河北省唐山市路南区2022年中考一模数学试题（含答案与解析）

2022年初中毕业生文化课模拟考试（一）

数学试卷

注意事项：1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上.

3.答选择题时，每小题选出答案后，用25铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.答非

选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共16小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分.在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.在平面内作直线/的垂线，能作出（）

A.0条B.1条C.2条D.无数条

2.下面四个图形中，口仁口2一定成立的是（）

A.a+\B.a—\C.ax1D.ci+1

4.下列四个正方体的展开图中，能折叠成如图所示的正方体的是（）

5.下列计算正确的是（）

36333523

A.a-cr=a"B.tz4-6I=ac.a「=aD.。+Q'=a

6.下列各数中，与也的和为有理数的是（)

A.V2B.3V22V3D.2-73

7.下列尺规作图，能确定AQ是△A8C的角平分线的是()

8.如图，4是某公园进口，B,C,。是三个不同的出口，小明从A处进入公园,那么在8,。三个

出口中恰好从5出口出来的概率为（）

2

A.-B.一CID.

433

Z1的度数应是（)

A.72°B.84°C.82°D.94°

10.小华总结了以下结论，其中一定成立的是（)

A.0不是单项式B.多项式l-Vy+f是二次三项式

C.%与b的和的平方”表示为a2+b2D."X的一半与y的2倍的差是非负数”表示为

—%—2y20

11.如图，E,F,G为圆上的三点，NFEG=50°,P点可能是圆心的是（）

12.一条直线＞=履+匕，其中Z+/?=—2022,奶=2022,那么该直线经过（）

A.第二、四象限B.第一、二、三象限

C.第一、三象限D.第二、三、四象限

13.如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点。与点G是一对对应点，点。（2,2）,点

G（O,l）,则它们位似中心的坐标是（）

A.(—2,0)B.(—1,0)C.(0,0)D.(—3,0)

14.如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向

以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到8在C的北偏东60°方向上，则8、

C之间的距离为（）

北

A15海里B.30海里C.30近海里D.30g海里

15.以下是甲、乙、丙、丁四位同学做的题，

X1

甲：计算——+——时，去分母，同乘于（X+D,得X+1.

X+lX+1

乙：对于分式:土2,利用分式基本性质，可得，"2=/.

h+2b+2h

丙：由土二生十工=3,解得x=L.

x-l1-x2

T：匕空中4、6的值都扩大到原来的2倍，所得分式的值扩大到原来的4倍.

a+b

则针对以上解法，下列说法正确的是（）

A.只有丙正确B.只有丁正确C.甲、乙都正确D.丙、丁都正确

16.把图1中周长为16cm的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、B、C、。和一张长方形纸

片E,并将它们按图2的方式放入周长为24cm的的长方形中.设正方形C的边长为xcm,正方形。的边

长为Am.则下结论中正确的是（）

图1图2

A.正方形C的边长为1cmB.正方形4的边长为3cm

C.正方形B的边长为4cmD.阴影部分的周长为20cm

二、填空题（本大题有3个小题，每小题有2个空，每空2分，共12分）

17.某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.

(1)现购进。本甲种书和6本乙种书.请用含a,h的代数式表示，共付款(）元;

(2)若花费5x1(/元购进甲种书、花费3x10?元购进乙种书，用科学记数法表示共花费元.

18.在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片A8C。沿过点A的直线折叠，使得点

8落在C£>上的点。处.折痕为AP再将分别沿折叠，此时点C,。落在AP上

的同一点R处.请完成下列探究：

(1)•••NC+ND=180°,AO与位置关系为—

(2)线段CO与QR的数量关系为.

19.如图，矩形A8CO在平面直角坐标系xOy中，点A(—5,0),点C(0,6),已知双曲线

L,:y=<0)经过点(-1,6),双曲线4：y=4(x<0).

xx

如果把矩形ABCO内部(不含边界)横、纵坐标均为整数的点称为“优点”.

