小明都有翻两张牌的机会.翻牌规则：小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明

同时翻开两张纸牌.他们翻开的两张纸牌中只需出现笑脸就获奖.请问他们获奖的机会相等吗？

判断并阐明理由.

25.如图，一艘轮船以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60。

的方向上,继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45。方向上，求轮船与灯

塔的最短距离.（到0.1,73=1,73）

北

26.如图，在△Z8C中，4。是8c边上的中线，£■是4。的中点，过点力作的平行线交8E

的延伸线于点尸，连接C尸,

(1)求证：AF=DC-,

（2）若试判断四边形的外形，并证明你的结论.

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27.近年来，我国煤矿事故频频发生，其中危害的是瓦斯，其次要成分是CO.在矿难的调查中

发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L,此后浓度呈直线型添加，在第7小时达

到值46mg/L,发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降.如图所示，根据题中相关

信息回答下列成绩：

(1)求爆炸前后空气中CO浓度y与工夫x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；

(2)当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少

要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？

(3)矿工只要在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿

工至少在爆炸后多少小时才能下井？

28.如图，以^ABC的BC边上一点O为圆心的圆，A,B两点，且与BC边交于点E,D为BE

的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F,AC=FC.

(1)求证：AC是。0的切线；

(2)已知圆的半径R=5,EF=3,求DF的长.

29.如图，抛物线产ax?+bx+cA(1,0)、B(4,0),C(0,3)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，在抛物线的对称轴上能否存在点P,使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出

四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请阐明理由；

(3)如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC,在线段BC上能否存在这样的点M,使aCQU

为等腰三角形且ABQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标：若不存在,请阐明理由.

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【专项打破】甘肃省兰州市2021-2022学年中考数学模仿试卷（一模）

（解析版）

一、选一选:

1.如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可

以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是（）

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c.△

a-Ob0D.

【答案】B

【解析】

【详解】解：圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个正方形，既可以堵住方形空洞，又可以

堵住圆形空洞，故选B.

考点：简单几何体的三视图.

2.方程》2一(〃?+6卜+加2=0有两个相等的实数根，且满足演+》2=芭々则〃，的值是()

A.-2或3B.3C.-2D.-3或2

【答案】C

【解析】

2

【分析】根据根与系数的关系有：Xi+x2=m+6,XlX2=m,再根据xi+x2=xp<2得到m的方程，解

方程即可，进一步由方程x2-(m+6)+m2=0有两个相等的实数根得出b2>4ac=0,求得m的值，

由相反的解处理成绩.

【详解】解：’.,xi+x2=m+6,xiX2=m2.xi+X2=x(X2>

/.m+6=m2,

解得m=3或m=-2,

:方程x?-(m+6)x+m2=0有两个相等的实数根，

/.△=b2-4ac=(m+6)2-4m2=-3m2+l2m+36=0

解得m=6或m=-2

:.m=-2.

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(#0,a,b,c为常数)根的判别式△=b2-4ac.当

△>0,方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有

实数根.同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a#))的根与系数的关系：若方程的两根为

门1bc

X2，贝！JXl+X2=---,X1*X2=­•

aa

3.在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与工夫t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则当t=4时，

该物体所的路程为()

A.88米B.68米C.48米D.28米

【答案】A

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【解析】

【详解】当片4时.，路程s=5/+2/=5x42+2x4=88（米）.

故本题应选A.

4.下列三个命题中，是真命题的有（）

①对角线相等的四边形是矩形；②三个角是直角的四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四

边形是矩形.

A.3个B.2个C.1个D.0个

【答案】B

【解析】

【详解】对角线相等的平行四边形是矩形，①错误；三个角是直角的四边形是矩形，②正确；

有一个角是直角的平行四边形是矩形，③正确，所以真命题有2个故选B.,

5.如图，已知直线a〃b〃c,直线m,n与a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,若AC=4,

CE=6,BD=3,则DF的值是（）

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例可得好=处，然后根据AC=4,CE=6,BD=3,

CEDF

可代入求解DF=4.5.

故选B

考点：平行线分线段成比例

6.AB为。。的直径，点C、D在00上.若NABD=42。，则/BCD的度数是（）

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A.122°B.128°C.132°D.138°

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：首先连接AD,由直径所对的圆周角是直角，可得NADB=90。，继而求得NA

的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得答案.

解：连接AD,

・・・AB为。。的直径，

.\ZADB=90°,

VZABD=42°,

/.ZA=90°-ZABD=48°,

AZBCD=180°-ZA=132°.

