河北省正定县2022年高三下学期第一次联考数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.将函数/。）=6$皿2%-2«）52%图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移工个单位长

8

度，则所得函数图象的一个对称中心为（）

2.在正方体A5CO-A4G。中，E,尸分别为CG，的中点，则异面直线A/,DE所成角的余弦值为（）

A1口屈「2#1

A.-B.----C.----nD.一

4455

3.过圆V+y2=4外一点M（4,-1）引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（）.

A.4x-y-4=0B.4x+y-4=0c.4x+y+4=0D.4x-y+4=0

4.在AABC中，“cosAvcos5”是“sinA>sin5”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2x+y-2<0

5.已知卬满足不等式组x-2y-lW0,则点P（x,y）所在区域的面积是（）

x>0

24

A.1B.2C.D.一

45

6.集合A={x|x-2<0},5=N,则408=()

A.{1}B.{1,2}C.{0,1}D.{0,1,2}

7.已知双曲线c：［—4=1（。>0,。>0）的左、右顶点分别为A、4,点P是双曲线c上与4、4不重合的动点,

a

若kp%kpA?=3,则双曲线的离心率为（）

A.V2B.73C.4D.2

8.已知函数/(x+1)是偶函数，当XW。,”)时，函数/(x)单调递减，设4=/(一小，b=〃3),c=f(o),

则a、b、c的大小关系为O

A.b<a<cB.c<b<dC.b<c<aD.a<b<c

9.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已

知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自

内切圆的概率是()

TlItTI71

A.—B.-C.一D.一

12369

10.设。为坐标原点，P是以尸为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，M是线段P尸上的点，且

=2|/耳,则直线0M的斜率的最大值为()

A.3B.-C.—D.1

332

11.己知集合M={y|-l<y<3},N={x|x(2x-7)„0},则()

A.[0,3)B.fo,1C.f-1,^D.0

12.设/为抛物线x=4y?的焦点，A,B,C为抛物线上三点，若丽+丽+正=6,贝!||西|+而|+|同=1=().

A.9B.6C.-D.—

816

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等比数列{4}的各项均为正数，4+%=4,。4+。3-42-％=1，则％的值为.

14.已知复数2=。+万3,0eR),且满足iz=9+i(其中i为虚数单位)，贝!la+b=—.

15.函数/(x)=Gsin(0x+e)[e>O,5<o<;r]的图像如图所示，则该函数的最小正周期为.

16.定义min｛a,/?｝=<已知,f(x)=e，,g(x)=(x-l)(mx+2m2若

/i(x)=min｛/(x),g(x)｝恰好有3个零点，则实数，"的取值范围是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知/(力=k一4+卜+矶。>02>0).

(I)当a=Z?=l时，解不等式““48-》2；

(ED若/(x)的最小值为1,求一1+1的最小值.

18.(12分)如图，三棱柱ABC-A4G的所有棱长均相等，B1在底面ABC上的投影。在棱BC上，且48〃平面

AZ)G

H

(I)证明：平面Aoq，平面8CG4；

(II)求直线A3与平面AOC；所成角的余弦值.

19.(12分)已知数列｛%｝,其前〃项和为S,,满足％=2,S,=吟+〃％,其中〃..2,〃eN*，2,"R.

⑴若2=0,〃=4,bn=an+i-2an(〃eN*)，求证：数列｛"｝是等比数列；

⑵若数列仅“｝是等比数列，求/I,〃的值；

3

⑶若4=3,且2+〃=],求证：数列仅“｝是等差数列.

[■

x=2+--

2

20.(12分)在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为厂(，为参数).以原点。为极点，x轴正半轴为极

Iy=——2t

轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p2=6p(cos。+sin。)-14.

(1)写出圆C的直角坐标方程；

(2)设直线，与圆C交于A,8两点，尸(2,0),求|PA『+|PB『的值.

21.(12分)已知函数/(x)=lnx+0-a,g(x)=-~-+(l+1a1-,(aeR)

xxIe

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(X)在定义域内有且仅有一个零点，且此时/(x)»g(x)+，77恒成立，求实数机的取值范围.