(1)则4和坐标轴之间(不含边界)有.个“优点”；

(2)当一124&W-2,则4和右之间(不含边界)最多有个“优点”.

三、解答题(本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20.如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A,B,C把数轴分成①②③④四部分，点A,B,C对

应的数分别是mb,c,已知必＜0.

、-，、./、/

_______IIr____________

A_B_________________C

(1)直接说出原点在第几部分；

(2)若AC=5,BC=3,b=\,求a和c值；

(3)若〃、6互为相反数，且c=10.求代数式+/+2出7的值.

21.水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面

就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出.

(1)如果放I个大球、1个小球，水面高度达到毫米；只放入个大球时，水面高度会

达到230毫米:

(2)仅放入6个大球后，开始放入小球.①求放入多少个小球时，水面高度会超出原高度48毫米；②限

定水面高不超过280毫米，最多能放入几个小球？

22.某班老师要求每人每学期读4~7本书，并随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成如下不

完整的条形图和不完整的扇形图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分，回答下列问题：

人数7人

图1

(1)老师随机抽查了名学生，阅读6册人数为人；

(2)已知册数的中位数是5,并且阅读7册的人数多于2人；

小明说：条形图中阅读5册的人数为5.

小亮说：条形图中阅读5册的人数为6.

①你认为小明和小亮谁说的对，请说明原因，并求出阅读7册的人数；

②扇形统计图中5册、7册所占的百分比分别为、；

(3)随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现中位数还是5,则最

多又补查了人.

23.如图，BEAD是AABC的高且相交于点尸，点。是砥延长线上的一点.

(1)求证：Zl=Z2;

(2)若AP=BC,AC=BQ.

①嘉嘉说：N3和N4一定相等；

②淇淇说：线段CP与CQ一定相等，N4和NCPQ一定相等.

请你对嘉嘉说法直接给出对错；对淇淇的说法加以说理判断.

24.《九章算术》中记载，浮箭漏(图1)出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭

尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时

间.某学校课外小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：

浮箭漏示意图

箭尺工厘供水壶

箭壶-1I

接水壶不

图।

【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表:

供水时间X（小时）02468

箭尺读数y（厘米）618304254

（1）【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图2,横轴表示供水时间x,纵轴表示箭尺读数y,描出以表

格中数据为坐标的各点；

②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应

的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由.

♦y（厘米）

54

48

42

36

30

24

18

6

O\123456789x（小时）

图2

（2）【结论应用】应用上述发现的规律估算：

①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米?

②如果本次实验记录的开始时间是上午7：30,那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为

100厘米）

1,

25.如图，抛物线G：y=-]X2+履+4（k为常数）与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B,直线

L:y=6,乙交y轴于点C,交抛物线G于点M,在N的左侧).

(1)当左=1时.

①抛物线G的对称轴为,顶点坐标为,点B的坐标为；

②在x正半轴上从左到右有两点。，E,且。£=1，从点E向上作轴，且£户=2.在ADEF沿

x轴左右平移时，必须保证抛物线G与边(包括端点)有交点，求点尸横坐标的最大值比最小值大多

少？

(2)当攵>0时，是否存在鼠使CM=1?若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

(3)当人<0且无》,左时:抛物线G的最高点到L的距离为1,此时k的值为.

2

26.如图，在四边形ABCD中，AB//DC,NB=90°,44Q=60。，3c=4cm对角线AC平分

ZBAD.点P是84边上一动点，它从点8出发，向点A移动，移动速度为lcm/s；点。是AC上一动

点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为Gcm/s.设点P，。同时出发，移动时间为

/s(0<r<6),一点到达，另一点也停止运动.连接PQ,以PQ为直径作

⑴边A8=cm、DC=cm；

(2)求当r为何值时，O。与AC相切？

(3)求当，为何值时，线段AC被。。截得的线段长恰好等于。。的半径？

(4)当，=s时，圆心。到直线OC距离最短，最短距离为cm.

