河北省普通高中2021-2022学年高三下第一次测试数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设a=ln3,则8=lg3,则（）

A.a+b>a—b>ahB.a+b>ab>a—hC.a-b>a+b>abD.a-b>ab>a+b

2.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并

创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”。如图是

利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的〃值为（）（参考数据：

1.732,sinl5°«0.2588,sin75°»0.9659）

3.已知圆一+/2-6工一7=0与抛物线y2=2px（p>0）的准线相切，则。的值为（）

I

A.1B.2C.-D.4

2

4.若（0,1）,a=lnx,b=（,c=d，则a,b,c的大小关系为（）

A.b>c>aB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

5.设过抛物线丁=2〃工（〃>0）上任意一点2（异于原点。）的直线与抛物线丁2=8/»（〃>0）交于48两点，直线

S

OP与抛物线y2=8px（p>0）的另一个交点为。，则产•=（）

A.1B.2C.3D.4

6.若函数/（幻=//-。恰有3个零点，则实数。的取值范围是（）

44

A.（-y,+oo）B.（0,—）C.（0,4，）D.（0,+oo）

ee

7.一个空间几何体的正视图是长为4,宽为百的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该

几何体的体积为（）

俯视图

A.9B.C.包D.273

33

y2y24

8.已知双曲线C：—_2^=l（a>0,b>0）的右焦点为尸，过原点O作斜率为一的直线交C的右支于点A,若|04|=|。川,

a2b23

则双曲线的离心率为（）

A.6B.V5C.2D.V3+1

9.一物体作变速直线运动，其丫-/曲线如图所示，则该物体在，s~6s间的运动路程为（）”?.

2

o/(m・s-i)

。136〃s

449

A.1B.-D.2

3T

10.已知复数2=①+5"则|z|=(

2-z

A.亚B.572C.3亚D.2旧

11.下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为［0,+8）的是（）

1W

2-cy-y

A.y="g(x+l)|B.y-X2AD.=1In

12.已知向量£出满足|£|=1,|石|=G,且£与万的夹角为>则（£+杨・（2£-万）=（）

6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖.甲、乙两人同时各抽取1张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是

2

14.过”(一2,0)且斜率为§的直线/交抛物线。：卜2=2「匹(;7>0)于47?两点，F为。的焦点若AMFB的面积等于

△ME4的面积的2倍，则P的值为.

x+y>a

15.设工、「满足约束条件〈，，且2=*+©，的最小值为7,则.

x-y<-I

16.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=4,E是A0的中点，将ZX/WE,△CDE分别沿BE,CE折起，使得

平面平面BCE,平面CDEL平面BCE,则所得几何体438E的外接球的体积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生.新生接待其实也是和社会沟通的一个平台.校

团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下:

愿意不愿意

男生6020

女士4040

(1)根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；

(2)现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人.若从这10人中

随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为X,写出X的分布列，并求E(X).

„„叱2n(ad-bc')1―一,

附：K-=--------------------------------------,其中〃=a+0+c+d.

(a+/?)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K»°)0.05().010.001

k。3.8416.63510.828

18.（12分）椭圆£：1+孑=1（4>6>0）的离心率为半，点（6,、历）为椭圆上的一点.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若斜率为A的直线/过点A（（）,l）,且与椭圆E交于C,。两点，3为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的实数k,

直线BC,BD的斜率之积为定值.

19.（12分）已知函数，（x）=|x-l|+|x+l|-2.

（1）求不等式/*），的解集；

（2）若关于x的不等式/（幻../一〃一2在R上恒成立，求实数。的取值范围.

20.（12分）已知等差数列｛4｝中，4=5,%=14,数列也｝的前〃项和S“=22-1.

（1）求2；

（2）若c.=（—1）"%+么，求｛%｝的前“项和7”.

21.（12分）已知椭圆。：5+方=l（a>6>0）的离心率为白，且过点（1,告）.

（I）求椭圆C的方程；

（II）设Q是椭圆C上且不在x轴上的一个动点，O为坐标原点，过右焦点/作。。的平行线交椭圆于“、N两个

不同的点，求|乐MN『|的值.

22.（10分）已知｛a,,｝是各项都为正数的数列，其前〃项和为S“，且S”为4与一的等差中项.

a”

（1）求证：数列｛S：｝为等差数列；

（2）设b“二W~,求也｝的前1（）0项和小.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据换底公式可得〃=加三，再化简比较ln3,lnlO-l,lnlO+l的大小，即得答案.