故选C.

考点：圆周角定理：圆内接四边形的性质.

7.如图，反比例函数丫|=.的图象与反比例函数y2=k2x的图象交于点（2,1）,则使yi>y2

x

的X的取值范围是1】

A.0<x<2B.x>2C.x>2或-2<xV0口/<一2或0

<x<2

【答案】D

【解析】

【分析】先根据反比例函数与反比例函数的性质求出B点坐标，由函数图象即可得出结论.

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【详解】•.•反比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，

:,A、B两点关于原点对称.

VA（2,1）,

B（—2,—1）.

由函数图象可知，当0<x<2或x<-2时函数yi的图象在y2的上方，

使yi>y2的x的取值范围是x<-2或0<x<2.故选D.

8.下列说法中，正确的是（）

A.“打开电视，正在播放河南旧事节目”是必然

B.某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖

C.神舟飞船发射前要对各部件进行抽样检查

D.了解某种节能灯的运用寿命合适抽样调查

【答案】D

【解析】

【详解】必然指在一定条件下一定发生的.不可能是指在一定条件下，一定不发生的.不确定

即随机是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的.不易采集到数据的调查要采用抽样调查

的方式，据此判断即可.

【分析】解：A.“打开电视，正在播放河南旧事节目”是随机，故力选项错误；

B.某种彩票中奖概率为10%是指买十张可能中奖，也可能不中奖，故8选项错误；

C.神舟飞船发射前需求对零部件进行全面调查，故C选项错误；

D.了解某种节能灯的运用寿命，具有破坏性合适抽样调查，故。选项正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了调查的方式和的分类.不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式；必

然指在一定条件下一定发生的.不可能是指在一定条件下，一定不发生的.不确定即随机是指

在一定条件下，可能发生也可能不发生的.

9.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃,加热到100℃,中

止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系.直至水温降至

30℃,饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机，反复上述自动程序.若在水温为30℃时，接

通电源后，水温y（"C）和工夫（min）的关系如图，为了在上午节下课时（8：45）能喝到不

超过50℃的水，则接通电源的工夫可以是当天上午的

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D.7：50

【答案】A

【解析】

【详解】•.•开机加热时每分钟上升10C,.•.从30c到100℃需求7分钟.

设函数关系式为：y=kix+b,

将(0,30),(7,100)代入y=kix+b得％=10,b=30.

.,.y=10x+30(0<x<7).

令y=50,解得x=2；

k

设反比例函数关系式为：y=—,

x

将（7,100）代入y=K得k=700,二y=4犯.

xx

将y=30代入y=迎，解得x70700(7女四

・・・y=——）.

XTx3

令y=50,解得x=14.

二饮水机的一个循环周期为一分钟.每一个循环周期内，在0VXW2及144X4一工夫段内，水

33

温不超过50℃.

逐一分析如下：

第13页/总33页

选项A：7：20至8：45之间有85分钟.85-------x3=15,位于14WX4—工夫段内，故可行；

33

7070

选项B：7：30至8：45之间有75分钟.75-------x3=5,不在04x42及14VxV一工夫段内，故

33

不可行；

选项C：7：45至8：45之间有60分钟.60--x2=—=13.3,不在04x42及14*4四工夫段

333

内，故不可行；

702570

选项D：7：50至8：45之间有55分钟.55-------x2=一=8.3,不在04x42及144x4—工夫段

333

内，故不可行.

综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意.故选A.

10.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，己知

盒子的容积为300c加3,则原铁皮的边长为（）

A.10cmB.13cmC.14cmD.16cm

【答案】D

【解析】

【详解】设原铁皮的边长为xcm,

则（x-6）（x—6）x3=300,

解得：x=16或x=-4（舍去），

即原铁皮的边长为16cm.

11.（2017年甘肃省兰州市七里河区杨家桥学校中考数学模仿）如图，在AABC中，ZC=90°,

BC=3,D,E分别在AB、AC±,将AADE沿DE翻折后，点A落在点A，处，若A，为CE的中

【答案】D

【解析】

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【详解】试题解析：由题意得：DEA.AC,

ZDEA=90°,

"：ZC=ZDEA,

'：N4=4,

.../XAEDsAACB,

.DEAE

为CE的中点，

：.CA'=EA',

/.CA'=EA'=AE,

AEDE1

••==一，

ACBC3

：.DE=l.

