河北省滦南县2022年高考数学必刷试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数

可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不

超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a、b,则|。-q<3的概率是（）

2.函数=5%+6的定义域为（）

A.{x|x42或％之3}B.或-2}

C.{x|24x〈3}D.1x|-3<x<-2|

3.集合A={x|x-2<0},8=N,则AD8=（）

A.{1}B.{1,2}C.{0,1}D.{0,1,2）

4.正项等比数列{《,}中的4、%39是函数/（x）=gd-4d+6x-3的极值点，则log击4020=（）

A.-1B.1C.72D.2

5.设复数二满足z—iz=2+i（i为虚数单位），贝”在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.若P是F的充分不必要条件，则是4的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.若函数/（x）=3cosx+4sinx在x=9时取得最小值，贝!）以尤。=（）

8.在三棱锥P—ABC中，A5=BC=5,AC=6,尸在底面A5C内的射影。位于直线AC上，且AD=2CZ）,PD=4.

设三棱锥P-ABC的每个顶点都在球Q的球面上，则球Q的半径为（）

.V689„7689「5726n5后

A.--------B.--------C.--------D.--------

8686

9.已知在AABC中，角A3,C的对边分别为”,4c,若函数/（幻=；1?+；陵2+；（/十。2一就卜存在极值，则

角B的取值范围是（）

10.已知复数z=f°+5i,则|z|=()

2-i

A.V5B.5&C.3亚D.2y[5

3—x

11.已知集合4=(*€2|-->0},B={yeN\y=x-l,xGA},则AUB=()

x+2

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{x-lSr<2}

12.若复数加(〃?-2)+(加2—3m+2)i是纯虚数，则实数〃?的值为()

A.0或2B.2C.0D.1或2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(x)=Asin(s+。)[A>0,cy>0,|^|<||的部分图象如图所示，则/(0)的值为.

15.设awR,若函数y=e'+ax,XG/?有大于零的极值点，则实数”的取值范围是

16.2x-展开式的第5项的系数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为。，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前

每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立.若

每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每&个(4«5)一组进行分组检验，如

果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件

产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1+Z次.设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验

次数为X.

(1)求X的分布列及其期望；

(2)(i)试说明，当P越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；

(ii)当P=0」时，求使该方案最合理时Z的值及1000件该产品的平均检验次数.

18.（12分）如图，在四棱锥P—ABC。中，Q4,平面ABC。，ADLAB,AB//CD,AB=AD=AP=-CD=2,

2

E为PC的中点.

(1)求证：BE1平面PCD；

(2)求二面角A—PB—C的余弦值.

19.(12分)已知向量万=(cosx,-l),5=(Gsinx,—g),函数/(x)=("+B)•万一2.

(1)求函数/(%)的最小正周期及单调递增区间；

(2)在AABC中，三内角A8,C的对边分别为"c,已知函数/(x)的图像经过点,b,a,c成等差数列，

且福•蔗=9,求a的值.

20.(12分)如图，四棱锥尸―ABCZ)中，四边形ABC。是矩形，AB=6AD=2,△%£)为正三角形，且平

面B4D_L平面A3CD,E、F分别为PC、PB的中点.

D

(1)证明：EF//平面PAD；

(2)求几何体ABCDEF的体积.

21.(12分)如图，四棱锥P-ABCZ)中，底面ABC。，ABVAD,点£在线段A£)上，且CE//AB.

(1)求证：CEL平面PAD；

(2)若Q4=AB=1,AD=3,CD=&，ZCDA=45°,求二面角P—CE-B的正弦值.

22.(10分)在四边形ABCP中，AB=BC=®/P=],PA=PC=2；如图，将A/MC沿AC边折起，连结尸8,

使PB=PA,求证：

(1)平面ABC_L平面PAC；

(2)若尸为棱AB上一点，且AP与平面PCF所成角的正弦值为中，求二面角尸-PC-4的大小.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

先列举出不超过15的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数

满足4<3”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

不超过15的素数有：2、3、5、7、H、13,

在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数,所有的基本事件有：（2,3）、（2,5）、（2,7）、/（%,）-/（x2）、（2,13）、

（3,5）、（3,7）、（3,11）、（3,13）、（5,7）、（5,11）、（5,13）、（7,11）、（7,13）、（11,13）,共15种情况，

其中，事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数4、b,且k-@<3”包含的基本事件有：（2,3）、（3,5）、

（5,7）、（11,13）,共4种情况，

4

因此，所求事件的概率为尸=石.

