河北省唐山遵化市2022年高考仿真卷数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若函数"x)=2sin(x+26).cosx(0<^<-)的图象过点(0,2),则()

A.函数y=/(x)的值域是［0,2］B.点［彳,。］是y=/(x)的一个对称中心

147

C.函数y=/(x)的最小正周期是2〃D.直线x=(是y=/(x)的一条对称轴

2.已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱ABC。-A4GA中，P是上底面4&G。上的动点.给出

以下四个结论中，正确的个数是()

①与点O距离为百的点P形成一条曲线，则该曲线的长度是女；

②若。P〃面4c乌，则DP与面ACG4所成角的正切值取值范围是半,0;

③若。P=百，则DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6垃.

A.0B.1C.2D.3

3.已知命题夕：*)>2,龙;一8>0,那么力为()

33

A.3x0>2,x0-8<0B.Vx>2,x-8<0

33

C.3x0<2,X0-8<0D.VX<2,X-8<0

4.已知集合4={.了=口？7肃}，3={x|log2X>l}则全集U=R则下列结论正确的是()

A.AC|8=AB.ADB=BC.(^A)nB=0D.8mA

5.下列函数中，在区间(0,+8)上单调递减的是()

y=log

A.v_JB.y=2'C.lxD.y=--

y~x)2%

6.设函数/(x)=sin(3+?［(<«>0),若/(X)在［0,2汨上有且仅有5个零点，则。的取值范围为()

122外<1229<1229、1229

A，LT'ioJB,VT'TOJC・D,[丁'1F_

7.已知F为抛物线y2=4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，则||FA|-|FB||的值等于()

A.872B.8C.4A/2D.4

..------1------UUIUUUU1

8.已知AAHC是边长为3的正三角形，若BD=§BC,则AD-BC=

315

A.--B.—

22

315

C.-D.——

22

9.正四棱锥P-ABCQ的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为迷，侧棱长为2百，则它的外接球的表面积

为()

A.44B.87rC.16乃D.204

10.已知。，〃金R,3+ai=h—(2a—l)i,贝(J|3a+〃i|=()

A.VioB.2GC.3D.4

11.若双曲线卞•->2=I(a>o)的一条渐近线与圆V+(y-2)2=2至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围

是()

A.[V2,+00)B.[2,4W)C.(1,A/2]D.(1,2]

22

12.已知双曲线C：二-4=1的一条渐近线与直线3x-y+5=0垂直，则双曲线C的离心率等于()

ab

A.V2?B.萼C.VW?D.272

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知关于x的不等式g-x-alnxNl对于任意xe(l,+8)恒成立，则实数。的取值范围为.

x

14.能说明“若/(x+l)</(x)对于任意的xe(O,4w)都成立，则/(x)在(0,+纥)上是减函数”为假命题的一个函数

是.

15.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题

小李都会的概率为.

16.卜一力(工一》)。展开式中己6的系数为.(用数字做答)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在三棱锥S-A8C中，A4BC是边长为2g的正三角形，平面平面ABC,5A=SC=2,M、

(1)证明：AC1SB；

(2)求三棱锥8-CMN的体积.

18.(12分)如图1,在等腰梯形A86居中，两腰A鸟=8片=2,底边AB=6,£工=4,。，C是A3的三等

分点，E是月工的中点.分别沿CE，DE将四边形8CEK和AOEF2折起，使耳，F?重合于点F,得到如图2所示

的几何体.在图2中，M,N分别为CO,EF的中点.

(1)证明：ABCD.

(2)求直线CN与平面AB尸所成角的正弦值.

19.(12分)某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖

活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，表示第x

天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：

X1234567

y58810141517

<1)经过进一步统计分析，发现)'与x具有线性相关关系.请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出)'关于x的线

性回归方程9=3x+d；

(2)该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则

没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为!，获得“二等奖”的概率为1.现有张、王两位先生参与了本

次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额X的分布列及数学期望.

Y.xji-nxy

参考公式：吞=号-------a=y-hx,ZX/=364,=140.

^xj-nx2

i=l

20.（12分）求下列函数的导数:

⑴/(但…

(2)/(x)=(sin2x+1)2

x=cos0xf=2x

21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，将曲线.八（。为参数）通过伸缩变换,,得到曲线G,

y=sm"j=y

x=2+tcosa

设直线厂a为参数）与曲线a相交于不同两点A,B.

y=，3+/sina

7T

（1）若a=一,求线段AB的中点M的坐标；

3

（2）设点P（2,g）,若归小归同=|O叶，求直线/的斜率.