故选D

12.如图，在APCJR是0O的内接三角形，四边形ABCD是。O的内接正方形，BC〃QR,则

ZAOR=()

C.72°D.75°

【答案】D

【解析】

【分析】作辅助线连接0D,根据题意求出NPOQ和NAOD的，利用平行关系求出NAOP度数,

即可求出NAOQ的度数.

【详解】解：连接OD,AR,

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p

5、/

VAPQR是。O的内接正三角形，

工ZPRQ=60°,

ZPOQ=2xZPRQ=120°,

・・・四边形ABCD是。O的内接正方形，

•••△AOD为等腰直角三角形，

AZAOD=90°,

・.・BC〃RQ,AD〃BC,

，AD〃QR,

・・・NARQ=NDAR,

：・&二赢,

VAPQR是等边三角形，

，PQ=PR,

二所=萩，

AP-PD'

1

/.ZAOP=-ZAOD=45°,

2

所以/AOQ=ZPOQ-ZAOP=120°-45°=75°.

故选D.

考点：正多边形和圆.

13.图（1）是一个横断面为抛物线外形的拱桥，当水面在图（1）地位时，拱顶（拱桥洞的点）

离水面2m,水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）

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A.y=-2x2B.y=2x2

C.y=-0.5x2D.y=0.5x2

【答案】C

【解析】

【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：

y=ax2,利用待定系数法求解.

【详解】由题意可得，设抛物线解析式为：产ax?,由图意知抛物线过（2,-2）,故-2=ax22,

解得：a=-0.5,故解析式为y=-0.5x2,选c.

【点睛】根据题意得到抛物线点的坐标，求解函数解析式是处理本题的关键.

14.如图，已知Na的一边在x轴上，另一边点4（2,4）,顶点为3（—1,0）,则sina的值是（）

【答案】D

【解析】

【详解】如图：过点4作垂线4C_Lx轴于点C.

则/C=4,BC=3,故由勾股定理得力8=5.

15.如图，抛物线y=ax2+6x+c（aH0）的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为（一1,0）,

其部分图象如图所示，下列结论：①4ac<Z>2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是打=-1,X2=

3；③3a+c>0；④当y>0时，x的取值范围是一1女<3；⑤当x<0时•，>随x增大而增大.其

中结论正确的个数是（）

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【答案】B

【解析】

【详解】解：•••抛物线与x轴有2个交点，

.".h2-4ac>0,所以①正确；

•••抛物线的对称轴为直线x=l,而点（-1,0）关于直线尸1的对称点的坐标为（3,0）,

方程ax2+bx+c=0的两个根是阳=-1,X2=3,所以②正确；

b

''x=----=1,B|Jb=-1a,而:c=-l时，y=0,即a-8+c=0,

2a

：.a+2a+c=0,所以③错误;

•.•抛物线与x轴的两点坐标为（-1,0）,（3,0）,

...当-l<x<3时，y>0,所以④错误；

:抛物线的对称轴为直线％=1,

...当x<l时，y随x增大而增大，所以⑤正确.

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=a『+6x+c（aWO）,二次项系

数”决定抛物线的开口方向和大小：当。>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开

口；项系数和二次项系数。共同决定对称轴的地位：当a与6同号时（即外>0）,对称轴在

y轴左；当。与b异号时（即打<0）,对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与夕轴交点地位:

抛物线与丁轴交于（0,c）;抛物线与x轴交点个数由△决定：△=岳-4">0时，抛物线与x

轴有2个交点；△=6-4m=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=〃-4ac<0时，抛物线与x

轴没有交点.

二、填空题：

16.把一元二次方程（X+1）（1-x）=2x化成二次项系数大于零的普通方式是,

其中二次项系数是,项系数是,常数项是.

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【答案】①.r+2》_1=0②.1③.2（4）.-1

【解析】

【分析】经过去括号，移项，可以得到一元二次方程的普通方式，然后写出二次项系数，项系

数和常数项.

【详解】解：去括号：1-X2=2X,

移项：x2+2x-l=0,

二次项系数是：1,项系数是：2,常数项是：-1,

故答案分别是：x2+2x-l=0（1,2,-1.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的普通方式，经过去括号，移项，可以得到一元二次方程

的普通方式，然后写出二次项系数，项系数和常数项.

17.如图，在菱形48CD中，对角线ZC、相交于点。，且/B=5,AC=6,过点。作/C的

平行线交8c的延伸线于点E,则△即E的面积为_____.