参考答案

一、选择题（本大题共16小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分.在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.在平面内作直线/的垂线，能作出（）

A.0条B.1条C.2条D.无数条

【答案】D

【解析】

【分析】垂线定义：在同一平面内，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直

线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，根据定义判断即可.

【详解】解：由垂线的定义可知：在平面内作直线/的垂线，能作出无数条，因为直线/上有无数个点.

故选：D.

【点睛】本题考查了垂线的定义，求己知直线的垂线数量，解题的关键是要注意与“过直线外一点只能作

1条已知直线的垂线''相区别.

2.下面四个图形中，口1=口2一定成立的是（）

【答案】B

【解析】

【详解】A.ZkN2是邻补角，Zl+Z2=180°；故本选项错误；

B./I、/2是对顶角，Z1=Z2；故本选项正确；

C.根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误；

D.根据三角形外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误.

故选：B.

【点睛】题目主要考查对顶角、邻补角；平行线的性质；三角形的外角性质，熟练掌握运用这些性质是解

题关键.

3.若。为实数，则下列各式的运算结果比。小的是（）

A.a+1B.a—\C.axlD.ci-T-1

【答案】B

【解析】

【分析】根据一个数加上一个正数的和大于本身，加上一个负数小于本身，减去一正数小于本身，减去一个

负数大于本身，乘以1等于本身，除以1也等于本身，逐一进行比较便可.

【详解】解：A.a+l>a,选项错误；

B.a-1<a,选项正确；

C.aXl=a,选项错误；

D.a4-l=a,选项错误；

故选B.

【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，具体考查了一个数加1,减1,乘I,除以1,值的大小变化规

律.基础题.

4.下列四个正方体的展开图中，能折叠成如图所示的正方体的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】由正方体的信息可得：面4面民面。为相邻面，从相对面与相邻面入手，逐一分析各选项，从

而可得答案.

【详解】解：由题意可得：正方体中，面A,面氏面C为相邻面.

由A选项的展开图可得面4面C为相对面，故选项A不符合题意;

由3选项的展开图可得面A,面民面。为相邻面，故选项3符合题意；

由C选项的展开图可得面8,面C为相对面，故选项C不符合题意；

由。选项的展开图可得面A面3为相对面，故选项。不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查的是正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键.

5.下列计算正确的是（）

A.a3-a2a6B.a6-^a3=«3C.（a3）2=a5D.a2+a3=a5

【答案】B

【解析】

【分析】利用同底数幕的乘除，累的乘方，合并同类项运算法则逐项判断即可.

【详解】解：A、/匕2=/+2=。5,故选项错误，不符合题意；

B、〃6+/=/-3="3,故选项正确，符合题意；

C、（/『=43、2=。6,故选项错误，不符合题意；

D、/+43无法计算，/和/不是同类项，故选项错误，不符合题意.

故选B.

【点睛】本题考查了同底数塞的乘除法，塞的乘方，合并同类项，熟练掌握以上各项运算法则是解题的关

键.

6.下列各数中，与道的和为有理数的是（）

A.V2B.3&C.273D.2—百

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次根式的加减运算法则以及有理数的定义，逐项求解判断即可.

【详解】解：A、血+百不是有理数，故不符合题意；

B、3五+百不是有理数，故不符合题意；

C、26+6=36，36不是有理数，故不符合题意；

D、2-73+73=2,2为有理数，故符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式加减运算以及有理数的定义，熟练掌握二次根式运算法则是解题关键.

7.下列尺规作图，能确定4。是AABC的角平分线的是（)

B.

【答案】C

【解析】

【分析】根据5种基本作图对各选项进行判断即可得到答案.

【详解】解：A.AO为边的中线，所以A选项不符合题意;

B.点。为A8的垂直平分线与的交点，则D4=£>B,所以B选项不符合题意;

C.4O为/8AC的平分线，所以C选项符合题意;

D.A。为BC边的高，所以D选项不符合题意.