22.(10分)AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ccosB—加比C=0,cosA=cos2A.

⑴求C；

（2）若。=2,求，AABC的面积S'"'

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据函数/（X）的图像过点（0,2）,求出。，可得/（x）=cos2x+l,再利用余弦函数的图像与性质，得出结论.

【详解】

由函数/（x）=2sin（x+2（9>cosx（0<6><^|）的图象过点（0,2）,

可得2sin26=2,即sin2，=l,

/.20=-0=-

2499

故/（x）=2sin（x+26）・cosx=2cos2x=cos2x4-1,

对于A,由一14COS2X<1,则。</（x）<2,故A正确；

对于B,当x=?时，/（J1，故B错误；

对于C,T=M=T,故C错误；

2

对于D,当尤=:时，=故D错误；

故选:A

【点睛】

本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质，需熟记性质与公式，属于基础题.

【解析】

①与点。距离为6的点P形成以。为圆心，半径为夜的!圆弧MN,利用弧长公式，可得结论；②当P在A（或

4

G）时，ZJP与面ACGA所成角（或NOCQ）的正切值为逅最小，当P在。1时，0P与面ACQA所成角

3

的正切值为血最大，可得正切值取值范围是［半,夜］;③设P（x,>,1）,贝!|/+/+1=3,即/+丁=2,

可得。P在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和.

【详解】

如图：

①错误，因为RP=JDP?-DD：=也》—f=6，与点。距离为百的点P形成以。为圆心，半径为血的

上圆弧脑V,长度为2兀.血=变兀；

442

②正确，因为面AOG〃面4CB一所以点尸必须在面对角线4G上运动，当P在4（或G）时，0P与面ACQA

所成角ND4,。（或NOG。）的正切值为逅最小（。为下底面面对角线的交点），当尸在01时，0P与面ACGA

3

所成角的正切值为夜最大，所以正切值取值范围是，血,

③正确，设P(x,y』)，贝！|/+/+1=3,即/+y2=2,0P在前后、左右、上下面上的正投影长分别为Jy+i,

在石，旧刀，所以六个面上的正投影长度之++血卜22Jr+1^r+1+V2=6近,

\7

当且仅当尸在。I时取等号.

【点睛】

本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题.

3.B

【解析】

利用特称命题的否定分析解答得解.

【详解】

已知命题P：玉o>2,x„-8>0,那么是Vx>2,丁-8W0.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

4.D

【解析】

化简集合A,根据对数函数的性质，化简集合8,按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论.

【详解】

由—2x~+x+320,(2x—3)(x+1)<0>

则A=-i,-,故a：A=（-8,_i）w不+81,

由log2》〉］知，8=(2,+oo),因此408=0,

"3~|

AuB=52,+8),(^A)nB=(2,4w),

(2,+00)C

故选:D

【点睛】

本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.

5.C

【解析】

由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.

【详解】

因为函数y=工y=2'和—在(S+8)递增，而V=，Og|X在(0,+8)递减.

故选：C

【点睛】

本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.

6.A

【解析】

71

由0Wx<2乃求出。x+二范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立。不等量关系，即可求解.

【详解】

当工1［(),2乃］时，0)X+—G—,,

•••/(x)在［0,2句上有且仅有5个零点，

711229

5万«2.(071H—<6%,:.—4<—>

5510

故选:A.

【点睛】

本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题.

7.C

【解析】

将直线方程)，=x-1代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出||E4卜|尸向|的值.

【详解】

[y2-4x

F(1,0),故直线AB的方程为y=x-1,联立方程组，可得X2-6X+1=0,

设A(xi,yi),B(X2,y2),由根与系数的关系可知XI+X2=6,xix2=l.

由抛物线的定义可知：|FA|=xi+L|FB|=X2+1,

.-.||FA|-|FB||=|X1-X2|=Ja+J-4中2=V36-4=4&•

故选C.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

8.A

【解析】

由=可得AO=AB+6O=A6+—BC,因为△ABC是边长为3的正三角形，所以

33

AD-BC=(AB+-BC)-BC=ABBC+-BC2=3x3cosl200+-x32故选A.

3332

9.C

【解析】

如图所示，在平面ABCD的投影为正方形的中心E,故球心。在PE上，计算长度，设球半径为R,则

(PE-R)2+BE2=R2,解得R=2,得到答案.

【详解】

如图所示：P在平面ABCO的投影为正方形的中心E,故球心。在PE上，

BD=41AB=2A/3，故BE=3BD=6,PE=VPB--BE2=3，

设球半径为R,贝!J(PE—R)2+8E2=R2,解得R=2,故S=4〃R2=I6〃.