【答案】24

【解析】

【详解】W："AD//BE,AC//DE,

...四边形/CE。是平行四边形，

:.AC=DE=6,

：在菱形48CD中，对角线ZC、8。相交于点O

：.OA=OC=—AC=3,AC1BD,

2

：.BDLDE,

在中，BO=y/AB2-AO2=%

・・・8O=8,

:.SABDE=y-DE*BD=24.

故答案为：24

18.有一等腰直角三角形纸片，以它的对称轴为折痕，将三角形对折，得到的三角形还是等腰

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直角三角形（如图）.按照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次，所得小等腰直角三角形的周

长是原等腰直角三角形周长的倍.

4

【解析】

【详解】设原等腰直角三角形三条边长分别为：a、a、五a,原周长为（2+72）

折叠后三角形三边长分别为：昱a、显a、a,周长为（收+1）a；

22

折叠两次后三角形三边长分别为：-a,-a,显a,周长为（1+也）a；

2222

折叠n次后三角形周长为（2+0）«x

p）11

所以折叠四次后三角形的周长为：（2+0）“x（注）4=—（2+正）”，是原三角形周长的一.

244

故答案为;.

点睛：此题关键在于找出每折叠后三角形的周长的变化规律.

19.一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示,

AB与CD程度，BC与程度面的夹角为60。，其中AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,那么该小

朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所的路线长为—cm.

【答案】（140-当+野）52

【解析】

【详解】试题解析：如下图，画出圆盘滚动过程中圆心挪动路线的分解图象.

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可以得出圆盘滚动过程中圆心走过的路线由线段oa，线段。避，圆弧Q。；，线段彷。,四部分

构成.

其中O,EVAB,O,FLBC,O.CYBC,O3CLCD,OfiVCD.

与48延伸线的夹角为60°,。是圆盘在45上滚动到与a'相切时的圆心地位，

,此时。0,与48和%都相切.

则N。,昭=N。,止60度.

此时Rt△。班'和Rt△。孙、全等，

在RtZ\O,跖中，法竺Ylem.

3

AOO,=AB-BI^（60-1T2T.）cm.

3

--arPC

・BF=BEF--1----cm,

3

：.0Q”=BC-Be（40-1^5）cm.

3

'：AB//CD,力与程度夹角为60°,

；.N80）=120度.

又,：/0£B=/0£D=90°,

；.Naca=6o度.

则圆盘在C点处滚动，其圆心所的路线为圆心角为60°且半径为10cm的圆弧51.

-~6010

0,0,的长=——X2JtX10=—ncm.

233603

：四边形aoa是矩形，

00=09=40cm.

综上所述，圆盘从A点滚动到D点，其圆心的路线长度是：

（6。-蛇）+（4。-座）+皿〃+4。=（14。-生3$）cm.

33333

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20.在矩形Z8C£）中，N8的平分线8E与4。交于点E,N85'。的平分线EF与0c交于点尸,

若/8=9,DF=2FC,则8C=.（结果保留根号）

【答案】672+3

【解析】

【分析】先延伸EF和BC,交于点G,再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，

并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，根据△EFDs/\GFC得

出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可.

【详解】延伸EF和BC,交于点G.

:矩形ABCD中，ZB的角平分线BE与AD交于点E,

/.ZABE=ZAEB=45°,

；.AB=AE=9,

直角三角形ABE中，BE=792+92=9V2，

又：ZBED的角平分线EF与DC交于点F,

/.ZBEG=ZDEF.

•；AD〃BC,

；.NG=NDEF,

.,-ZBEG=ZG,

；.BG=BE=9忘.

由NG=NDEF,ZEFD=ZGFC,可得△EFDsaGFC,

.CGCFCF1

''~DE~~DF~2CF~2'

设CG=x,DE=2x,则AD=9+2x=BC.

：BG=BC+CG,

96=9+2x+x,解得x=36-3,

；.BC=9+2(372-3)=672+3.

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故答案为6-5/2+3.

考点：矩形的性质；等腰三角形的判定；类似三角形的判定与性质.

三、计算题：

21.计算：712+1V3-3|-2sin60--(73)2+2016°.

【答案】1

【解析】

【详解】试题分析：先分别对根式、值、三角函数、乘方进行运算，再进行加减运算.

点睛：(1)410=1,存0；

(2)熟记角三角函数值.

22.解方程:3x?+2x+1=0.

【答案】原方程没有实数根.

【解析】

【详解】试题分析：利用公式法解方程即可.

试题解析：

•；a=3,b=2,c=l,

b2—4ac=4—4x3x1=—8<0.

