高中数学选择性必修二 变化率问题教学设计

变化率问题教学设计

课题变化率问题单元第二单元学科数学年级高二

教材

分析《变化率问题》是2019人教A版数学选择性必修第二册第五章的内容。本节课的主要

内容是平均速度、瞬时速度的概念，曲线割线与切线斜率的概念及求法。

平均变化率是导数概念建立的核心，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，教材通

过分析学生熟悉的“高台跳水”的生活实例、曲线上某点处切线斜率的问题，给出平均变化

率和瞬时变化率的概念。平均变化率是研究瞬时变化率及导数概念的基础，在整个导数学习

中具有重要的地位。在概念的形成过程中，进一步渗透从特殊到一般，数形结合的思想。

1数学抽象：平均变化率

2逻辑推理：平均变化率与瞬时变化率的关系

教学

3数学运算：瞬时速度、切线斜率的求解

目标

4数学建模：平均变化率

与

核心5直观想象：曲线割线与切线的定义

素养6数据分析：通过“平均速度、瞬时速度的求法”，“曲线割线、切线的斜率的求解”的过程，

提升学生获取有价值信息的意识和能力，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据

认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。

重点平均速度、瞬时速度的概念及求法，曲线割线与切线的定义及斜率的求法

难点平均变化率，曲线割线与切线斜率的概念及两者之间的关系

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

导入新课通过对函数学

在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，习的回顾，让学

并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、复习引入生了解事物变化

指数函数、对数函数增长速度的差异，知道”对数的快慢，感受不

增长”是越来越慢，“指数爆炸”比“直线上升”快同函数变化快慢

得多.进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快的问题，引出课

慢呢？下面我们就来研究这个问题.题。

讲授新课

变化率问题

问题1高台跳水运动员的速度

探究

从学生熟悉的

“高台跳水”的

生活实例入手，

♦a-j分析、归纳、总

结，抽象出平均

速度与瞬时速度

的概念。发展学

生数学抽象、数

学运算、数学建

在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程

模等核心素养。

中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后

的时间t(单位：s)存在函数关系

/i(t)=-4.9户+4.8t+11.

如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动

的快慢程度呢？

显然，运动员从起跳到入水的过程中，在上升

阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快.

把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段

时间内的平均速度万近似地描述他的运动状态.

例如，在0<tW0.5这段时间里，

-似0.5)一%(0)

V=0.5-0=2.35(m/s)

在1StS2这段时间里，

v=-----------=—9.9(m/s)

2—1

一般地，在tiStS12这段时间里，

h(t2)-岫)

v=——=-4.9Q1+t2)+4.8

C2-0

思考

计算运动员在0<t<笑这段时间里的平均速

49

度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员

的运动状态有什么问题吗？

提示：

_九(瑞)-九(。)

v=----------=O(m/s)

__n

49°

所以，在0<t<襄时间里，平均速度为0.

49

显然，这段时间内，运动员并不处于静止状态.

因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间

段里的运动状态.

为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬

时速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为

瞬时速度.

探究

瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用

这种关系求运动员在片1S时的瞬时速度吗？

设运动员在"时刻附近某一时间段内的平均速

度是伉如果不断缩短这一时间段的长度，那么万将

越来越趋近于运动员在to时刻的瞬时速度.

为了求运动员在/=1时的瞬时速度，我们在

/=1之后或之前，任意取一个时刻1+At,At是时间

改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.

当At>0时，1+At在1之后；当△£<()时，

1+At在1之前.

当At>0时，把运动员在时间段［1,1+At］内

近似看成做匀速直线运动，计算时间段口，1+At］

内的平均速度伉用平均速度至近似表示运动员在

t=l时的瞬时速度.当At<0时，在时间段［1+At,1］

内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度，我们

不断缩短时间间隔，得到如下表格(表5.1-1)

S3.1-1

当&VO时,在时河段由1,13内当z>oty.诺班段口，i+N］内

-A⑴-MI+&)-*1+3—A⑴

w"1一(】十&〉呻(1+Ar)-1

a4-9(Ar)'4-SAf_T.9W51

N

4.9/U-5・T.94M-5

宣时.在用向段U+&.1］内当仅>0时..:在时间段［1.1+Ar］内

-0.01-4.9510.01-S.049

-0.001-4.9»S10.001-5.0049

-0.0001-4.999SI0.000)-5.00049

—0.000V1-4.SW»51ULUUUUI—S.UUU

-0.000001T.99999510.000001-5.000C049

••••••

观察

给出At更多的值，利用计算机工具计算对应的

平均速度方的值.当At无限趋近于0时，平均速度万

有什么变化趋势？

我们发现，当At无限趋近于0,即无论t从小

于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，

平均速度下都无限趋近于-5.

事实上，由

-^(1+At)-/i(l)-

v――二--——--=—4.9At—5c

(1+At)-1

可以发现，当At无限趋近于0时，-4.9At也无

通过物体运动问

限趋近于0,所以万无限趋近于-5.这与前面得到的结

题，抽象出函数

论一致.

平均变化率、瞬

把-5叫做“当At无限趋近于0时，v=

时速度与瞬时变

⑴的极限,,记为

At化率的概念。发

/1(1+&)一伏1)「展学生数学抽

lim----------------=—5

△t->oAt

象、逻辑推理、数

从物理的角度看，

学运算、数学建

当|At|T0时，平均速度方就无限趋近于t=l

模等核心素养。

时的瞬时速度.因此，运动员在t=l时的瞬时速度

v(1)=-5m/s.