故选:：C.

【点睛】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题关键，也考查了三角形的平分

线、中线和高.

8.如图，A是某公园的进口，B,C,。是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么在B,C,力三个

出口中恰好从8出口出来的概率为（）

A.-B.-D

43-1

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用概率公式求解即可.

【详解】解：小明从A处进入公园，那么在8,C,。三个出口出来共有3种等可能的结果，其中从8出

口出来是其中一种结果，

，恰好从B出口出来的概率为：-.

3

故选：B.

【点睛】本题考查了概率的公式，一般地，如果在一次试验中，有“种可能的结果，并且它们发生的可能

性都相等，事件A包含其中的，〃种结果，那么事件A发生的概率P（A）=%,熟练掌握概率的公式是解题

n

的关键.

9.如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，N1的度数应是（）

A.72°B,84°C.82°D.94°

【答案】B

【解析】

【分析】根据正多边形内角和公式求出正六边形和正五边形的内角和内角的补角，结合三角形内角和定理

即可求解；

【详解】解：正六边形的内角为：180。x（6-2）=]20。,内角的补角为：60°；

6

正五边形的内角为：]80*（5二2）=]08。,内角的补角为：72。；

5

Zl=360°-[120°+108°+180°-（72°+60°）]=84°

故选：B

【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形的内角和定理，掌握相关知识并正确求解是解题的关

键.

10.小华总结了以下结论，其中一定成立的是（）

A.。不是单项式B.多项式1一+是二次三项式

C.%与6的和的平方“表示为/+/D."x的一半与y的2倍的差是非负数”表示为

—%—2y20

【答案】D

【解析】

【分析】用单项式多项式的定义，非负数定义逐个判断.

【详解】A.0不是单项式，•••单独的一个数一个字母也是单项式，0是单项式，，不成立；

B.多项式1—/y+V是二次三项式，•.•多项式1一%2）+%2是是三次三项式，，不成立；

22

C."”与。的和的平方”表示为"+/，与匕的和的平方”表示为a+2ab+b,•••不成立；

D.的一半与y的2倍的差是非负数”表示为gx—2yN0,•••“X的一半与y的2倍的差是非负数”表

不为万龙-2y20,.".成立.

故选D.

【点睛】本题考查了单项式，多项式与非负数，熟练掌握这些定义与公式是解决此类问题的关键.

11.如图，E,F,G为圆上的三点，ZFEG=50°,P点可能是圆心的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】利用圆周角定理对各选项进行判断.

【详解】解：：NFEG=50°,

若尸点圆心，

AZFPG=2ZFEG=i00°.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.

12.一条直线、=丘+方，其中左+匕=一2022,妨=2022,那么该直线经过()

A.第二、四象限B.第一、二、三象限

C.第一、三象限D.第二、三、四象限

【答案】D

【解析】

【分析】首先根据攵+匕=一2022,幼=2022,可得鼠匕的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经

过的象限即可.

【详解】解：••"+/?=—2022,处=2022,

ARO,b<0,

...直线、=履+人经过第二、三、四象限.

故选：D.

【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与底8的关系解答本题注意理解：直线产fcv+b

所在的位置与A、b的符号有直接的关系.Q0时，直线必经过一、三象限；&<0时，直线必经过二、四象

限；公0时，直线与y轴正半轴相交；。=0时，直线过原点；X0时，直线与y轴负半轴相交.

13.如图，正方形QEFG和正方形ABCD是位似图形，且点。与点G是一对对应点，点0(2,2),点

G(O,l),则它们位似中心的坐标是()

A.(—2,0)B.(—1,0)C.(0,0)D.(—3,0)

【答案】A

【解析】

【分析】根据两个位似图形对应顶点所在的直线相交于一点，交点就是位似中心，可得连接OG并延长,

其与x轴交点即为位似中心，用待定系数法求出直线。G解析式，即可求解.