原方程没有实数根.

四、解答题：

23.如图1和图2均是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求用实线画出顶点在格点上的

图形.

要求：

(1)在图形1中画出一个面积为2.5的等腰三角形ABC；

(2)在图2中画出一个直角三角形，使三边长均为不同的在理数.

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【答案】图形见解析

【解析】

【详解】试题分析：（1）要画出面积为2.5的等腰三角形，即要画出腰长为火的等腰直角三角

形，由网格图不难得出48=JL过3作且使即可确定点C,将力、B、C

三点连接；（2）画出边长分别为0、30、2的三角形即可.

试题解析：

（1）如图1所示，△XBC为所求三角形；

点睛：此类成绩充分利用网格点勾股定理求出对应边的长度是关键.

24.某班"2016年联欢会”中，有一个摸奖游戏：有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2

张是笑脸，2张是哭脸，现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同窗去翻纸牌.

（1）如今小芳和小霞分别有翻牌机会，若正面是笑脸，则小芳获奖；若正面是哭脸，则小霞获

奖，她们获奖的机会相反吗？判断并阐明理由.

（2）如果小芳、小明都有翻两张牌的机会.翻牌规则：小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明

同时翻开两张纸牌.他们翻开的两张纸牌中只需出现笑脸就获奖.请问他们获奖的机会相等吗？

判断并阐明理由.

【答案】（1）相反，理由见解析；（2）机会不相等，理由见解析

【解析】

【详解】试题分析：（1）由于有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张笑脸、2张哭脸,

翻睥正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖，所以她们获奖的概率都是工，获奖的机会相

2

反；（2）先列举出小芳和小明翻牌的所无情况，然后分别计算出她们获奖的概率，比较她们获

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奖的概率，若概率相等，那么她们的获奖机会相等，若概率不相等，那么她们获奖机会不相等.

试题解析：

（1）•••有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张笑脸、2张哭脸，翻牌正面是笑脸的就

获奖，正面是哭脸的不获奖，

她们获奖的概率都是,，

2

•••她们获奖机会相反；

（2）他们获奖机会不相等，理由如下:

小芳：

张

笑1笑2哭1哭2

第二张

笑1笑1,笑1笑2,笑1哭1,笑1哭2,笑1

笑2笑1,笑2笑2,笑2哭1,笑2哭2,笑2

哭1笑1,哭1笑2,哭1哭1,哭1哭2,哭1

哭2笑1,哭2笑2,哭2哭1,哭2哭2,哭2

:共有16种等可能的结果，翻开的两张纸牌中只需出现笑脸的有12种情况,

123

：.P（小芳获奖）=—=-；

164

小明:

张

笑1笑2哭1哭2

第二张

笑1笑2,笑1哭1,笑1哭2,笑1

笑2笑1,笑2哭1,笑2哭2,笑2

哭”笑1,哭1笑2,哭1哭2,哭1

哭2笑1,哭2笑2,哭2哭1,哭2

♦.•共有12种等可能的结果，翻开的两张纸牌中只需出现笑脸的有10种情况,

:.P（小明获奖）=—=|，

126

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-P（小芳获奖）+P（小明获奖），

他们获奖的机会不相等.

点睛：小芳先翻一张，放回后再翻一张，所以她次翻出的牌有4种可能，第二次翻出的牌仍是

4种可能；小明同时翻开两张纸牌，那么可以理解为先翻一张，再翻第二张，与小芳不同的是,

小明次翻牌有4种可能，第二次翻牌不可能翻到次翻开的那张，因此只要3种可能.

25.如图，一艘轮船以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°

的方向上,继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45。方向上，求轮船与灯

塔的最短距离.（到0.1,V3-1.73）

北

AB

【答案】轮船与灯塔的最短距离约为&2海里.

【解析】

【详解】试题分析：过点P作PC_LAB于C点，即PC的长为轮船与灯塔的最短距离，根据题

意可得AB=6海里，BC=PC,在R3PAC中，tan30°=.Ec”条,由此求得PC的长，即可

AD+BCOTrv

得轮船与灯塔的最短距离.

试题解析：

解：过点P作PCLAB于C点，即PC的长为轮船与灯塔的最短距离，根据题意，得

AB=18x契=6,ZPAB=90°-60°=30°,ZPBC=90°-45°=45°,ZPCB=90°,

PCPC

；.PC=BC,在Rt^PAC中，tan30°=

AB+BC6+PC

解得PC=3百+3々8.2（海里），轮船与灯塔的最短距离约为8.2海里.

