2023年高三复习专项练习：第59练　空间直线、平面的平行

第59练空间直线、平面的平行

础对遮练

考点一直线与平面平行的判定与性质

1.已知平面a,直线〃?，"满足ntQa，“Ua,则"相〃是的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若mCa,nC.a,且相〃“，则由线面平行的判定定理知机〃a,但若mQa,nCa,且机〃a,

则zn与“有可能异面,

um//n"是um//an的充分不必要条件.

2.点E,F,G,”分别是空间四面体ABCD的边A8,BC,CD,D4的中点，则空间四面体

的六条棱中与平面EFG”平行的条数是（）

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析如图，由线面平行的判定定理可知8。〃平面EFGH,AC〃平面EFGH.

C

3.（2022・济南模拟）在如图所示的三棱柱43C—A山Q中，过人身的平面与平面ABC交于£>E,

则DE与AB的位置关系是（）

C,

A.异面

B.平行

C.相交

D.以上均有可能

答案B

解析在三棱柱ABC—4BiG中，AB〃AiS,

；ABU平面ABC,AB《平面ABC,

...Ai』〃平面ABC.

•.•过4B|的平面与平面ABC交于。E,

：.DE//A\B\,J.DE//AB.

4.（多选）下列说法中，正确的是（）

A.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交

B.平行于同一平面的两个不同平面平行

C.若直线/与平面a平行，则过平面a内一点和直线/平行的直线在平面a内

D.若直线/不平行于平面a,则在平面a内不存在与/平行的直线

答案ABC

解析如果已知直线与另一个平面不相交，则有两种情形：直线在平面内或与平面平行，不

管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交，出现矛盾，即A中说法正确；选项B是

两个平面平行的一种判定方法，即B中说法正确；由线面平行的性质定理知C中说法正确；

选项D中说法是错误的，事实上，直线/不平行于平面a,可能有/Ua,则a内有无数条直

线与/平行.

考点二平面与平面平行的判定与性质

5.在正方体ABCQ—AIBIGA中，M为棱AQi上的动点，0为底面ABCZ）的中心，E,F

分别是4S，G£>i的中点，下列平面中与0M扫过的平面平行的是（）

A.平面ABBAB.平面BCGBi

C.平面8CFED.平面QCCQi

答案C

解析取AB,OC的中点分别为自和Fi,扫过的平面即为平面AiEiFQi.如图，

AB

故平面41E/1Q1〃平面BCFE.

6.如图，在正方体ABC。-AiBiCiQ中，点E,F,G分别是梭AS，BC，BB|的中点，

给出下列推断：①FG〃平面A4iD|£>；②EF〃平面BCiDl;③FG〃平面BCM④平面EFG//

平面8G£>i；⑤平面EFG〃平面4GB.其中推断正确的序号是（）

仅

A.①③⑤B.①④C.②③⑤D.②④

答案A

解析对①，由正方体性质可知，平面A4OQ〃平面BBCC,又FGU平面BBCC,故FG//

平面①正确；

对②，因为直线EF与AG的延长线相交，故EF不平行于平面BG2,②错误；

对③，因为F,G分别为8Q和BBi的中点，所以FG〃BG,又因为FGQ平面8G。，BCi

U平面BGA,所以尸G〃平面BCQi,③正确；

对④，由②知直线EF与QG的延长线相交，故平面EFG不平行于平面BGA,④错误；

对⑤，由③知，FG〃平面A}C\B,同理可证EG〃平面AiCiB,又FGCEG=G,所以平面

EFG〃平面AiGB,⑤正确.

考点三平行关系的综合应用

7.（2022・连云港质检）在正方体A8CQ-ABiCQi中，从A,B,C,S四个点中任取两个点,

这两点连线平行于平面AC0的概率为（）

2„1〃1、5

AA-3B2C3D-6

答案B

解析从A,B,C,S四个点中任取两个点，则有AB,AC,AB\,BC,B&,CBi共6种取

法，

如图所示,

易知且48与平面4CQ相交，故A8与平面ACQ相交;

AC//A\C\,4GU平面4G。，4CC平面AiG。，故AC〃平面4G。；

AB\//DC\,QCC平面AiGO,ABiC平面ACi。，故A5〃平面AC。；

BC〃BiCi,且BCi与平面4G。相交，故BC与平面4CQ相交；

BBi〃CCi,且CG与平面AC。相交，故88与平面4G。相交；

CB\//DA\,D4iU平面4CQ,CBg平面AiG。，故C8i〃平面4CQ,

即两点连线平行于平面AQD的有3种，故这两点连线平行于平面AQO的概率为焉

8.若a,£是两个相交平面，点A不在a内，也不在夕内，则过点A且与a和都平行的直

线（）

A.只有1条B.只有2条

C.只有4条D.有无数条

答案A

解析设aCQ=/,4a,A初，.X双,贝U4,/确定一个平面外

在y内有且只有一条过A与/平行的直线，记作a,

由于a〃/,adct,cAfi,/Ua,/U.,由线面平行的判定定理得。〃％a〃夕，

由此证明了存在性；假设过A平行于a,£的直线还有一条，记为b,则aC6=A.