22.(10分)在①GgcosC-a)=csin8；②27+c=2Z?cosC；(§)A»sinA=\!?!asin—这三个条件中任选一

个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.

在AABC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,。=28，a+c=4,求AABC的面

积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

先化简函数解析式，再根据函数V=Asm((ox+(p)的图象变换规律，可得所求函数的解析式为y=2sin(+>1,

再由正弦函数的对称性得解.

【详解】

,/y=>/3sin2x-2cos2x

=Gsin2x-(1+cos2x)2sin|2x--

I6T,

・•・将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为

[27T

y=2sin—X----

(36

TT

再向右平移7个单位长度,所得函数的解析式为

O

2兀71

y=2sinx--

6

2兀

2sin-x--T,

34

2万73737r

-X------=K7TX=-k,7lH--------,k&Z,

3428

Z=0可得函数图象的一个对称中心为［卷二故选D.

【点睛】

三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等,

其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与

落实.三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数

解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）

函数的性质求解.

2.D

【解析】

连接BE,BD,因为BE//AF,所以ZBEZ）为异面直线AE与OE所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2,取BD的中点为G,连接EG,在等腰MED中，求出cosN8EG=£C=*，在利用

BE75

二倍角公式，求出cos/BEO,即可得出答案.

【详解】

连接BE,BD,因为BE//AF,所以N3ED为异面直线AF与OE所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2,则==BD=20，

在等腰ABED中，取BO的中点为G,连接EG,

EG也

则EG=J5—2=JLcosZBEG

~BE~45

所以cosABED=cos2NBEG=2cos2NBEG-1,

31

即：cosNBED=2义一一1=-,

55

所以异面直线AF,DE所成角的余弦值为g.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.

3.A

【解析】

过圆x2+y2=r2外一点（m,ri）,

引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为如+r=0,故选人.

4.C

【解析】

由余弦函数的单调性找出cosAvcosB的等价条件为A>3,再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出

"cosA<cosB"是"sinA>sin8”的充分必要条件.

【详解】

•.・余弦函数y=cosx在区间（0,〃）上单调递减，且0<A（万，0<B<7r,

由cosAccosB,可得A>B,.由正弦定理可得sinA>sinB.

因此，“cosA<cos8”是“sinA>sin8”的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】

本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力,

属于中等题.

5.C

【解析】

画出不等式表示的平面区域，计算面积即可.

【详解】

不等式表示的平面区域如图：

y

0(0,-g)，C(0,2),怛。|=等，忸C|=石所以阴影部分面积%6=3怛0|•忸C|=gx，xJ?=：

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.

6.D

【解析】

利用交集的定义直接计算即可.

【详解】

A={x\x<2},故AD3={0,l,2},

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.

7.D

【解析】

、7/丫22

设P(Xo，%)，4(-a，0)，A(a,o),根据射，左续=3可得y；=3x：-3/①，再根据又用一与=1②，由①(D可

ab

得仅2—3a2)4=/(〃-3a2),化简可得c=2a,即可求出离心率.

【详解】

解：设A(—a，°)，4(a,0),

•••k产kPA?一-3,，

%%_3即y；=3片一3a2,①

x0+ax0-a

x4-4=i*②，

a2b2

由①②可得92一3a2)片="仅2-3a2),

Vx0^±a,

：，b2-3a2=0.

b2=3a2=c2—a2>

••c—2。t

即e=2,

故选：D.

【点睛】

本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题.

8.A

【解析】

根据/(%+1)图象关于y轴对称可知/(X)关于X=1对称，从而得到“X)在(一8,1)上单调递增且/⑶=/(-1)

再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.

【详解】

Q/(x+l)为偶函数.♦./(x+1)图象关于)'轴对称

・••/(x)图象关于％=1对称

,.・xe(l,+8)时，/(x)单调递减.•.xe(-oo,l)时，/(x)单调递增

又/⑶=/(T)且T<—；<。即。<a<c

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的

单调性，通过自变量的大小关系求得结果.

9.C

【解析】

利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公

式，即可求解.

