天津市滨海新区七所重点学校2023届高考仿真模拟数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠，长五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在细的一端截下一尺，重斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤2．设，则关于的方程所表示的曲线是（）A．长轴在轴上的椭圆 B．长轴在轴上的椭圆C．实轴在轴上的双曲线 D．实轴在轴上的双曲线3．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入、的值分别为、，则输出的值为（）A． B． C． D．4．在复平面内，复数（，）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（）A． B．4 C． D．165．若，则的虚部是A．3 B． C． D．6．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（）A．5 B．3 C． D．27．已知正四面体的棱长为，是该正四面体外接球球心，且，，则（）A． B．C． D．8．已知，则（）A． B． C． D．9．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．集合中含有的元素个数为（）A．4 B．6 C．8 D．1211．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（）A． B． C． D．12．已知函数满足，设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．14．如图，某市一学校位于该市火车站北偏东方向，且，已知是经过火车站的两条互相垂直的笔直公路，CE,DF及圆弧都是学校道路，其中，，以学校为圆心，半径为的四分之一圆弧分别与相切于点.当地政府欲投资开发区域发展经济，其中分别在公路上，且与圆弧相切，设，的面积为.（1）求关于的函数解析式；（2）当为何值时，面积为最小，政府投资最低？15．在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的取值范围是_____．16．命题“”的否定是______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.（Ⅰ）若，求曲线的方程；（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.18．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，，求的值．19．（12分）已知点到抛物线C：y1=1px准线的距离为1．（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB，分别交x轴于M，N两点，求的值．20．（12分）已知函数，且．（1）若，求的最小值，并求此时的值；（2）若，求证:．21．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，，，且的面积为.(1)求；(2)求的周长.22．（10分）设抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知以为直径的圆经过点.（1）求的值及该圆的方程；（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，则，由此利用等差数列性质求出结果．【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为，设首项，则，公差，.故选B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2、C【解析】

根据条件，方程．即，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型．【详解】解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0，

方程，即，表示实轴在y轴上的双曲线，

故选C．【点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为是关键．3、B【解析】

列出循环的每一步，由此可得出输出的值.【详解】由题意可得：输入，，，；第一次循环，，，，继续循环；第二次循环，，，，继续循环；第三次循环，，，，跳出循环；输出.故选：B.【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题.4、D【解析】

根据复数乘方公式：，直接求解即可.【详解】，.故选：D【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.5、B【解析】

因为，所以的虚部是.故选B．6、D【解析】

由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离.【详解】解：由抛物线方程可知，，即，.设则，即，所以.所以线段的中点到轴的距离为.故选:D.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和.7、A【解析】

如图设平面，球心在上，根据正四面体的性质可得，根据平面向量的加法的几何意义，重心的性质，结合已知求出的值.【详解】如图设平面，球心在上，由正四面体的性质可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中，，，，，，因为为重心，因此，则，因此，因此，则，故选A.【点睛】本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题.8、D【解析】

根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案.【详解】因为，所以，所以是减函数，又因为，所以，，所以，，所以A,B两项均错；又，所以，所以C错；对于D，，所以，故选D.【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.9、B【解析】

化简复数为的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.【详解】对应的点的坐标为在第二象限故选：B.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.10、B【解析】解：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B11、D【解析】

由试验结果知对0～1之间的均匀随机数，满足，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值．【详解】解：根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即，对应区域为边长为的正方形，其面积为，若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有，其面积；则有，解得故选：．【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题.线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.12、B【解析】

结合函数的对应性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若，则，即成立，若，则由，得，则“”是“”的必要不充分条件，故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的对应性是解决本题的关键，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0.08【解析】

先求解这组数据的平均数，然后利用方差的公式可得结果.【详解】首先求得，．故答案为：0.08.【点睛】本题主要考查数据的方差，明确方差的计算公式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.14、（1）；（2）.【解析】

（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，在中，设，又，故，，进而表示直线的方程，由直线与圆相切构建关系化简整理得，即可表示OA,OB，最后由三角形面积公式表示面积即可；（2）令，则，由辅助角公式和三角函数值域可求得t的取值范围，进而对原面积的函数用含t的表达式换元，再令进行换元，并构建新的函数，由二次函数性质即可求得最小值.【详解】解：（1）以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则，在中，设，又，故，.所以直线的方程为，即.因为直线与圆相切，所以.因为点在直线的上方，所以，所以式可化为，解得.所以，.所以面积为.（2）令，则，且，所以，.令，，所以在上单调递减.所以，当，即时，取得最大值，取最小值.答：当时，面积为最小，政府投资最低.【点睛】本题考查三角函数的实际应用，应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题.15、【解析】

计算出角的取值范围，结合正弦定理可求得的取值范围.【详解】，则，所以，，由正弦定理，.因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了正弦定理，正弦函数图象和性质，考查了转化思想，属于基础题．16、，【解析】

根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可.【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题，则该命题的否定是：，故答案为：，．【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）和.；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】

(Ⅰ)由，可得，解出即可；(Ⅱ)设点，设直线，与椭圆方程联立可得：，利用，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，且，设直线的方程为：，与椭圆方程联立可得：，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、基本不等式的性质，即可求解.【详解】(Ⅰ)由题意：，，解得，则曲线的方程为：和.(Ⅱ)证明：由题意曲线的渐近线为：，设直线，则联立，得，，解得：，又由数形结合知.设点，则，，，，，即点在直线上.(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，点，设直线的方程为：，联立，得：，，设，，，，面积，令，，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理论证能力与运算求解能力，属于难题.18、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由（为参数）直接消去参数，可得直线的普通方程，把两边同时乘以，结合，可得曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）把代入，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数的几何意义求解．【详解】解：（Ⅰ）由（为参数），消去参数，可得．∵，∴，即．∴曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ）把代入，得．设，两点对应的参数分别为，则，．不妨设，，∴．【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数的几何意义是解题的关键，是中档题．19、(Ⅰ)C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；（Ⅱ）1【解析】

（Ⅰ）根据抛物线定义求出p，即可求C的方程及焦点F的坐标；

（Ⅱ）设点A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(−1,−1)，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=k(x+1)−1(k≠0)，与抛物线联立可得ky1-4y+4k-8=0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解|MF|•|NF|的值．【详解】(Ⅰ)由已知得，所以p=1.所以抛物线C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；(II)设点A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(−1,−1)，由题意直线AB斜率存在且不为0.设直线AB的方程为y=k(x+1)−1(k≠0).由得，则,.因为点A,B在抛物线C上,所以,.因为PF⊥x轴，所以，所以|MF|⋅|NF|的值为1.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线中的定值问题，常用韦达定理设而不求来求解，本题解题关键是找出弦长与斜率之间的关系进行求解，属于中等题.20、（1）最小值为，此时；（2）见解析【解析】

（1）由已知得，法一:，，根据二次函数的最值可求得；