【详解】解；连接OG并延长交x轴于

•.•点。与点G是一对对应点，

则可知两个位似图形在位似中心的同旁，位似中心就是点M,

设直线QG解析式为；y=kx+b,

将£)(2,2),G(O,1)代入得:

'2k+b=2

、b=l'

L.1

解得：］2,

b=l

直线OG解析式为丁=3》+1,

令y=o,可得：x=-2,

即位似中心的坐标是(—2,0).

故选A.

【点睛】考题考查了判断位似中心和求解位似中心，待定系数法求一次函数，熟练掌握位似中心的定义是

解题的关键.

14.如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15。方向的A处，若渔船沿北偏西75。方向

以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到8在C的北偏东60°方向上，则8、

C之间的距离为()

A.15海里B.30海里C.30及海里D.30G海里

【答案】C

【解析】

【分析】由路程等于速度乘以时间可求出AC,再由平行线性质可得出AABC是等腰直角三角形，进而可

求出答案.

【详解】解：由题意得：AC=60x0.5=30（海里）

如图所示：

：.ZEAB=ZFBA=15°,

ABAC=ZC4£+ZEAB=75。+15。=90°

'.CD//BF,

:.NCBF=NDCB="。,

ZCBA=ZCBF-ZABF=60°-15°=45°,

在心△ABC中，sinZCBA=—,

BC

则可得：sin450=-,

BC2

解得：BC=3072（海里）.

故选C.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键.

15.以下是甲、乙、丙、丁四位同学做的题,

X]

甲：计算——+——时，去分母，同乘于（X+1）,得X+1.

X+lX+1

乙：对于分式炉，利用分式基本性质，可得，竽

〃+2/7+2b

丫2_,21

丙：由.=解得尤=二.

x—11—x2

T：仁也中〃、人的值都扩大到原来的2倍，所得分式的值扩大到原来的4倍.

a+b

则针对以上解法，下列说法正确的是（）

A.只有丙正确B.只有丁正确C.甲、乙都正确D.丙、丁都正确

【答案】A

【解析】

【分析】根据分式的化简方法以及解分式方程、分式的性质逐个判断即可.

【详解】解：甲：分式不能直接去分母，只能通分，所以甲错误；

乙：分式的基本性质是：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，不是加

减，所以乙错误；

x（x—2）1-xc

-----------------x——=3,

x—1X"

x—2

-----=3,

x

2-x=3x

1

x=—,

2

经检验，x=1是原方程的根，

2

所以丙正确；

212

T：将土土土中〃、6的值都扩大到原来的2倍，可得:

a+b

（2。）2+（26）24a2+4/2（/+/）

2a+2b2a+2ba+b

即所得分式的值扩大到原来的2倍，故丁错误；

所以只有丙正确.

故选A.

【点睛】本题考查了分式的化简，分式的性质以及解分式方程，熟练掌握以上性质和方法是解题的关键.

16.把图1中周长为16cm的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、B、C、。和一张长方形纸

片E,并将它们按图2的方式放入周长为24cm的的长方形中.设正方形C的边长为xcm,正方形。的边

长为jcm.则下结论中正确的是（）

图1

A.正方形C的边长为1cmB.正方形A的边长为3cm

C.正方形8的边长为4cmD.阴影部分的周长为20cm

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意表示出正方形A、8的边长，长方形E的长和宽，通过图1的周长得到x、y的关系，在

表示出阴影部分的周长求解即可;

【详解】解：由题意正方形A的边长为：x+y

正方形B的边长为：x+2y

长方形E的长为：x+3y

长方形E的宽为：x-y

.•.图1中长方形周长为：2(x+x+y+x+y+x+2y)=16cm

.".x+y-2

图2阴影部分的周长为:

24-(2x+2y+x+3y+x-y+x+2y+x+y+x+y)+2x+2y+x-y+x+2y+x+y+y+y=24-2(x+y)=24-4=20cm

故选：D

【点睛】本题主要考查代数式的化简及求值，解本题的关键在于结合图形正确列出代数式.