【详解】

由题意，直角三角形的斜边长为，82+62=10,

利用等面积法，可得其内切圆的半径为r==2,

6+8+10

7T-22_71

所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为丁丁二=7.

—x6x8

2

故选：C

【点睛】

本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径

是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

10.C

【解析】

2

试题分析：设火］｝,为)，由题意F(称,0),显然为<0时不符合题意，故%>0,则

OM^OF+FM^OF+-FP^OF+-(,OP-OF^-OP+-OF^(^-+^-,^-),可得：

33336P33

AL

,322V2L

2P而F，当且仅当为2=2〃2,%=逝〃时取等号'故选C.

6P3"%

考点：1.抛物线的简单几何性质；2.均值不等式.

【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档

2

题.解题时一定要注意分析条件，根据条件1PMi=2|〃可，利用向量的运算可知加(察+4,空)，写出直线的斜率,

6P33

注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题.

11.C

【解析】

先化简N={x|x(2x—7)融}={x|0A?再求A/uN.

【详解】

因为N={x|x(2x—7)效0}=卜|0短共，

又因为“={y|-l<y<3},

所以=,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题.

12.C

【解析】

3_______

设A(x”y),8。2，)2)，。(七，为)，由苏+而+定=。可得%+々+当=77,利用定义将|bA|+M|+|FC|用

玉,工2，工表示即可.

【详解】

设A(x”％),B(x2,y2),C(x3,y3),由丽+丽+/=。及尸(3,0),

16

得(为一77，%)+(々-J，%)+(七一77，%)=(°，°)，故%+%+%3=77，

16161616

———1113

所以|B4|+b8|+|尸C|=F+77+X2+77+X3+77=/

lC)loloo

故选：C.

【点睛】

本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.V2-1

【解析】

运用等比数列的通项公式，即可解得4.

【详解】

/«6+«5=4J%(i+q)=4

aA+ai-a2-ax=\[a3(l+^)-«l(l+^)=1

44

x—~x—=1,；.%=4(%-4),q4-4g2+4=0,

(q2-2)2=0,Aq2=2,:.q=\[l,c/4=4,

54

atq+a]q=4,(V2+l)a,=1,

q-—尸—5/2-1,

V2+1

故答案为：V2-1.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题.

14.-8

【解析】

计算出反=出+62=一匕+出，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解.

【详解】

iz—ai+hi1--b+ai,所以a=l,0=-9,所以a+b=—8.

故答案为：-8

【点睛】

此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.

15.8

【解析】

根据图象利用/(o)=当，先求出。的值，结合/(i)=o求出①，然后利用周期公式进行求解即可.

【详解】

解：由/(O)=J5sine=迈，得sin0=

22

Tt37

,/—<(p<Tl,：.(p=—,

贝II/(X)=6Sin(<yx+4，

/(l)=6sin(0+?)=O,

a>+——=7i,即a>=一,

44

2£=2£=

则函数的最小正周期FF,

4

故答案为：8

【点睛】

本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键.

【解析】

根据题意，分类讨论求解，当机＜()时，根据指数函数的图象和性质/(x)=e*-L无零点，不合题意；当相＞0时,

m

令/(尤)=。"一,=0，得x=-ln〃z,令g(x)=(x-l)(znx4-2m2-m-l)=0,得％=1或

2m2ml

x=-~~=-+l-2m9再分当工+1-2m＞1,工+1-2m＜1两种情况讨论求解.

mmmm

【详解】

由题意得：当加＜0时，f{x}=ex-一在1轴上方，且为增函数，无零点,

m

g(x)=(x—l)("a+2"，一加一1)至多有两个零点，不合题意；

当相>0时，f(x)=ex0,得x=-lnm，令g(x)=(x-l)^nvc+lm2-m-l)=0,得x=l或

m

2

2m-m-\1t.

x------------=——Fl-2m,

mm

如图所示:

SLL

―O丫

当工+1-2机＞1时，即0＜根＜立时，要有3个零点,则一解得工＜m＜—

m2e2

i/y

当一+1-2加＜1时，即加＞注时，要有3个零点，则一Inmv—+1-2m,

m2m

f(Hl)—F1—21Tl+In772f

m

"『7

zm—-)—

c，(、112m2-m+\I4J8

f(m)=——--2+—=----------=——----/----＜0

mmmm

所以/(〃?)在(等,+8是减函数，又/。)=0,

要使/(根)＞0,则须加＜1，所以的＜m＜1.