故选：B.

【点睛】

本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.

2.A

【解析】

根据偶次根式被开方数非负可得出关于x的不等式，即可解得函数y=f（x）的定义域.

【详解】

由题意可得%2一5%+620,解得x42或x23.

因此，函数y=/（x）的定义域为3%<2或％»3}.

故选：A.

【点睛】

本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.

3.D

【解析】

利用交集的定义直接计算即可.

【详解】

A={x\x<2},故4口3={0,1,2},

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.

4.B

【解析】

根据可导函数在极值点处的导数值为0,得出44039=6,再由等比数列的性质可得.

【详解】

解：依题意为、为039是函数/(x)=gd-4x2+6x-3的极值点，也就是r(x)=d-8x+6=0的两个根

：・4々4039=6

又{a,,}是正项等比数列，所以外必二正/039=屈

•••logG4020=log«#=L

故选：B

【点睛】

本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.

5.A

【解析】

由复数的除法运算可整理得到Z,由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.

【详解】

213

Z=--+-

由z—iz=2+i得:122

・•.Z对应的点的坐标为(,1),位于第一象限.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.

6.B

【解析】

试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可.

由P是F的充分不必要条件知“若P则F”为真，“若F则P”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q则力”

为真，“若力则q”为假，故选B.

考点：逻辑命题

7.D

【解析】

利用辅助角公式化简/(x)的解析式，再根据正弦函数的最值，求得/*)在x=6•函数取得最小值时COS。的值.

【详解】

(3434

解：/(%)=3cosx+4sinx=5l-cosx+—sinxI=5sin(x+a),其中，sina=]cosa--

55

故当6+a=2痴(AeZ),即0=-a(keZ)时，函数取最小值5,

JIJI3

所以cos0=cos(2Z乃-----a)=cos(----a)=-sina=--,

225

故选：D

【点睛】

本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题.

8.A

【解析】

设AC的中点为O先求出AABC外接圆的半径，设QM=a,利用平面ABC,得QM〃PD,在AM3Q及

△DMQ中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可

【详解】

设AC的中点为O,因为AB=BC,所以AABC外接圆的圆心M在80上.设此圆的半径为r.

25

因为8。=4,所以(4一ry+32=/，解得r=

O

所以DM=J『+(4_，)2=如3

因为0。=。。-8=3-2=1,

设QM=a,易知平面ABC,则QM〃/7).

因为QP=QB,所以J(PO—a.+DM?=+户,

即(4-4)2+112=/+竽，解得。=1.所以球。的半径R===

64648

故选：A

/•

【点睛】

本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题

9.C

【解析】

求出导函数/'(x),由/'(幻=0有不等的两实根，即/>0可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结

论.

【详解】

,.,/(x)=-x3+—bx2+—(a2+c2-ac}xf\x)=x2

324V7

若/⑴存在极值，则。2—4x；x(/+c2一所)>0,.•./+/—〃<如

22121

又cosB=-+(--—，:.cos8<一.又：6e(0,兀)，.•.三<6<兀.

2ac23

故选：C.

【点睛】

本题考查导数与极值，考查余弦定理.掌握极值存在的条件是解题关键.

10.B

【解析】

利用复数除法、加法运算，化简求得二，再求得回

【详解】

z=^+5i=^~^-+5i=-l+7i,故|Z|=J(_1)2+72=5VL

2—i5

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.

11.A

【解析】

解出集合A和B即可求得两个集合的并集.

【详解】

3—x

•.•集合A={xwZ|------>0}={xGZ|-2<x<3}={-1,0,1,2,3},

x+2

5={yGN[y=x-1,xGA}={-2,-1,0,1,2),

.".AUB={-2,-1,0,1,2,3).

故选：A.

【点睛】

此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素.

12.C

【解析】

试题分析：因为复数，”(，〃—2)+(m2-3，〃+2»是纯虚数，所以〃2(加-2)=0且根2一3%+2工0,因此m=0.注意不

要忽视虚部不为零这一隐含条件.

考点：纯虚数

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一百

【解析】

5%

由图可得/(X)的周期、振幅，即可得A,⑺，再将(五,2)代入可解得。，进一步求得解析式及/(0).

【详解】

由图可得A=2,=与一(一1)=孚，所以7=乃=也，即勿=2,

41234co

X/(—)=2,即2sin(2x=+0)=2,^-+(p=-+2k7r,k&Z,

又故9=一,所以/(x)=2sin(2x—3),/(0)=2sin(—g)=-6.