In10

【详解】

“也=1叫3=黑,

In3ln3(lnl0+l)ln3_ln3(lnl0-l)

a+b=\n3+,a-b=\n3-

InlOIn10InlO-In10

In3xIn3

ab

InlO

ln3>0,lnl0>0,显然a+

•.,3e<10,.\ln(3e)<lnlO,BPln3+l<lnlO,.\In3<InlO-l,

In3xIn3ln3(lnl0-l)

InlO<InTo,ab<a-b.

综上，a+b>a-b>ab.

故选：A.

【点睛】

本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.

2.C

【解析】

由〃=6开始，按照框图，依次求出s,进行判断。

【详解】

”=6=s=—x6sin60（）«2.598,n=12=s=—xl2sin30°-3,

22

n=24ns='x24sinl5°®3.1058,故选C.

2

【点睛】

框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键。

3.B

【解析】

因为圆/+产一6%-7=0与抛物线丁=22X（。>0）的准线相切，则圆心为（3,0）,半径为4,根据相切可知，圆心

到直线的距离等于半径，可知P的值为2,选B.

【详解】

请在此输入详解！

4.A

【解析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.

【详解】

VxG(0,1),

J.a=lnx<Q,

/>=(-)lnx>(-)。=1,

22

0<c=e/HX<e°=l,

'.a,b,c的大小关系为

故选：A.

【点睛】

本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5.C

【解析】

画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标,

最后代入坐标，求得三角形面积比.

【详解】

作图，设A3与OP的夹角为。，则△ABQ中A8边上的高与AABO中4?边上的高之比为"吗=£&,

OPsin。OP

；4^=与=坨_*=也_1,设尸(三,凹］，则直线OP：y=3》x,即y=&x,与y2=8px联立，解得

S.ABOOPypyp{2pJ斤X

%=4%，从而得到面积比为达一1=3

故选：C

【点睛】

解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题.

6.B

【解析】

求导函数，求出函数的极值，利用函数,〃幻=//-。恰有三个零点，即可求实数。的取值范围.

【详解】

函数y=x2e'的导数为y'=2xe'+x2ex-xe\x+2),

令y'=0,则x=0或-2,

—2<x<0上单调递减，(f,-2),(0,+oo)上单调递增，

所以0或-2是函数y的极值点，

,4

函数的极值为：/(0)=0,/(-2)=4^2=—,

e

4

函数/(乃=/6"-"恰有三个零点，则实数的取值范围是：(0,二).

e~

故选B.

【点睛】

该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象

的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.

7.B

【解析】

由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积.

【详解】

由题意原几何体是正三棱柱，V=-X2XV3X4=4A^.

2

故选：B.

【点睛】

本题考查三视图，考查棱柱的体积.解题关键是由三视图不愿出原几何体.

8.B

【解析】

’222

尸+>=c(a\Jc2+b2h2>

以。为圆心，以|。耳为半径的圆的方程为Y+y2=c2,联立/y2_,可求出点A,则

./一"=1(CC)

4

整理计算可得离心率.

【详解】

解：以。为圆心，以|。目为半径的圆的方程为/+>2=。2,

f2,222+/72

x+y=cx=a-yJ-c-----

联立Ifv2,取第一象限的解得<0,

2

--2--/——2=1b

Lby=—

IC

b2

'aylc2+b2b2、c=4

c

整理得(9c2_5叫(/_5/)=0,

c25c2

则二=士<1(舍去)，二=5,

a29a2

:.e=—=石.

a

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.

9.C

【解析】

I.6

由图像用分段函数表示V(f),该物体在；S~6s间的运动路程可用定积分S=J|v(f)dr表示，计算即得解

22

【详解】

由题中图像可得,

2r,0<r<l

v(z)--2,1<r<3

—/+l,3<z^6

由变速直线运动的路程公式，可得

-6

s=J；v(/)dr=j2tdt+£2dr+-t+

3

22.

649

=仆+以+(¥+，=­(m).

34

149

所以物体在-s~6s间的运动路程是4m.

24

故选：C

【点睛】

本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.

10.B

【解析】

利用复数除法、加法运算，化简求得二，再求得忖

【详解】

z=2+5『=.*t/)+5i=-1+77,故1)2+72=50.

2—z5

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.

11.B

【解析】

分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果.