综上：实数机的取值范围是:，与

故答案为：f一l,-ufV-2」)

"2)12J

【点睛】

本题主要考查二次函数，指数函数的图象和分段函数的零点问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，利用

导数判断函数单调性，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)[-2,21；(II)。+也.

42

【解析】

2x(x>1),

(I)当Q=%=1时,/(x)=|x-l|+|x+l|=-2(-14无41),令g(x)=8-V,作出〃x)，g(x)的图像，结合图像即

-2x(x<—1).

可求解;

(II)结合绝对值三角不等式可得/(x)=|x-a|+|x+Z?|>|(x+/J)-(x-a)|=|(z+Z?|a+b=\,再由“1”的妙用可拼凑为

2+++力+削™］，结合基本不等式即可求解;

【详解】

2x(%>1),

(I)/(x)=|x-l|+|x+l|=<2(-1<X<1),

—2x(x<-1).

令g(x)=8_/,作出它们的大致图像如下:

由8-/=2*=>*=2或x=~4(舍)，得点3横坐标为2,由对称性知,

点A横坐标为-2,

因此不等式f(x)<8-x2的解集为［-2,2］.

(II)/(X)=|x-«|4-|x+/?|>|(x+6)-(X-6T)|=|<74-Z?|=67+/?=1.

11111、「/1ba+]后、36

----+——=-(z-----+—)[(a+l1)X4-Z?l=-(lZ1+----+-----+-)>—(-+V2)=-+——

a+\2b2a+\2bl」2a+\2b22242

取等号的条件为左二驾，即联立。+八厝a=3-2五,

b=2四—2.

因此六+5的最小值吟+孝・

【点睛】

本题考查绝对值不等式、基本不等式，属于中档题

18.(I)见解析(II)

14

【解析】

(I)连接A。交4G于点。，连接8,由于48||平面4。0,得出48II。。，根据线线位置关系得出AOL8C,

利用线面垂直的判定和性质得出AO_LB|O,结合条件以及面面垂直的判定，即可证出平面AOC|_L平面BCGBI；

(ED根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出丽=0,6,0)和平面AOC；的法向量

3=(-6,0,2),利用空间向量线面角公式，即可求出直线与平面AOG所成角的余弦值.

【详解】

解：(I)证明：连接4c交AG于点。，连接QD,

则平面A,BCD平面AOG=OD,

46〃平面ADC,,4B//0D,

•••0为4c的中点，・・•/)为BC的中点，.•.A£>_LBC

•.•4。，平面ABC,

;BCCBQ=D,；,AD上平面BCC[B],

Q4)u平面ADC,,平面ADC,1平面BCC,4

(U)建立如图所示空间直角坐标系。一孙z,设AB=2

则8（—1,（）,0）,A（0,A/3,0）,B,（0,0,73）,C,（2,0,73）

,-.BX=（1,73,0）,ZM=（0,Ao）,DC）=（2,0,73）

^/3y=0

设平面AOG的法向量为7=(x,y,z),则

2x+s/3z~0

取x=—G得5=卜6,0,2卜

【点睛】

本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量法求线面角的余弦值，考查空间想象能力和推理能力.

19.(1)见解析(2)2=1，〃=0(3)见解析

【解析】

试题分析：⑴S,=4a,i(〃？2),所以a=2%,故数列也｝是等比数列；⑵利用特殊值法，得q=1,4=1,

故几=1,〃=0；(3)得/l=g,〃=1,所以S,=]a.+a“T，得(〃—1)。,用一(“—2)4—2a,i=0,可证数列｛《,｝

是等差数列.