/JOJ

故答案为：-后

【点睛】

本题考查由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.

-

【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出2得答案.

【详解】

■.■(l-2i)z=-l(2+i)=-l-|i,.二一：卜―3(1+21)_%

22l-2i(l-2i)(l+2i)2

1(1A

则Z=；i,，z的共朝复数在复平面内对应点的坐标为0,不,

故答案为.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题.

15.a<-\

【解析】

先求导数，求解导数为零的根，结合根的分布求解.

【详解】

因为y=e*+or,所以y'=e*+a,令，=。得“=-<'，

因为函数/=6'+以有大于()的极值点，所以/>1，即a=_e'<T.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，极值点为导数的变号零点，侧重考查转化化归思想.

16.70

【解析】

根据二项式定理的通项公式J=C：(2力…,可得结果.

【详解】

4

由题可知：第5项为7；=C；(2x)

(\、4

故第5项的的系数为c：---24=70

I2)

故答案为：70.

【点睛】

本题考查的是二项式定理，属基础题。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析，1一(1一，)"+，(2)(i)见解析(ii)%=4时平均检验次数最少，约为594次.

K.

【解析】

(1)由题意可得=X的可能取值为!和甲，分别求出其概率即可求出分布列，进而可求出

'kJKK

期望.

⑵⑴由⑴记〃p)=l—(1-根据函数的单调性即可证出；(ii)记g(Z)=l—(l-p)*+；=l—0.9*+：,

K/sK

当g(左)<1且取最小值时，该方案最合理，对Z进行赋值即可求解.

【详解】

(1)p[x=：]=(i—py由题，x的可能取值为，和星

kkJkk

px=一1=1—(1—〃)*,故X的分布列为

1l+k

X

Ik

P(l-p)”

E(x)=：・(i_py+—1—]=1-(1-+：

(2)(“由⑴记F(p)=l_(l_p)"+；,因为左>0,

所以/(p)在〃G(0,l)上单调递增，

故〃越小，/(〃)越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理

(ii)记=-”)&+，=1_。-9"+，

kk

当g(攵)<1且取最小值时，该方案最合理,

因为g(l)=l.l,g(2)=0.69,g(3)®0.604,^(4)«0.594,^(5)«0.61

所以攵=4时平均检验次数最少，约为10()0x0.594=594次.

【点睛】

本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望，考查了分析问题、解决问题的能力，属于中档题.

18.(1)见解析；(2)-立

3

【解析】

(1)取的中点F，连接AF,EF，根据中位线的方法证明四边形4组「是平行四边形.再证明AF，与CD，Ab

从而证明AF，平面PCO,从而得到BE1平面PCO即可.

(2)以AD,AB,AP所在的直线为x，Xz轴建立空间直角坐标系，再求得平面CPB的法向量与平面APB的法向量进而

求得二面角A—P3—C的余弦值即可.

【详解】

(1)证明：如图，取PO的中点厂,连接

又E为PC的中点，则E尸是APCD的中位线.所以砂//CD且EF=gCQ.

又AB//CD且A8='8,所以所//A6且£尸=A3.所以四边形是平行四边形.

2

所以BE//AF.因为AD=AP,尸为尸。的中点斯以AFJ_PD.

因为A。，AB,AB//CD,所以45_L8.因为_L平面ABC。,所以E4_LCO.

又ADcQ4=A,所以CD上平面P4Z).所以C£>J_AF.

又PDcCD=D，所以AF，平面PCD.又BE//AF斯以BE1平面PCD.

(2)易知AD,AB,AP两两互相垂直，所以分别以AD,AB,AP所在的直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标

系：

因为AB=A。=AP='CD=2，所以点A(0,0,0),8((),2,0),P((),0,2),C(2,4,0).

2

则PB=(0,2,-2),AP=(0,0,2),BC=(2,2,0).设平面CPB的法向量为〃=(x,y,z),

.卜•PB=(x,y,z>(0,2,-2)=2y-2z=0[z=y,

rt~|</s.<

fi-BC=(x,y,z)-(2,2,0)=2x+2j=0'[工=一>’

令V=1，得平面CPB的一个法向量为n=(-1,1,1)；显然平面APB的一个法向量为m=(1,0,0)；

设二面角A—m一。的大小为仇则cos。=?3=(1。。”』」)=一走.

\m\\n\1xV33

故二面角A-PB-C的余弦值是-".

3

【点睛】

本题主要考查了线面垂直的证明以及建立空间直角坐标系求解二面角的问题，需要用到线线垂直与线面垂直的转换以

及法向量的求法等.属于中档题.

