2023年高三复习专项练习：第61练　几何法求空间角

第61练几何法求空间角

础对遮练

考点一异面直线所成的角

1.（2022・长春质检）在长方体ABC。一A百GU中，AB=小,AD=\,AA尸啦，则异面直线

4。与4G所成角的余弦值为（）

A坐B坐C堂D*

答案D

解析连接AC（图略），:AA/CG,A4i=CG,.,.四边形AAiGC为平行四边形,

：.A\Cx//AC,则NOiAC即为异面直线Ad与4G所成的角或其补角，

2.己知正四面体48CQ,点M为棱AB上一个动点，点N为棱C。上靠近点C的三等分点,

记直线MN与BC所成角为仇则sin。的最小值为（）

A遮2「巫D典

a19D,1917

答案A

解析不妨设正四面体ABC。的棱长为3,则该四面体的高为黄，连接AMBN,BN=AN

=市,

要求直线MN与BC所成的最小角，即为直线8c与平面A8N所成的角,

记点。到平面A8N的距离为加

=

由等体积法可知Vc-ABNVA-BCN^

3遮

〃io只

所以直线BC与平面ABN所成角的正弦值为5=不一=彳得，

DCJ1y

所以sin。的最小值为

3.（2022・海口模拟）直四棱柱A8C£>-A|8iCQi的所有棱长均相等，ZADC=120°,M是BBi

上一动点，当4M+MC取得最小值时，直线4M与SC所成角的余弦值为（）

A粤B坐C.|D.嚅

答案A

解析如图，

设直四棱柱ABC。一AIBCQI的棱长为2,

当AiM+MC取得最小值时，M为的中点，

连接A。，则4£>〃BC,则ND4iM为直线AiM与8C所成角（或其补角），

此时4。=2/，A|M=小，

VZADC=120°,...△ABQ为等边三角形，得BQ=2,

.'.DM=y[5,则为等腰三角形，可得COS/D4IM=^=%2

考点二直线与平面所成的角

4.如图，在正方体A8CQ—AIBIGOI中，E,F,G分别为棱AB，AD,CG的中点，则对

角线8Q与平面EFG所成角的大小为（）

7T7C7t71

A%B'CjD，2

答案D

解析如图，在正方体中取棱8Ci,A4i,C£）的中点M,N,P,

连接EM,MG,GP,PF,FN,NE,得到正六边形ENFPGM,

连接AC,BD,则ACJLB。，XDD]±AC,BDCDDi=D,

所以AC_L平面BOA,又8£>iU平面BCG,

故AC_L85,又AC〃PF,贝IJPF_LBOI,

同理可得NF_LBQi,且PFCNF=F,故8。」平面ENFPGM,

所以对角线BDi与平面E/G所成角的大小为参

5.已知E,F,。分别是正方形A8CO的边BC,AO及对角线AC的中点，将△ACQ沿着

AC进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线EF与平面80。所成角的余弦值的取值范

围为（）

答案A

解析如图所示，作E〃_L08交。8于H,设直线EF与平面B0力的交点为M,连接

由EHJLOB,EHL0D,且0DC0B=。，0D,08U平面B0。,

则£4_L平面BOD,

故/HME为直线EF与平面8。。所成的角，

因为M/7U平面BOO,则

所以cosNHME=^^,

HE

则sinZHA/E=T77^,

iVltL

令正方形A8CQ的边长为1,

贝ijAC=p,HE=goC=%C=*,

在翻折过程中，石厂与平面80。的交点M在平面A5C内的射影，由点0向点〃移动,

即EM越来越小，且EH<EM<OE=；,

HEHE

所以7^<sinZHME<r^,

U匕rlL.

y[2

即VvsinNHMEcl,

7TTT

所以1<NHME<2，

贝ij0<cosZWA/E<>

所以直线所与平面200所成角的余弦值的取值范围为0,

6.在直四棱柱4BC。-中，已知/ABC=120。，四边形A8CD是边长为2的菱形,

且A4i=4,E为线段BC上的动点，当BE=时，A|E与底面ABCD所成角为60。.