试题解析：

(1)证明：若4=0,〃=4,则当S,=4%i(〃？2),

所以%=Em—S,=4(q,—an_,),

即%一2%=2(4-2的)，

所以2=24_],

又由4=2,4+出=4囚，

得的=3q=6,%—2at=2^0,即w0,

所以3=2，

%

故数列｛2｝是等比数列.

(2)若｛4｝是等比数列，设其公比为4(<7*0),

当〃=2时，S2=22«2+/jat,即q+々=2九。2+，得

1+4=2必+〃，①

当〃=3时，S3=32«3+/aa2,即4+/+%=34%+〃%，得

1+q+d=2>^q2+f.iq,②

当〃=4时，S4=42%+，即。|+。2+。3+。4=44%+〃%，得

\+q+q2+q3=42^3+/.iq2,(3)

②-①x4,得1=回2,

③-②x<7,得1=4/,

解得q=1,4=1.

代入①式，得〃=0.

此时S“？2),

所以4=q=2,｛%｝是公比为1的等比数列，

故2=1,〃=0.

(3)证明：若%=3,由q+々=2萌生+〃％，得5=64+2〃,

31

又九+〃=],解得4=2,〃=L

由q=2,4=3,九=：,〃=1,代入S“=4〃4+得。3=4,

所以4,%，生成等差数列，

,nn+1

由Sc”=~an+a,,-t>得S“+|=2an+\+an'

〃+1n

a+aa

两式相减得：4+|=an+]—^nn-n-\

即(〃T)4用一(〃—2)%-2a,I=0

所以电,,+2一(〃-1)4+1-2q,=0

相减得：加“+2_2(九_1)a“+i+(〃—2)4_勿"+%"_]=0

所以几(q+2—2%+]+凡)+2(%—4+%)=0

222

所以(4+2-24+I+4)=一-(a„-2a„+«„_!)=-.~~^(4,一2q_]+/_2)

n+lnyn-\)

(-2)1

=……=/；\<%-24+4)，

矶〃一1)…2

a

因为q-2a2+%=0，所以,>+2-2%+i+。“=。，

即数列｛%｝是等差数列.

20.(1)(x-3)2+(y—3)2=4；(2)20

【解析】

(1)利用》=2©05仇》=外皿。即可得到答案；

(2)利用直线参数方程的几何意义，|尸呢+|尸耳2=彳+1=&+幻2-2%.

【详解】

解：(1)由0?=6p(cos(9+sin6)-14,得圆C的直角坐标方程为

%2+>2=6x+6y—14,即(尤一3>+(y-3)2=4.

(2)将直线I的参数方程代入圆C的直角坐标方程，

得净—1)2+(争—3)2=4,

即产-4"+6=()，设两交点A，8所对应的参数分别为乙，t2,

从而4+/2=40,42=6

贝！+\pBf=t；+g=&+LJ_2能=32—12=20.

【点睛】

本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道容易题.

21.(1)a<0时,在(0,+8)上单调递增，4>0时，/。)在(0,。)上递减，在3,”)上递增.(2)(-oo,-l].

【解析】

(D求出导函数/'(x),分类讨论，由/'(x)>0确定增区间，由/'(幻<0确定减区间；

(2)由/⑴=0,利用(1)首先得或。=1,求出/(x)-g(x)的最小值即可得结论.

【详解】

(1)函数定义域是(0,+8),

小)」-===.

XXx~

当a40时，/(幻>0,/(©单调递增；

a>0时，令/'(x)=0得x=。，0<x<a时，f'(x)<Q,f(x)递减，x>a时，/'(x)>0,f(x)递增，

综上所述，时，八幻在((),+/)上单调递增，。>0时，/(x)在(0,a)上递减，在(a,Ko)上递增.

(2)易知/(1)=0,由函数单调性，若/(幻有唯一零点，贝iJaWO或“=1.

a-11

当时，g(x)=----,/(x)-g(x)=lnx+——a,

xx

从而只需。=0时，/(x)-g(x)N加恒成立，即机<lnx+,，

x

令/z(x)=lnx+,，“(X)=,—[=£n，〃(x)在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增，

XXX

工〃(X)min=〃(1)=1，从而〃?£1.

X1

a=