高中数学选择性必修二 4.3.2（第1课时）等比数列的前n项和教学设计

4.3.2（第1课时）等比数列的前n项和教学设计

课题等比数列的前n项和单兀第一单元学科数学年级高二

教材

分析

《等比数列前n项和》是2019人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是

数列这一章的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款

的有关计算等等，而且公式推导过程中蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想

方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

本节教材的编排与《等差数列前〃项和》类似，也利用等比数列的通项公式和性质导出

前〃项和公式，让学生经历公式的推导过程，体会化无限为有限，体验从特殊到一般的研究

方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。最后举例说明前八项

和公式在解决问题中的应用。

1数学抽象：等比数列的前n项和公式

教学

2逻辑推理：等比数列的前〃项和公式的推导

目标

3数学运算：等比数列的前〃项和公式的应用

与

核心4数学建模：等比数列的前〃项和公式

素养

5数据分析：从”等比数列的通项公式”到“等比数列的前n项和”再到例题，最后到课堂

练习，让学生体会数学知识的逻辑性和严密性

重点等比数列前n项和公式及其应用

难点等比数列前n项和公式的推导

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课

・4▲A

S

以国际象棋为背

景，提出等比数

情景引入

列求和问题，激

国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国发学生的学习兴

际象棋的发明者•，问他想要什么.发明者说：“请在趣、探究欲望。

棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里

发展学生数学抽

放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依

象、数学运算、数

次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放

学建模的核心素

的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的

养。

麦粒以实现上述要求国王觉得这个要求不高，就

欣然同意了.

已知一千颗麦粒的质量约为40g,据查，2016-

—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上

数据，判断国王是否能实现他的诺言.

讲授新课

让我们一起来分析一下.如果把各格所放的麦

粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，

它的首项是1,公比是2,求第1个格子到第64个

格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列

前64项的和.通过层层递进，

引导学生探究等

比数列的求和问

等比数列前n项和公式推导——题。发展学生逻

辑推理、数学抽

“错位相减法”

象、数学建模等

一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢？

核心素养，增强

学生的应用意

设等比数列｛%｝的首项为的,公比为q,则｛an｝

的前n项和是识。

“错位相减

法”是研究数

Sn=+…+Qn

列求和的一个

根据等比数列的通项公式，上式可写成

重要方法。

271-1

Sn=%+arq+axqH-----FajQ①

我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得

n

2卜aq.

qSn=+«1<7+…+%qnTTr

②

①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别

减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得

n

Sn-qSn=ar-axq,即

(l—q)Sn=%(l-qn).

因此，当q力1时，我们就得到了等比数列的前n

项和公式

当q=l时，等

s=^P(qwi)比数列的前n

nA*1(1)

项和治等于多

少？

因为册=1q"T所以，公式（1）还可以写成

Sn=a1-^qgw1)(2)

公式推导方法二

S"=%+。2+。3+…+a»

=%+q(%+a2+a3+■■■+册-1)

=«i+qSn-i=%+q(Sn-an)

=(1-q~)Sn=%-anq

(结论同上)

公式推导方法三

“方程”在代数

a

_Q/_+…+n课程里占有重要

Q1+--------%-1

由a2斯-1

_S"一出的地位，方程思

Sn

运用比例的性想是应用十分广

Q_。1一四过_q」)质推导泛的一种数学思

当q#1时，n

-1-«71-Q

想，利用方程思

当q=l时，S=na

n1想，在已知量和

未知量直接搭起

桥梁，使问题得

注：

到解决。

1.在运用等比数列的前n项和公式时，•定要注

意对公比q的讨论（q=1或q,l）.

2.当q,l时，若已知的及q,

则用公式&=韦"较好;

若已知a”则用公式&告学较好，

有了上述公式，就可以解决本小节开头提出的

问题了.9

由的=1,q=2,n=64,可得

1x(1-264)“

=21

Sn=­；二2一

264-1这个数很大,超过了1.84x1019.如

果一千颗麦粒的质量约为40g,那么以上这些麦粒

的总质量超过了7000亿吨，约是2016—2017年度

世界小麦产量的981倍.因此，国王根本不可能实

现他的诺言.

例7已知数列｛册｝是等比数列.