答案粤一

解析如图所示，连接4E,

因为A4i，底面A8C。，所以N4E4为AiE与底面A8CZ）所成的角，即NAiE4=60。,

4l4、行

又因为AAi=4,所以Af=tan60°,解得AEu、,

4\/3

设8E=m(0WmW2),在△ABE中，A5=2,ZABE=120°,4七=寸,

由余弦定理可得(¥^2=22+序—2X2X〃ZXCOS120°,

整理得3/w2+6/w—4=0,解得ni=2-"-1.

考点三二面角

7.如图，锐二面角。一/一£的棱上有A,B两点、,直线AC,8。分别在这个二面角的两个半

平面内，且都垂直于AA已知A5=4,AC=BD=6,CO=8,则锐二面角a—/一夕的平面角的

余弦值是（）

A.B.gC.^D.,

答案B

解析过点8作BE〃AC,KBE=AC,连接力E,CE,

因为AC_LA8,所以BE1AB,

因为BDLAB,BDCBE=B,所以NOBE是二面角a—/一4的平面角,

且A8_L平面DBE,所以AB_L£)E,所以CE±DE,

因为AB=4,8=8,

所以DE=\C»-CE2=病二不=4小，

八BP+BD-D序36+36—481

所以cos/OBE=2BEBD=2X6X6

8.已知四棱锥S—ABCO的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），

设SE与BC所成的角为仇，SE与平面A8CD所成的角为。2，二面角S—AB—C的平面角为

优，贝W)

A.0\WfhW(hB.仇〈仇忘仇

c.仇waw仇D.O2WO3W2

答案D

解析如图所示,

设。为正方形ABC。的中心，M为AB的中点,

过E作BC的平行线EF,交CD于F,

过。作CWJ_E/于N,连接S。，SN,SE,SM,OM,0E,

则SO_L底面ABCD,OMLAB,

因此NSEN=6»i,ZSEO=02,NSMOi,

“古△SNSN

从而tanG\-EN-OM，

tan（h=EO'tan仇=6而

因为SNeS。，EONOM,

所以tan6\^tanft>tan&,即仇》。3》仇.

9.（2022•长沙模拟）已知二面角a一/一尸的大小为140。,直线a,人分别在平面a,9内且都垂

直于棱/,则。与b所成角的大小为.

答案40°

10.（2022•厦门外国语学校质检）已知正方体ABC。-481Goi，则二面角A-8|O|一C的正弦

值为.

解析如图，连接A£）i,ABX,AC,Bi。，取81A的中点居连接AF,CF,

Dtr.

由于AOi,AB\,都是正方体ABCD-AiBiGA的面对角线，所以A£>I=A8I=BQI,

所以△ABQi是等边三角形，又F是的中点，

所以AFLBQi,同理CPLBOi,

所以NAFC是二面角A—B]D]—C的平面角，

不妨设正方体ABCD—的棱长为“，则易得AC=ga,AF=CF=^a.

同尸+C尸一AC21

在△△人；中，根据余弦定理得cosZAFC=­2AFCF—=5

又OvNAFCVi,

所以sinZAFC—yJ1—cos2ZAFC—^^,

即二面角A-Bid—C的正弦值为平.

—能力提升练

11.（多选）如图，在棱长为1的正方体ABC。-中，点P在线段AA上运动，则下列

命题正确的是（）

C,

1\""B~A

异面直线GP和CBi所成的角为定值

直线CP和平面ABC^所成的角为定值

三棱锥D-BPCi的体积为定值

直线CD和平面BPC\平行

答案ACD

解析对于A,因为在棱长为1的正方体ABC。一ABiGA中，点P在线段A£>i上运动，

则CBi，平面A8G9,因为CiPU平面ABGQi,所以CBJGP,

故这两条异面直线所成的角恒为定值90。，

故选项A正确；

对于B,令BG与BC的交点为。（图略），

ZCPO即为直线CP与平面ABGOi所成的角，

当点P移动时，NCP。是变化的，

故直线CP和平面ABGG所成的角不是定值，故选项B错误；

对于C,三棱锥D-BPCt的体积等于三棱锥P-DBC\的体积，

又△•DBG的面积为定值，因为PGA。，而A£>i〃平面8OG,

所以点4到平面。BG的距离即为点P到该平面的距离，

所以三棱锥D-BPCi的体积为定值，

故选项C正确；

对于D,直线CD〃平面ABC。1，则直线CD〃平面8PG,故选项D正确.