过b作平面M与a相交于《7,过〃作平面N与夕相交于直线〃，

（适当调整，可以使机，〃都不与/重合），

由线面平行的性质定理可得b〃〃?，b//n,由平行公理得，〃〃小

[神,〃U£,又="lUa,aC/i=l,

由线面平行的性质定理得胆〃/,从而b〃/,

又：“〃/,：.a//h,这与aA6=A矛盾，由此证明了唯一性.

故过点A且与a和4都平行的直线有且只有一条.

9.（2022•苏州质检）如图，在四棱柱ABC。一AIBIGDI中，四边形4BCO为平行四边形，E,

F分别在线段DB，叫上,且普斗G在CG上且平面AEF〃平面BDtG,则怒=-------.

答案I

解析•・•平面AEF〃平面BDiG,且平面AEFC1平面BB】DQ=EF,平面3Q】Gn平面BB\D\D

.DFDE1

=BD:.EF〃BD\,

]9^FD\~EB~2'

易得平面4DD]A]〃平面BCCB,

又8GU平面BCCIBI,.,.86〃平面4?。|4,

又平面4EF〃平面BDiG,8GU平面BD\G,

；.BG〃平面AEF,

:平面AEFH平面尸AF,

：.BG//AF,：.BG,AF可确定平面ABG尸，

又知平面A581Al〃平面CDD\C\,

平面48GFC平面ABB|4=AB,平面ABG/n平面CDDC=FG,

C.AB//FG,C.CD//FG.

•CG_DF

'''CC\~~DD\~y

10.(2022・温州质检)如图，在底面边长为8cm,高为6cm的正三棱柱ABC—4BCi中，若

D为棱45的中点，则过BC和D的截面面积为cm2.

答案24小

解析过点。作OE〃&G,交AG于点E,连接CE,DB,B\C\//BC,则IDE〃BC,即

E,B,C四点共面，四边形BCED即为过BC和点。的截面，

因为力为棱A|8i的中点，所以OE是△AIBIG的中位线，所以。E=T8Ci=4(cm),

又因为DE//BC,所以四边形BCED是梯形，过点D作DFLBC交BC于点F,则DF=

^62+42-(4-2)2=4V3(cm),所以截面8CE。的面积S=^X(4+8)X4小=24小(cm?).

能力提升练

11.(多选)(2022・南京质检)如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，下列四个命题中,

正确的是()

A.8M与EQ平行

B.CN与BE是异面直线

C.AF与平面BQM平行

D.平面CAN与平面BEM平行

答案CD

解析对于选项A,由展开图得到正方体的直观图，如图，BM与ED异面,故A错误;

对于选项B,C7V与BE平行，故B错误；

对于选项C,因为四边形AFMQ是平行四边形，所以A尸〃MD,又ARI平面MZ）U平

面BOA/,所以AF〃平面BOA/,故C正确；

对于选项D,显然AC〃EM,又ACC平面EMU平面8EA/,所以AC〃平面同

理4N〃平面BEM,又ACA4N=A,所以平面CAN〃平面BEM,故D正确.

12.（多选）已知平面a〃平面6P是a,夕外一点，过P点的两条直线AC,8。分别交a于

A,B,交夕于C,。，且以=6,AC=9,AB=8,则C£＞的长为（）

A.20B.16C.12D.4

答案AD

解析因为过P点的两条直线4C,BO确定的平面分别交a于A,B,交”于C,D,

且平面a〃平面夕，所以可得AB〃C£）,

分两种情况：

PAAR

当点P在两平行平面之外时，黑=备，则CD=20；

4PAR

当点P在两平行平面之间时，得PC=AC-AP=3,靠=凿，则CD=4.

13.（2022•上海市进才中学模拟）如图，在长方体ABCQ—AIBIGQI中，AD=1,DD\=2,AB

=5,E,F,G分别为A8,BC,GO的中点，点P在平面ABC。内，若直线OP〃平面

EFG,则线段OiP长度的最小值是.

答案手

解析如图，连接"A,D\C,AC,

因为E,F,G分别为48,BC,GA的中点，

所以AC〃EF,又因为ERI平面AC。，4CU平面AC。，所以EF〃平面AC£>i,

同理EG〃平面AC。，又因为EGCEF=E,所以平面EFG〃平面ACQj,

因为直线。iP〃平面EFG,所以点P在直线AC上，且当OPL4c时，线段GP的长度最

小，在△AC£)i中，ADI=BAC=2,CD尸巾,

所以cosZD