26.如图，在△ZBC中，是8c边上的中线，E是4。的中点，过点力作8c的平行线交BE

的延伸线于点尸，连接CF,

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c

(1)求证：AF=DC；

(2)若/8_L/C,试判断四边形ZOCF的外形，并证明你的结论.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】(1)根据AAS证△4FE名△D8E,推出/尸=8。，即可得出答案.

(2)得出四边形/DC尸是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出8=/£>,根据菱

形的判定推出即可.

【详解】解：(1)证明：尸〃8C,

NAFE=NDBE.

是4。的中点，40是8c边上的中线，

：.AE=DE,BD=CD.

在△4EE■和中，

NAFE=NDBE,NFEA=NBED,AE=DE,

/./\AFE^/\DBE(AAS)

：.AF=BD.

：.AF=DC.

(2)四边形ZOC尸是菱形，证明如下：

'：AF//BC,AF=DC,

：.四边形ADCF是平行四边形.

\'AC±AB,4D是斜边BC1的中线，

：.AD=DC.

平行四边形ZOCF是菱形.

27.近年来，我国煤矿事故频频发生，其中危害的是瓦斯，其次要成分是CO.在矿难的调查中

发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L,此后浓度呈直线型添加，在第7小时达

到值46mg/L,发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降.如图所示，根据题中相关

信息回答下列成绩：

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(1)求爆炸前后空气中CO浓度y与工夫x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；

(2)当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少

要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？

(3)矿工只要在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿

工至少在爆炸后多少小时才能下井？

322

【答案】(1)y=——，自变量x的取值范围是x>7；(2)撤离的最小速度为1.5km/h；(3)

x

矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井.

【解析】

【详解】解：(1)由于爆炸前浓度呈直线型添加，

所以可设y与x的函数关系式为y=+6

由图象知〉=4/+6过点(0,4)与(7,46)

b=4k.=6

•解得■

+b=46

.'.y=6x+4，此时自变量x的取值范围是0<x<7.

(不取x=0不扣分，x=7可放在第二段函数中)

由于爆炸后浓度成反比例下降，

所以可设y与X的函数关系式为歹=勺.

X

由图象知N=4过点(7,46),

X

.•2=46.&=322,

7

；.'=——，此时自变量x的取值范围是x>7.

x

(2)当歹=34时,由y=6x+4得,6x+4=34,x="5".

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二撤离的最长工夫为7-5=2（小时）.

，撤离的最小速度为3+2="1.5（km/h）"

322

（3）当J=4时,由丁=——得，X=80.5,80.5-7=73.5（小时）.

X

矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井

（1）由于爆炸前浓度呈直线型添加，所以可设y与x的函数关系式为丁=占》+6

用待定系数法求得函数关系式，由图像得自变量x的取值范围；由于爆炸后浓度成反比例下降，

过点（7,46）即可求出函数关系式，由图像得自变量X的取值范围.

（2）将夕=34代入函数求得工夫，即可求得速度

（3）将V=4代入反比例函数求得X,再减7求得

28.如图，以AABC的BC边上一点O为圆心的圆，A,B两点，且与BC边交于点E,D为BE

的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F,AC=FC.

（1）求证：AC是。O的切线；

（2）已知圆的半径R=5,EF=3,求DF的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）V29

【解析】

【分析】（1）连结OA、OD,如图，根据垂径定理的推理，由D为BE的下半圆弧的中点得到

OD1BE,则ZD+ZDFO=90°,再由AC=FC得至ljZCAF=ZCFA,根据对顶角相等得

ZCFA=ZDFO,所以NCAF=NDFO,力口上NOAD=NODF,则NOAD+NCAF=90。，于是根据

切线的判定定理即可得到AC是。O的切线；

（2）由于圆的半径R=5,EF=3,则OF=2,然后在Rt^ODF中利用勾股定理计算DF的长.

【详解】解：（1）连结OA、0D,如图，

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VD为BE的下半圆弧的中点，

A0D1BE,

.*.ZD+ZDFO=90o,

VAC=FC,

/.ZCAF=ZCFA,

VZCFA=ZDFO,

.'.ZCAF=ZDFO,

而OA=OD,

.•.ZOAD=ZODF,

・•・ZOAD+ZCAF=90°,即ZOAC=90°,

AOA1AC,

JAC是。。的切线；

(2)・・,圆的半径R=5,EF=3,

AOF=2,

在RtZ\ODF中，VOD=5,OF=2,

2