【详解】

对于A,y=|ig1+i)|图象如下图所示:

则函数y=|ig(x+i)|在定义域上不单调，A错误;

对于8,y==6的图象如下图所示：

则y=«在定义域上单调递增，且值域为［0,+8),8正确

对于C,y=2”的图象如下图所示：

则函数y=2,单调递增，但值域为(0,+力)，。错误;

对于。，y=ln|x|的图象如下图所示：

则函数y=In凶在定义域上不单调，。错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题.

12.A

【解析】

根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.

【详解】

（a+五）・（2a—5）=2a-b+a-5=2-3+lxV3x^-=—.

22

故选：A.

【点睛】

本题主要考查数量积的运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.—

3

【解析】

利用排列组合公式进行计算，再利用古典概型公式求出不是特等奖的两张的概率即可.

【详解】

解：3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，

甲、乙两人同时各抽取1张奖券，

则两人同时抽取两张共有：C；&=6种排法

排除特等奖外两人选两张共有：C；A；=2种排法.

21

故两人都未抽得特等奖的概率是：P=-=-

63

故答案为：—

3

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率公式的应用，是基础题.

14.2

【解析】

联立直线与抛物线的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系以及面积关系求解即可.

【详解】

如图，设4>|,凹）,5（々,y2），由S.MF8=2S.MFA，则>2=2%,

y——(x+2),16

由〈3可得9―03〃)，+4〃=0,由/>0,贝Up>一,

,y2=2px9

16

所以y+%=3p,y%=2p9-=4〃，得p=

9

故答案为：2

【点睛】

此题考查了抛物线的性质，属于中档题.

15.3

【解析】

根据约束条件画出可行域，再把目标函数转化为y=-'x+Lz,对参数。分类讨论，当a=0时显然不满足题意；当

aa

aNl时，直线y=-'x+Lz经过可行域中的点A时，截距最小，即z有最小值,再由最小值为7,得出结果;当0<。<1

CLCI

时，y=-Lx+'z的截距没有最小值，即z没有最小值；当a<0时，y=-Lx+'z的截距没有最大值，即z没有

aaaa

最小值，综上可得出结果.

【详解】

根据约束条件画出可行域如下：由.y=a,可得出交点/山丁a-丁\，二a+，

x-y=-lI22）

由2=工+〃了可得y=x-\Z,当。=0时显然不满足题意；

aa

当。之1即-时，由可行域可知当直线了=-工1+工2经过可行域中的点A时，截距最小，即z有最小值,

ciaa

即gzl+a.g±l=7,解得a=3或-5（舍）；

22

当0<。<1即-,<-1时，由可行域可知y=-Lx+'z的截距没有最小值，即z没有最小值；

aaa

当a<0即-^>0时，根据可行域可知^=-!》+_12的截距没有最大值，即z没有最小值.

aaa

综上可知满足条件时a=3.

故答案为：3.

本题主要考查线性规划问题，约束条件和目标函数中都有参数，要对参数进行讨论.

32

16.—K

3

【解析】

根据题意，画出空间几何体，设BE,EC,6C的中点分别为M,N,0,并连接

AM,CM,AO,DN,NO,DO,OE,利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE的外接球的球

心为。，即可求得其外接球的体积.

【详解】

由题可得△ABE，ACDE,△BEC均为等腰直角三角形，如图所示，

设BE,EC,的中点分别为M,N,O,

连接/W,CM,AO,DN,NO,DO,OE,

则OM_LBE,ONICE.

因为平面ABE±平面BCE,平面CDE±平面BCE,

所以OM,平面ABE,ON上平■面DEC,

易得OA=OB=OC=OD=OE=2,

则几何体ABCDE的外接球的球心为0,半径R=2,

所以几何体ABCDE的外接球的体积为V=彳乃N=二乃.

33

32

故答案为：—71.

【点睛】

本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法,

属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；(2)详见解析.

【解析】

(1)计算得到左>6.635,由此可得结论；

(2)根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得X的所有可能取值所对应的概率，由此

得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望.

【详解】

⑴..52的观测值％「60x(60x40-40x2。)、%-667>6.635,

80x80x100x603

..有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关.

(2)根据分层抽样方法得：男生有10X1=6人，女生有10x1=4人，

，选取的10人中，男生有6人，女生有4人.

则X的可能取值有01,2,3,

2_60_1

201=1)=^c-cA'：

.•.p(x=o)=--------二一，r\A3-120-21

a12061)Jco

eg_=3)隼=4_1

P(X=2)=至12010'p((x-

aC1012030'

X的分布列为:

X0123

31

p\_

621030

.-.E(X)=0xl+lx-+2x—+3x—=-

')6210305

【点睛】

本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分

布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.