12.（多选）如图，在矩形ABCO中，AB=4,AD=2,尸为线段CD上一点，且满足。广=3尸C,

现将尸沿AF折起使得。折到。'，使得平面A8。’，平面ABC,则下列结论正确的是

（）

A.线段B。’上存在一点P（异于端点），使得直线A。’与CP垂直

B.线段BD'上存在一点P（异于端点），使得直线CP〃平面A。'F

C.直线0'F与平面48c所成角的正弦值为当

D.平面。'BC与平面A8C所成锐二面角的正切值为当

答案BCD

解析如图所示，过点O'作。'ELAB,垂足为E,

因为平面A8。'，平面ABC,则。'E_L平面ABC,

因为AF_L。'E,且EH。。'E=E,EH,D'EU平面£)'EH,

所以AF_L平面。'EH,又O'HU平面O'EH,

故AF_L。'H,

因为A£>=2,DF=3,则AF=qi5,

ADDF_6AD1_4FH—m--

则DH=AH=EH

AF~y[\3AF~y[i?>，-DH-^,

D'E=W〃2—罚=唔

AE^AD'2-D'E2=1,

8

8£=4—AE=],

连接EF,则NO'FE为直线D'F与平面ABC所成的角,

所以sinNO'FE—~,~~£二?乎,

DrV

故选项C正确；

因为BC_LA8,平面AB。'_L平面ABC,且平面AB。'C平面ABC=AB,8CU平面ABC,

故BCJ_平面ABO',又BD'U平面48。'，

所以BCLBD',

故NEBD'为平面力'8c与平面ABC所成锐二面角的平面角，

j'yIE

且tanNEB。'=~^=V-

故选项D正确；

当点P位于靠近O'的线段D'B的四等分点时，过点P作AB的平行线交。’A于点、R,

则PR〃CF,且PR=CF,

所以四边形PR尸C为平行四边形，

故CP〃尸R,又CPC平面A。'F,FRU平面A»F,

所以CP〃平面AD1F,

故选项B正确；

过点A作4Q_LB。'，垂足为Q,

因为8C_L平面AB。'，且BCU平面CB。'，

则平面BCD'J_平面AB。'，又平面BCD'n平面AB。'=BD',4QU平面AB。'，

所以4QJ_平面BCD',又CPU平面BCD',

故AQJ_CP,

假设CPJ_AO',因为A0AA。'=4,AQ,AD'U平面AB。'，

则CP_L平面AB。'，又BD'U平面A8。'，

所以，则点P与点B重合，

这与题意矛盾，

所以CP不可能与垂直，

故选项A错误.

13.(2022.杭州高级中学模拟)在三棱锥。一ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，DA

=DB=市,二面角。一4B-C为120。，则三棱锥。一ABC外接球的半径为.

答案手

解析如图，取AB的中点E,连接CE,DE,

又DA=DB,CA=CB,所以。E_L48,CELAB,

所以NCED为二面角£>-48—C的平面角，又二面角D—AB-C为120。,所以NCE£>=120。，

因为。A=OB=也，AB=2,所以AB2=A£>2+BO2,所以ADLDB,

所以△ABQ为直角三角形，过点E作平面A8。的垂线，

设△ABC的外心为Oi,过01作平面ABC的垂线，设两垂线交于O,则。为三棱锥。一ABC

外接球的球心，连接OC,

又NCE£)=120。，OELED,所以/OE