二、填空题（本大题有3个小题，每小题有2个空，每空2分，共12分）

17.某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.

（1）现购进4本甲种书和6本乙种书.请用含4,b的代数式表示，共付款（）元;

（2）若花费5x1（/元购进甲种书、花费3x103元购进乙种书，用科学记数法表示共花费元.

【答案】①.4a+10/?##10b+4。②.5.3X104##53000

【解析】

【分析】（1）根据题意即可列出含〃，人的代数式；

（2）先求出花费的总钱数，然后用科学记数法表示.

【详解】解：⑴由题意得，共付款：（4。+10与元；

（2）V5X104+3X103=5X104+0.3X104=5.3X104«

科学记数法表示共花费为5.3xl04元.

故答案为:4。+叫53000.

【点睛】本题主要考查了列代数式和科学记数法表示较大的数，审清题意列出代数式和掌握科学记数法的

表示方法是解题的关键.

18.在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABC。沿过点A直线折叠，使得点

8落在co上的点。处.折痕为AP再将分别沿PQ,AQ折叠，此时点C,力落在AP上

的同一点R处.请完成下列探究：

（1）•.•NC+ND=180°,AD与8C位置关系为；

（2）线段CO与。R的数量关系为.

【答案】①.②.CD=2QR

【解析】

【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行即可得出；（2）由折叠的性质即可得出.

【详解】（1）由折叠性质可得：ND=ZQRA,ZC=NQRP,

•.•NQfiA+NQRP=180°,

ZC+ZD=180°，

AD//BC；

(2)由折叠性质可知：DQ=QR,CQ=QR,

：.CD=DQ+CQ=2QR.

故答案为：AD//BC,CD=2QR.

【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，掌握折叠的性质是解题的关键，

19.如图，矩形ABCO在平面直角坐标系X。)，中，点A(—5,0),点C(0,6),已知双曲线

4：y=&(x<0)经过点(-1,6),双曲线J：y=8•(%<0).

xx

如果把矩形ABCO内部(不含边界)横、纵坐标均为整数的点称为“优点”.

(1)则4和坐标轴之间(不含边界)有个“优点”；

(2)当—2,则4和乙之间(不含边界)最多有个“优点”.

【答案】①.9②.6

【解析】

【分析】(1)、将(-1,6)代入，求出乙解析式，找出其经过的整点坐标，画出图像，即可得出;

122

(2)、画出y=——和了=--的图像，即可得出.

XX

【详解】解：将(7,6)代入4：y=2(x<0),

X

得：K=—6,

6

•'•y=一，

X

其经过(一1,6),(-2,3),(-3,2),(-6,1),画出其图像:

从图中可数出：4和坐标轴之间（不含边界）有9个“优点”；

12

（2）、双曲线y=-上经过点（一2,6）,（-3,4）,（-4,3）,（-6,2）,

x

2

双曲线y=-一经过点（一1,2）,（-2,1）,

x

画出双曲线的图像如下：

由图像可知：乙与双曲线旷=——之间有4个“优点”（不含边界），

x

2

右与双曲线丁=--之间有6个“优点”（不含边界），

x

乙和右之间（不含边界）最多有6个“优点”.

故答案为9,6.

【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数的图像，熟练掌握待定系数法以及画反比例函

数图像是解题的关键.

三、解答题(本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20.如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A,B,C把数轴分成①②③④四部分，点A,B,C对

应的数分别是mb,c,已知H<().

.…悬②一"-◎-、、、、.©…

(1)直接说出原点在第几部分；

(2)若AC=5,BC=3,匕=1,求“和c的值；

(3)若〃、6互为相反数，且c=10.求代数式+/+2出?的值.