18.(1)上+工=1；(2)证明见解析

64

【解析】

(1)运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得。，b,进而得到椭圆方程；(2)设直线/：丁=依+1,代入椭圆方程,

运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值.

【详解】

⑴因为e=YI,所以c=^a,a2^b2+[—a\①

33(3J

又椭圆过点(6,五)，所以弓'+^7=1②

由①②，解得/=6,〃=4

所以椭圆E的标准方程为《+*=1.

64

(2)证明设直线/：y^kx+l,

’22

二21=1

联立《64-得(3尸+2)炉+6日一9=0,

y=Ax+1

设C(x,,y),O(X2,必)，

6k9

贝n!l]x.+x---7——,x.x.=------；——

'-23k2+21-3k2+2

易知B(0,-2)

故上k_M+2必+2_依|+3如+312中2+3-(5)+9

BD

K苍马玉x2-玉当

+3^+^)+_9_=公+3人竺一.+2)=一2

玉々XlX23、)

所以对于任意的左，直线3C,8。的斜率之积为定值.

【点睛】

本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理

和直线的斜率公式，化简整理，考查运算能力，属于中档题.

33

19.(1){x}x?二或xN-}；(2)-l<a<2.

22

【解析】

x<—1—1<X<1X>1

(D利用绝对值的几何意义，将不等式/(为-1,转化为不等式cC，或C,或C，求解•

-2x-2>l[0>1[2x-2>l

(2)根据/(幻之/一。_2在/;上恒成立，由绝对值三角不等式求得了(x)的最小值即可.

【详解】

(1)原不等式等价于

X<-1[-1<X<1[x>1

<或<,

-2x-2>l[0>1[2%-2>1

33

解得：xW—二或壮三，

22

33

.•.不等式的解集为｛x|x?万或xN]｝.

(2)因为/(幻2/一。.2在R上恒成立，

而/(x)=|l|+|x+l]_2凹(％_1)—(x+l)|—2=0,

所以。一240，解得一lWaW2,

所以实数”的取值范围是-lWaW2.

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

3

为偶数

12

20.(1)an=3n-\,bn=2"-；(2)Tn=<

2"—n--,〃为奇数

22

【解析】

%=%+d=54=2,、

(1)由条件得出方程组《1=3，可求得｛4｝的通项，当〃之2时，b-w可得

%=4+4。=14

2=2%,当〃=1时，5=4=24一1,,得出也｝是以1为首项，2为公比的等比数列，可求得也｝的通项;

(2)由⑴可知，C“=(-1)”(3〃-1)+2"T,分”为偶数和〃为奇数分别求得.

【详解】

出=%+〃=5a.=2

(1)由条件知，<八3一.•…f

%=4+4d=14

当"N2时,b„=Sn-Sn_}=2bn-l-(2Z>n_1-1),即bn=2bl，

当〃=1时，岳=4=24一1,.,.4=1,

\也』是以1为首项，2为公比的等比数列，，2=2"T；

(2)由(1)可知，+

M3

当”为偶数时，1=[(-2)+5+(-8)+…+(3〃-l)]+S“=3x]+2"-l=2"+]〃-l

当“为奇数时，Tn=Tn_,+cn=2”T+](〃_1)_]_(3〃_1)+2"T=2"—2〃一]

3

2"+二〃一1,〃为偶数

2

综上,T=<

n33

2"—n—，〃为奇数

22

【点睛】

本题考查等差数列和等比数列的通项的求得，以及其前〃项和，注意分〃为偶数和〃为奇数两种情况分别求得其数列

的和，属于中档题.

22

21.(I)—+^-=1(II)1

42

【解析】

(I)由题，得e=±=旦,3+士=1,解方程组，即可得到本题答案;

a2a-2b-

x=my

(ID设直线OQ：x=^y,则直线MN:x=〃zy+行，联立y2，得

---1---=1

42

x=my-i-5/2

2

1。。『=q2+为2=4tn~44m+4联立，冗22,得

—;+—;=—弓

m4-2加+2tn+2土+匕=1

42

।MN|=«7记/(乂+%)2f%=7?7版J(茎4+=”以，由此即可得到本题答案.

V机~+2m+2+2

【详解】

(I)由题可得《=£=也，即/

a222

1313

将点1,代入