2020-2021人教版数学2课时4.2.1 直线与圆的位置关系含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年人教A版数学必修2课时分层作业：4.2.1直线与圆的位置关系含解析课时分层作业(二十五）直线与圆的位置关系（建议用时：60分钟）一、选择题1．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为（）A.1B．2C．eq\r（2)D．2eq\r(2)C[由圆的方程（x＋1）2＋y2＝2，知圆心为（－1，0),故圆心到直线y＝x＋3，即x－y＋3＝0的距离d＝eq\f(|－1－0＋3｜,\r（2)）＝eq\r(2）.]2．圆心为(3，0）且与直线x＋eq\r(2)y＝0相切的圆的方程为（)A.（x－eq\r(3))2＋y2＝1 B．(x－3）2＋y2＝3C。（x－eq\r(3)）2＋y2＝3 D．（x－3）2＋y2＝9B[由题意知所求圆的半径r＝eq\f（|3＋\r（2）×0｜,\r（1＋2))＝eq\r(3),故所求圆的方程为（x－3)2＋y2＝3，故选B。]3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是（）A.［－3，－1]B.[－1,3]C.［－3，1］D。(－∞,－3］∪[1，＋∞)C［圆（x－a)2＋y2＝2的圆心C（a，0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，则d≤r＝eq\r(2）⇔eq\f(｜a＋1｜,\r(2））≤eq\r(2)⇔｜a＋1｜≤2⇔－3≤a≤1。］4．过点P(1，－2）作圆C:（x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为（)A。y＝－eq\f(\r（3),4) B．y＝－eq\f(1,2）C。y＝－eq\f(\r（3）,2) D．y＝－eq\f（1，4)B[圆(x－1）2＋y2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC|＝eq\r(（1－1）2＋（－2－0)2)＝2为直径的圆的方程为(x－1）2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－eq\f(1,2）。]5．圆（x－3)2＋(y－3）2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有()A.1个B．2个C．3个D．4个C[圆心（3，3）到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝eq\f(|3×3＋4×3－11｜，5)＝2，又r＝3,故有3个点到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1.］二、填空题6．若点P(1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．x＋2y－5＝0[设切线斜率为k，则由已知得：k·kOP＝－1.∴k＝－eq\f(1,2),又∵P(1，2），∴切线方程x＋2y－5＝0.]7．过点（3，1)作圆(x－2）2＋（y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．2eq\r（2)［设点A（3，1）,易知圆心C（2,2)，半径r＝2.当弦过点A(3，1）且与CA垂直时为最短弦，｜CA｜＝eq\r（（2－3）2＋（2－1）2）＝eq\r(2)，∴半弦长＝eq\r（r2－｜CA|2）＝eq\r（4－2）＝eq\r（2），∴最短弦的长为2eq\r(2)。］8．在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R）相切的所有圆中，(x－1）2＋y2＝2[先确定直线过的定点，再求圆的方程．直线mx－y－2m－1＝0经过定点（2,当圆与直线相切于点(2,－1)时，圆的半径最大,此时半径r满足r2＝(1－2）2＋(0＋1)2＝2.所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2。]三、解答题9．已知圆C的圆心与点P(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点,且|AB｜＝6,求圆C的方程．[解]设点P关于直线y＝x＋1的对称点为C（m,n),则由eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（\f(1＋n，2）＝\f（－2＋m，2)＋1，,\f（n－1,m＋2）·1＝－1，）)⇒eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(m＝0，，n＝－1。）)故圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝eq\f(|－4－11|,\r(9＋16））＝3，所以圆C的半径的平方r2＝d2＋eq\f（|AB|2,4）＝18。故圆C的方程为x2＋（y＋1)2＝18。10．已知圆C和y轴相切,圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2eq\r（7），求圆C的方程．[解］设圆心坐标为(3m，m）∵圆C和y轴相切，∴圆C的半径为3｜m｜.∵圆心到直线y＝x的距离为eq\f(｜2m|,\r（2))＝eq\r（2)｜m|，由半径、弦心距、半弦长的关系，得9m2＝7＋∴m＝±1。∴所求圆C的方程为（x－3）2＋(y－1)2＝9或(x＋3）2＋（y＋1）2＝9.1．已知2a2＋2b2＝c2，则直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2A。相交但不过圆心 B．相交且过圆心C。相切 D．相离A［∵2a2＋2b2＝c2，∴a2＋b2＝eq\f（c2，2).∴圆心（0，0）到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝eq\f(｜c|,\r(a2＋b2)）＝eq\f（｜c|,\r（\f(c2,2))）＝eq\r(2）〈2，∴直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4相交，又∵点(0，0)不在直线ax＋by＋c＝0上，故选A.］2．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0（a＜3）相交于A，B两点，若弦AB的中点为C（－2，3）,则直线l的方程为________．x－y＋5＝0[由圆的一般方程,可得圆心为M(－1，2）.由圆的性质易知,M（－1,2）与C(－2，3）的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1，即得kAB＝1。故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.]3．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆（x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．4±eq\r（15）[圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为eq\f(|a＋a－2|，\r（a2＋1））。因为△ABC为等边三角形，所以｜AB｜＝|BC|＝2,所以eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（｜a＋a－2|,\r(a2＋1))））eq\s\up10(2）＋12＝22，解得a＝4±eq\r(15)。］4．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C:x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．（1）求四边形PACB面积的最小值;（2）直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在,求出P点的坐标；若不存在,说明理由．［解］(1)如图，连接PC,由P点在直线3x＋4y＋8＝0上,可设P点坐标为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（x,－2－\f(3,4）x））。所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2×eq\f（1,2）×|AP｜×|AC｜＝|AP｜.因为|AP|2＝|PC|2－|CA｜2＝｜PC｜2－1,所以当｜PC|2最小时，|AP｜最小．因为|PC|2＝(1－x)2＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1＋2＋\f(3,4）x）)eq\s\up10（2)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（5，4）x＋1））eq\s\up10（2)＋9。所以当x＝－eq\f(4，5)时，|PC｜eq\o\al（\s\up1（2)，\s\do1(min)）＝9。所以|AP｜min＝eq\r（9－1）＝2eq\r（2）.即四边