【答案】(1)②(2)a=-l；c=4

(3)100

【解析】

【分析】(1)因为帅<0,所以a,6异号，所以原点在第②部分；

(2)根据点B在点C左边3个单位求出c；的值求出AB的值，然后根据点A在点B左边2个单位求出。

的值；

(3)先将代数式。2+。2+〃+2"变形为(a+Op+cN,再由〃、〃互为相反数即可求解.

【小问1详解】

解：,：ab<0,a<b,

67<O,Z?>0,

・•・原点在第②部分，

故答案为：②；

【小问2详解】

解：VAC=5,BC=3,

：.AB=AC-BC=5-3=2f

VZ?=1,

・・.c=1+3=4

/.a=1-2=-1；

【小问3详解】

a2+c2+b2+lab

解：原式="+2"+〃+c、2

=(a+b)2+c2

:a、。互为相反数

a+b=O

•：c=10

：.(a+b)2+c2=0+IO?=100.

【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段的和差，整式的乘除，正确解读题意和准确的计算是解题

的关键.

21.水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面

就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出.

(1)如果放1个大球、1个小球，水面高度达到毫米；只放入个大球时，水面高度会

达到230毫米；

(2)仅放入6个大球后，开始放入小球.①求放入多少个小球时，水面高度会超出原高度48毫米；②限

定水面高不超过280毫米，最多能放入几个小球？

【答案】(1)217；5

(2)8个;15个

【解析】

【分析】(1)放入一个大球水面上升4毫米，放入一个小球水面上升3毫米，原高度加上上升的高度即

可；设放入x个大球，根据题意列出方程解答即可；

(2)①设放入x个小球，根据题意列出方程解答即可；②设最多放入x个小球，根据题意列出不等式解答

即可。

【小问1详解】

210+4+3=217；

设放入x个大球，根据题意列出：210+4x=230,

解得m5.

故答案为:217；5.

【小问2详解】

①设放入x个小球，根据题意列出方程：6x4+3x=48,

解得x=8.；

②设最多放入x个小球，根据题意列出不等式：210+6x4+3xW280,

解得：x<――.

3

为整数，最大为15.

故答案为：8个；15个.

【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题

的关键.

22.某班老师要求每人每学期读4~7本书，并随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成如下不

完整的条形图和不完整的扇形图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分，回答下列问题:

人数/人

(1)老师随机抽查了名学生，阅读6册人数为人；

(2)已知册数的中位数是5,并且阅读7册的人数多于2人；

小明说：条形图中阅读5册的人数为5.

小亮说：条形图中阅读5册的人数为6.

①你认为小明和小亮谁说的对，请说明原因，并求出阅读7册的人数；

②扇形统计图中5册、7册所占的百分比分别为、；

(3)随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现中位数还是5,则最

多又补查了人.

【答案】(1)20,6

（2）①小亮说的对，理由见解析，阅读7册的人数是3人，②30%,15%

（3）1

【解析】

【分析】（1）用阅读4册的人数除以其所占的百分比即可求出总人数，再用总人数乘以阅读6册人数所占

百分比即可求解；

（2）①利用中位数的定义即可求解；②分别用阅读5册，7册的人数除以总人数即可求解；

（3）由中位数不变和阅读4册，5册的总人数即可求解.

【小问1详解】

解：有条形统计图和扇形统计图可知：阅读4册的人数为5人，占25%,

则抽查的总人数为：5-25%=20（名），

阅读6册人数为：20x30%=6（人）；

故答案为：20,6；

【小问2详解】

①•.•总人数为20人，

中位数是第10名和第11名学生阅读册数的平均数，

•..中位数是5,阅读4册的人数是5人，

阅读5册的人数是6人，

故小亮说的对，

阅读7册的人数为：20-5—6-6=3（人）；

②阅读5册所占的百分比：—X100%=30%，

20

3

阅读7册所占百分比：—X100%=15%；

20

【小问3详解】

因为阅读4册、5册的学生总人数为5+6=11（人），

又因为中位数是5,

故总人数不能超过21,故最多补查1人.