(1)若％=.求Sg;

(2)若的=27,,q<0,求S&;

(3)若a1=8,,Sn=ji,^<n.

解：(1)因为的=：,q=|,所以

S_品［1_(珀_255

品-J--

(2)由臼=27,刖=击，可得

27,I对于等比数列

即q8=(1)8相关量出,

an,q,7i,Sn

例题巩固

又由q<0,得t?=,

已知几个量就

所以可以确定其他

量

8

Qz27X[l-(-j)]_1640

8_1-(T_81,

(3)把%=8,Q=,Sn=Y代入

也产，得

11-q

8x[l-(4)n]31

竹一2

整理，得

解得n=5.

例8已知等比数列的首项为-1,前n项和为

sn.若要=m>求公比q.

解：若q=l,则

£12_1。的=2w卫，

S55al32

所以q。1.

当qRl时，由乎，得

(-1)(1-<710)1-q31

1-q(-1)(1-(/5)-32

整理，得

q31

i+q=32

即

q5__J_

q32

所以q—.

例9已知等比数列｛册｝的公比qH—1,前n项

和为S；j.证明S；,,S2n—Sn,S3n-52"成等比数列，

并求这个数列的公比.

证明：当q=1时，

S——TlQi,

S2rl-Sn=2na1—na1=nar,

S3n—S2fl=37iQ]—2?!。]—■71al，

所以Sn,S2n-Sn,$3^—S2n成等比数列，公比

为1.

当qH—1时,

S_Qi(l-qn)

n-1-q，

aI(l-q2“)的(1-4")

S2"Sn—-q…

a4(l-qn)

=1C=qSn

1-q

二(l-q3n)%(1-q2n)

3n2n-1-q1-Q

%q2n(i一砂)

-q(•^2ns)

1-qn

所以

S.n-Sj_$3」--S271_n

Sn^2n~^n

因为必为常数，所以s”，S2n-Sn,S3n—S2rl

成等比数列，公比为qn.

课堂练习

1判断下列计算是否正确

(1)1+2+22+23+…+2n=1"尸)

1-2

(2)1-2+4-8+16--+(-2尸=I"’")

⑶5+5+5+…+5=—(1n)=0

>------------------,i-i

n个

答：(|)错当要2

1—2

(2)错弋？)

(3)错5n

2在等比数列｛%J中：

(1)若%=1,a5=16,且q>0,求S7.

(2)若。3=|,53=，求心和公比q.

解：

(1)V｛an｝为等比数列且%=1,as=16,

44

a5=a1qq=16

•**Qi=2,qr=-2(舍去)

Si=a^~q7)==127.

1—q1—2

(2)①当q#l时，s丝1-冷=号

1—qZ

2

又。3=arq=|

ai(l+q+q2)=y

3

即/(l+q+q2)=，

解得q=-l(q=1舍去)

Qi=6

②当q=l时，S3=3al

・3

••«1=2

综上得

产1=6(a1=1

[一1或+2

[q=-y(q=i

3已知等比数列｛册｝满足％=J,且弩=；

2。2+。38

(1)求｛册｝的通项公式及前n项和Sn

(2)若bn=1------r------，求｛%n｝j的前.n项和n

log2anlog2an+1

分析(1)直接利用等比数列的性质求出数列的公

比，进一步求出通项公式和求和公式；

(2)利用(1)的结论，进一步求出数列的通项

公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和.

解：

(1)设数列｛册｝的公比为q,

由弩=；,可得q3=]

。2+。388

所以q=；,

所以即=或

所以又=寻=1—去

2

(2)由(1)可得

,=------1---=--------1-=-----1=

Iog2anlog2an+1(-n)(-n-l)n(n+l)

11

nn+1

则

〃=(i-3+mu)+…

\nn4-1/n+l

n

n+1

4已知首项为|的等比数列｛七｝的前n项和为Snme

N"),且一2s2,S3,4s4成等差数列.

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)证明：Sn+^<^(nGN*).

sn6

解：

(1)首项为|的等比数列｛册｝的前n项和为SnSe

N*),且一2s2,S3,4s4成等差数列

所以S3+2S2=4s4-S3,整理得2a4=-a3,

所以q=-21=-i

O32

所以斯二|x(-yT=(_iy，！/

(2)由(1)得

31n

2口一(一力］］