思考

(1)求运动员在t=2s时的瞬时速度；

(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某

一时刻曲的瞬时速度？

提示：

(1)

..八(2+At)-仪2)

hm----------------=-14.8m/s

△t-»oAt

(2)

做5+At)-Wo),0。*,/a、/

JimAt=(9.8t0+4.8)m/s

问题2抛物线的切线的斜率

如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么

这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线C,如何定

义它的切线呢？下面我们以抛物线/(x)=%2为例

进行研究.

探究

如何定义抛物线/(x)=/在点Po(l,1)处的切

线？

与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线

f(x)=/在点Po。1)处的切线,通常在点Po(l,

1)的附近任取一点P(x,%2),考察抛物线/(X)=X2

的割线的变化情况.

观察

如图5.1-1,当点Po(x，.)沿着抛物线/(%)=

%2趋近于点Po(l,1)时，割线PoP有什么变化趋

势？

当点P无限趋近于点Po时，割线P°P无限趋近

于一个确定的位置，这个确定位置的直线PoT称为

抛物线/(%)=/在点凡(1,1)处的切线.

探究

通过实例，让学

我们知道，斜率是确定直线的一个要素.如何求

生经历由割线的

抛物线/(x)=/在点Po。1)处的切线P°r的斜

斜率到切线的斜

率心呢？

率的过程，发展

学生数学抽象、

从上述切线的定义可见，抛物线/(x)=M在

逻辑推理、数学

P0(l,1)处的切线PoT的斜率与割线P°P的斜率有内

运算、数学建模

在联系.

等核心素养。

记Ax=x-l,则点P的坐标是(1+Ax,(1+

Ax)2).于是,割线P()P的斜率

/(X)-/⑴_(1+')2-1

=Ax+2

%—1(1+Ax)—1

我们可以用割线P°P的斜率k近似地表示切线

利用信息技术

与7的斜率腌，并且可以通过不断缩短横坐标间隔

工具，演示图

|Ax|来提高近似表示的精确度，得到如下表格(5.1-

5.1-1中"P

2).

的动态变化趋

表5.1-2

Ar>0势

4-Ar+2dz4-Ar+2

-0.011.990.012.01

-0.0011.9990.0012.001

-0.00011.99990.00012.0001

-0.000011.999990.000012.00001

-aooooot1.9999«0.0000012.000001

观察

利用计算工具计算更多割线P°P的斜率％的值，

当Ax无限趋近于0时，割线P°P的斜率k有什么变

化趋势？

我们发现，当Ax无限趋近于0,即无论x从小

于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，

割线P°P的斜率k都无限趋近于2.

事实上，由

/'(1+Ax)-/⑴

k=-----------------------=△%+2

Ax

可以直接看出，当Ax无限趋近于0时，反+2

Ax可以是正

无限趋近于2.我们把2叫做“当无限趋近于0

值，也可以是

时，卜=的极限，，，记为

负值，但不为

0.

hm-----------------------=2

Ax->0△%

从几何图形上看，当横坐标间隔|Ax|无限变小

时，点P无限趋近于点P。，于是割线P°P无限趋近

于点处的切线Po「这时，割线的斜率左无限

趋近于点儿处的切线的斜率标.因此，切线

的斜率e=2.

思考

观察问题1中的函数/i(t)=-4.9t2+4.8C+

11的图形(图5.1-2),平均速度

_h(1+At)一九(1)

V----------------

(1+At)-1

的几何意义是什么？瞬时速度v(l)呢？

提示:

平均速度

_/i(l+At)—/i(l)

v=---------------

(1+At)-1

的几何意义是：表示过曲线/i(t)=-4.9t2+

4.8t+ll上两点(Lh⑴点((l+At),/i(l+At))

连线的斜率.

瞬时速度v(l)的几何意义是:

h(l+At)-八⑴

。⑴==-5

妈At

表示运动员在1s时速度向下，为5m/s.

课堂练习

1平均变化率也可以用式子普表示，其中

的意义是什么？，有什么几何意义？

△x

解：

Ax=x2一是相对于%］的一个增量，且Ax

值可正可负，但不能为零.

Ay=/(x2)-/(xi)

/屋厂y=/(x)

/(X.)

MF

O\X|工2X

观察图象，可以看出，，表示曲线尸/(X)上

两点Q1，/(/))、(x2J(x2))连线的斜率

2已知函数/(%)=3%2+5,求/(x)

(1)从0.1到0.2的平均变化率；

(2)在区间因),q+△%］上的平均变化率.

解：

(1)

△y=f(0.2)-/(0.1)=3x0.04+5-3x

0.01-5=0.09

△%=0.2-0.1=0.1

/.a=吧=0.9

Ax0.1

(2)因为函数/'(x)=3M+5

所以函数f(x)在区间［xo/o+Ax］上的平均

变化率为：

Ay_f(Xo+Ax)-f(X0)_3(XO+AX)2+5-(3XO2+5)_

△%AxAx

6x0+3A%

3某河流在一段时间xmin内流过的水量为ym3,

y是x的函数，y-/(x)-Mx.

问：当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是

多少？它代表什么实际意义？

解：

当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是

f(8)-f⑴=__1(m3/min)

8-177'-7

它表示时间从Imin增加到8min的过程中，每

增加Imin,水流量平均增加三63.

4求函数y=/在1=1、2、3附近的平均变化率，

判断哪一点附近平均变化率最大？

解：

函数y=/在x=l附近的平均变化率为

/(1+3-/■⑴(1+Ax)-1

=-----------------------=------------------=2+Ax

△xAx

函数y=/在x=2附近的平均变化率为

,/(2+Ax)-/(2)(2+Ax)-4,一

«=-----------------------=------------------=4+A%

2AxAx

函数y=/在8=3附近的平均变化率为