故选：C.

p

【点睛】

本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

10.A

【解析】

根据复数相等的特征，求出3。和匕，再利用复数的模公式，即可得出结果.

【详解】

b=3,

因为3+质=6—（2。-1»,所以〈

一(2Q—1)=Q,

b=3,

解得

3a=1,

则|3a+初|=|1+3,=，12+32=河.

故选：A.

【点睛】

本题考查相等复数的特征和复数的模，属于基础题.

11.C

【解析】

求得双曲线的渐近线方程，可得圆心（0,2）到渐近线的距离d2及，由点到直线的距离公式可得”的范围，再由离心

率公式计算即可得到所求范围.

【详解】

双曲线三—y2=]仅>0)的一条渐近线为y=%,即x“=o,

〃

由题意知，直线x—ay=0与圆/+()，—2)2=2相切或相离，则”=7三2^2夜,

解得。之1,因此，双曲线的离心率e=£=+

故选：C.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

12.B

【解析】

由于直线的斜率k=3,所以一条渐近线的斜率为〃=-g,即'=；，所以e=Jl+g)2=*,选区

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-3]

【解析】

pxr-3ln.r_,

先将不等式J-x-alnxNl对于任意xw(l,+8)恒成立，转化为怎-------任意xe(1,+8)恒成立，设

A-Inx

j-31nx__[

f(x}=-——士i,求出/(X)在(1，+8)内的最小值，即可求出。的取值范围.

Inx

【详解】

解：由题可知，不等式g—x-alnxNl对于任意XG(1,+CQ)恒成立，

X

,1

即了一XX'3ex-X-1e-3]nxex-x-lex-3]nx-x-\,

a,—.....=-------=---------=--------

InxInxInxInx

又因为xw(l,+8),lnx>0,

・31nx_i

.•.4，------------对任意X£(l,+8)恒成立，

Inx

A-31nx_x_1

设〃光)=^------L_L,其中

Inx

由不等式e'Nx+1，可得：ex~3'nx>x-3\nx+\.

ex-3'nx-x-\x-31nx+l-x-1.

则----------->----------------=-3

InxInx

当x—31nx=0时等号成立，

又因为x—31nx=0在（1,+8）内有解,

二/（%=-3，

则心/⑴所产一?，即:a<-3,

所以实数”的取值范围：（—8,—3].

故答案为：（-8,-3].

【点睛】

本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围，考查转化思想和计算

能力.

14.答案不唯一,

【解析】

根据对基本函数的理解可得到满足条件的函数.

【详解】

由题意，不妨设/（X）=-[]一],

(IY(1

则/(x+1)「=_x+1——4-x——=-2x——<0在(0,+8)都成立,

\4/\4/2

是单调递增的，在+8）是单调递减的,

但是,（幻在

说明原命题是假命题.

所以本题答案为），,答案不唯一，符合条件即可.

【点睛】

本题考查对基本初等函数的图像和性质的理解，关键是假设出一个在（0,+8）上不是单调递减的函数，再检验是否满

足命题中的条件，属基础题.

1

15.-

2

【解析】

从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.

【详解】

由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有C；=6种，

小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有=3种，

故答案为：g

2

【点睛】

此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.

16.210

【解析】

(x-/)(x-y)'°=x(x-y)'°-y2(x-y)'°,只有中含有,即得解.

【详解】

(-/)(x-y)10=Kx-y)10-/(x-y)'°

只有(x-y尸中含有

其中公＞6的系数为c；)=2io

故答案为：210

【点睛】

本题考查了二项式系数的求解，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析；(2)且.

4

【解析】

(1)取AC中点O,连接SO,DB,证明ACJ_平面SDB,由线面垂直的性质可得AC，S3；

(2)由%一切=匕-««，即可求得三棱锥6-CMV的体积.

【详解】

解：(1)证明：取AC中点O,连接SO,DB.

因为酎=SC,AB=BC,所以AC_LSO且AC_L8O,

因为S£>n8£>=。，SOu平面SOB,BDu平面SD8,所以AC,平面SZW.

又SBu平面SDB,所以AC_L§3；

(2)解：因为ACJ_平面SOB,ACu平面ABC,所以平面SOC,平面ABC,

过N作NE工BD于E,则NEL平面ABC,

因为平面弘CL平面ABC,SD1AC,平面SAC口平面45。=AC,SDu平面SAC,所以SO_L平面ABC,

又因为N£_L平面ABC,所以NEHSD,

由于SN=NB,所以NE=SD

所以SAC“B=CMIM=¥

gr-plx/_T/_cA7J713V31_5/3

所以％.CMN=VN_CMB=S&CMB.NE=寸~^~义］=~^,

【点睛】

本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是掌握线面垂直的判定与性质，属于中档题.

is.(1)证明见解析(2)e

3

【解析】

⑴先证av^EF,再证DNJ.EF,由即〃可得8CL平面CEW,从而推出MNL平面ABC。；(2)建立空

间直角坐标系，求出平面4B厂的法向量与西，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.