【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数，熟练掌握条形统计图和扇形统计图信息关联以及

中位数定义是解题关键.

23.如图，BE,AO是AABC的高且相交于点尸，点。是BE延长线上的一点.

A

(l)求证：N1=N2;

(2)若AP=BC,AC=BQ.

①嘉嘉说：N3和/4一定相等；

②淇淇说：线段CP与CQ一定相等，N4和NCPQ一定相等.

请你对嘉嘉的说法直接给出对错；对淇淇的说法加以说理判断.

【答案】(1)见解析(2)错误；见解析

【解析】

【分析】(1)由余角的性质可得N1=N2；

(2)由“SAS'可证然后根据全等的性质即可证明.

【小问1详解】

解：是的高，

?ADB90靶AEP=90?,

.\?1?BCA90靶2+?BCA90?,

4=N2；

【小问2详解】

解：嘉嘉的说法是错误的.

•：AP=BC,Zl=Z2.BQ=AC,

：.ZXAPC四/XBCQ(SAS),

：.7Q?4,CP=CQ,

；.?Q2CPQ,

：.N4=NCPQ.

NCPQ=N1+N3>N3,

，N3和N4不相等，

•••嘉嘉的说法是错误的.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、余角的性质，根据题意证明是解题

的关键.

24.《九章算术》中记载，浮箭漏（图1）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭

尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时

间.某学校课外小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：

浮箭漏示意图

供水壶

箭尺一

U1f

箭壶-小

图I

【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表:

供水时间X（小时）02468

箭尺读数y（厘米）618304254

（1）【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图2,横轴表示供水时间x,纵轴表示箭尺读数y,描出以

表格中数据为坐标的各点；

②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应

的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由.

•厘米）

o123456789£（小时）

图2

（2）【结论应用】应用上述发现的规律估算:

①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？

②如果本次实验记录的开始时间是上午7：30,那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为

100厘米）

【答案】（1）①见解析，②在一条直线上，y=6x+6

（2）①箭尺的读数为78厘米，②当箭尺读数为90厘米时是21:30

【解析】

【分析】（1）、①在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对

应的各点，②用待定系数法求解即可；

（2）、①将％=12,代入（1）求出的解析式即可，②将y=90代入（1）求出的解析式即可.

【小问1详解】

①、描点如下图：

*削甲・米）

I

Ti1IfI

—

4I1»Ik

—

I23457X小时］

②、观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上,

设这条直线的解析式为：y=kx+b,

b=6

将(0,6),(2,18)代入得:

2左+b=18

k-6

解得:

b=6

y=6x+6,

这条直线所对应的函数表达式为：y=6x+6；

【小问2详解】

①、当x=12时，y=6?126=78,

，供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米；

②、当y=90时，6x+6=9（），解得x=14,

供水时间为14个小时，

•••本次实验记录的开始时间是上午7:30,

二当箭尺读数为90厘米时是21：30.

【点睛】本题考查的是一次函数的应用，待定系数法求解析式，坐标轴中描点等知识，熟练掌握待定系数

法求一次函数是解题的关键.

25.如图，抛物线G:y=—+日+4（%为常数）与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B,直线

L：y=6,L交），轴于点C,交抛物线G于点M,N（M在N的左侧）.

(1)当&=1时.

①抛物线G的对称轴为，顶点坐标为，点B的坐标为：

②在x正半轴上从左到右有两点。，E,且。七=1，从点E向上作所_L%轴，且可'=2.在△£>£/沿

X轴左右平移时，必须保证抛物线G与边（包括端点）有交点，求点尸横坐标的最大值比最小值大多

少？

（2）当％>0时，是否存在&,使CM=1?若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（3）当攵<0且时，抛物线G的最高点到L的距离为1