冗兀

19.(1)万，k7r--,k7r+—(々eZ)(2)a=3四

【解析】

(1)利用向量的数量积和二倍角公式化简/(x)得〃x)=sin(2x+V),故可求其周期与单调性；

(2)根据图像过得到/(A)=g,故可求得A的大小，再根据数量积得到。c的乘积，最后结合余弦定理

和匕+c=2a构建关于“的方程即可.

【详解】

(1)/(x)=(a+B)-a-2=|4+a-5-2=；cos2x+等sin2x=sin(2x+^),

最小正周期：T=—=7T9

由2k兀-4<2x+—<2ATT+%,(ZeZ)^Zr7C--<x<Zr7i+—(A;GZ),

26236

jr■jr

所以/(%)的单调递增区间为k兀-3,k兀+1/eZ)；

(2)由/(A)=sin(2A+g]=L可得：2A+壬=^+2ATZ"或包+2%乃(AeZ),

\6J2666

TT

所以A=—.

3

又因为。,a,c成等差数列，所以2a=b+c

而AB-AC=bccosA=—hc=9,.\he=\S

29

,cosA=L色或士丝=3>/2・

22bc36

2。.⑴见解析；⑵I

【解析】

(1)由题可知，根据三角形的中位线的性质，得出EF//BC,根据矩形的性质得出AO//8C,所以EF//AD,再

利用线面平行的判定定理即可证出EF//平面PAD；

(2)由于平面B4D_L平面ABC。，根据面面垂直的性质，得出PO_L平面A3CD,从而得出E到平面ABC。的距

离为叶,结合棱锥的体积公式，即可求得结果.

2

【详解】

解：(1),：E,尸分别为PC,依的中点，

:.EF//BC,

:四边形ABC。是矩形，AD//8C,二£F//AT),

•••ADu平面B4D，EFz平面尸A。，

:.£F//平面PAD.

(2)取AD,8c的中点。，M,连接P。，OE,OM,ME,则POLA。,

由于ABE-OWE为三棱柱，E—OMCZ)为四棱锥，

V平面PAD，平面ABCD,:.P01平面ABCD,

由已知可求得「0=百，

E到平面ABCD的距离为h=-PO=^，

22

因为四边形ABCD是矩形，AB=6AD=2,

S四边形ABMO=S四边形OMC0=3又6x2=6，

设几何体ABCDEF的体积为V,

则V=V-：棱柱ABF-OME+棱锥E-OMCD>

,V=5S四边形A8W0,4+3S四边形OMCD.h，

【点睛】

本题考查线面平行的判定、面面垂直的性质和棱锥的体积公式，考查逻辑推理和计算能力.

21.(1)证明见解析(2)正

5

【解析】

(1)要证明C£_L平面PAQ,只需证明CELP4,CE1AD,即可求得答案;

(2)先根据已知证明四边形ABCE为矩形，以A为原点，AB为x轴，AD为了轴，AP为工轴，建立坐标系A-孙z,

求得平面PEC的法向量为平面BEC的法向量而，设二面角P-CE-B的平面角为。，cos^=|cos<n,AP)|,

即可求得答案.

【详解】

(1)B4_L平面ABCD,CEu平面A3CD,

•••PALCE.

vABA.AD,CE//AB,

CE1AD.

又：P4cAD=A,

。七，平面24。.

(2)由(1)可知CE_LAD.

在RtAECD中,DE=CDcos45°=1>

CE=CDsin450=l.

•••AE=AD-ED=2.

又.A6=CE=1,AB/ICE,

，四边形43CE为矩形.

以A为原点，AB为x轴，AO为,轴，AP为二轴，建立坐标系A一型，

如图：

则：A(0,0,0),C(l,2,0),£(0,2,0),P(0,(),l),

•PC=(1,2,-1),而=(0,2,-1)

设平面PEC的法向量为3=(X,第2),

n-PC-0

n-PE=Q

x+2y—z—0

2y—z-

令y=i,则z=2,x=0

=(0,1,2)

由题PA_L平面ABCD,即平面BEC的法向量为AP=(0,0,1)

由二面角P-CE-B的平面角为锐角,

设二面角P-CE—B的平面角为。

22石

即cos0=|cos<n,AP)|二

sin0=A/1-COS20--

，二面角P—C£—8的正弦值为：—.

5

【点睛】

本题主要考查了求证线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直判断定理和向量法求二面角的方法，考查

了分析能力