【详解】

(1)证明：连接CE,DN,由图1知，四边形BCEE为菱形，且NCW=60°,

所以ACE尸是正三角形，从而CNLEF.

同理可证，DNJLEF,

所以所，平面CDN.

又EF//BC,所以8C，平面CON,

因为BCu平面ABC。，

所以平面CDN±平面ABCD.

易知CN=DN,且M为CO的中点，所以MN_LCD,

所以MN_L平面ABCD.

(2)解：由(1)可知CN=g，MN=旧且四边形ABCD为正方形.设A8的中点为G,

以M为原点，以MG,MC,MN所在直线分别为x,丁，z轴，建立空间直角坐标系M-孙z,

则A(2,-1,0),5(2,1,0),C(0,l,0),N(0,0词,尸(1,0,⑹,

所以荏=(0,2,0),AF=(-1,1,V2),OV=(0,-1,V2).

设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),

n-AB=0,2y=0,

由，一得彳

n-AF=Q,—x+y+yp2.z-0,

取3=("o,i).

设直线CV与平面厂所成的角为仇

所以如6=赢=号=¥，

77

所以直线CN与平面AS尸所成角的正弦值为之.

3

【点睛】

本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基

础题.

19.(1)》=2x+3；(2)见解析

【解析】

试题分析:

(I)由题意可得元=4,尸=11,则5=2，a=3,》关于x的线性回归方程为»=2x+3.

(II)由题意可知二人所获购物券总金额X的可能取值有0、30()、60()、90()、12(X)元，它们所对应的概率分别为:

尸(X=0)=；,P(X=300)=|,P(X=600)=K，尸(X=900)£.据此可得分布列，计算相应的数学期

望为EX=400元.

试题解析：

(I)依题意：亍=^(1+2+3+4+5+6+7)=4,

177

歹=—(5+8+8+10+14+15+17)=11,£X；=140,=364,

7/=!/=1

364-7x4x11

=2,白=y一加=11-2x4=3,

140-7x16

则)，关于x的线性回归方程为5=2x+3.

(II)二人所获购物券总金额X的可能取值有0、30()、60()、90()、12(X)元，它们所对应的概率分别为:

p(X=0)=ixl=l,尸(X=300)=2x‘x'='，P(X=600)=-x-+2xlxl=—,

'7224')233'7332618

P(X=900)=2xlxl=l,P(X=1200)=-xi=—.

,)369v76636

所以，总金额X的分布列如下表：

X03006009001200

£51

P

4318936

总金额X的数学期望为EX=Ox』+300X1+600x2+900xL+1200x-1-=400元.

4318936

20.(1)_f(x)=-0.05e4°5川；(2)_f(x)=2sin4x+4cos2x.

【解析】

(1)根据复合函数的求导法则可得结果.

(2)同样根据复合函数的求导法则可得结果.

【详解】

(1)令〃(x)=-0.05x+l,=则=,

而解(同=-0.05,”(〃)=e",故/'(%)=64°5＞技(-0.05)=-0.0513+1.

(2)令=sin2x+l,姒〃)=〃t则=

而M(x)=2cos2x,夕'(〃)=2〃,故/'(%)=2cos2xx2u=4cos2x(sin2x+l),

化简得到(尤)=2sin4x+4cos2x.

【点睛】

本题考查复合函数的导数，此类问题一般是先把函数分解为简单函数的复合，再根据复合函数的求导法则可得所求的

导数，本题属于容易题.

21.(1)(j|,_兴)；(2)

【解析】

（1）由/参数方程与椭圆方程联立可得4、8两点参数和，再利用M点的参数为4、8两点参数和的一半即可求M

的坐标；

（2）利用直线参数方程的几何意义得到|尸山・|尸邳，再利用|PAHP5|=QP「=7计算即可，但要注意判别式还要大

于0.

【详解】

-x=2cos0,X2与

（1）由已知，曲线C）的参数方程为.八（。为参数），其普通方程为工+丁=1,

y=sin夕，4

1

x=2+^,,

jrzv-

当a=T时，将厂a为参数）代入工+>2=1得13户+56f+48=0,设

3664

^=V3+