中考数学专项训练-全等三角形的应用

中考数学专项训练——全等三角形的应用一、综合题1．如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，点C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．2．如图（1）如图①是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图②，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B、C、D三点在一条直线上．试证明∠ACE＝90°；（3）伽菲尔德(Garfield，1881年任美国第20届总统)利用（1）中的公式和图②证明了勾股定理(1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上)，现请你尝试该证明过程．3．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，且BD⊥l于点D，CE⊥l于点E（1）求证：BD+CE=DE（2）当变换到如图②所示的位置时，试探究BD、CE、DE的数量关系，请说明理由。4．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，你能帮他想个办法吗？（1）把你的方法写出来．（2）写出其中的道理．5．琪琪家门前有一条小河，村里准备在河面上架上一座桥，但河宽AB无法直接测量，（1）爱动脑的小明想到了如下方法：在与AB垂直的岸边BF上取两点C，D，使CD=，再引出BF的垂线DG，在DG上取一点E，并使A、C、E在一条直线上，这时测出线段的长度就是AB的长。按小明的想法填写题目中的空格；（2）请完成推理过程。6．小明家所在的小区有一个池塘，如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在BD的中点C处有一个雕塑，小明从A出发，沿直线AC一直向前经过点C走到点E，并使CE=CA，然后他测量点E到假山D的距离，则DE的长度就是A、B两点之间的距离．（1）你能说明小明这样做的根据吗？（2）如果小明未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助他确定AB的长度范围吗？7．综合实践：某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：甲：如图①，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离．乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取两点，使，接着过点作的垂线交的延长线于点，则测出的长即为的距离．丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离．（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有；（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．8．如图，在与中，，，.（1）求证：；（2）若，，求的度数.9．如图，在四边形中，，、相交于点，为中点，延长到点，使.（1）求证：；（2）求证：四边形为平行四边形；（3）若，，，直接写出四边形的面积.10．（1）探索发现：如图1，在中，点在边上，与的面积分别记为与，试判断与的数量关系，并说明理由．（2）阅读分析：小鹏遇到这样一个问题：如图，在中，，，射线交于点，点、在上，且，试判断、、三条线段之间的数量关系．小鹏利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决．图2中的、、三条线段之间的数量关系为，并说明理由（3）类比探究：如图3，在四边形中，，与交于点，点、在射线上，且．①全等的两个三角形为；②若，的面积为2，直接写出的面积：．11．如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．12．数学课上，老师出示了如下的题目：如图（1），在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，试判断AE和BD的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图（2），确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填“>”，“<”或“=”）；（2）特例启发，解答题目如图（1），试判断AE和BD的大小关系，并说明理由；（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC；若△ABC的边长为1，AE=2，请画出图形，求CD的长．13．如图：（1）观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△AEC≌△CDB；（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积．（3）拓展提升：如图3，等边△EBC中，EC=BC=4cm，点O在BC上，且OC=3cm，动点P从点E沿射线EC以2cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．14．Rt△ABC.∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上两点，且ED⊥FD．（1）如图1，若E是AC中点，则BF=，EF=，AE2+BF2EF2（填“>,<或=”）；（2）如图2，若点E是AC边上任意一点，AE2+BF2EF2（填“>,<或=”），请说明理由；（3）若点E在CA延长上，（2）中三条线段之间的关系是否成立？请画图说明．15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是；（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当∠ADC=α时，求的值．16．如图，在中，，点为边上一点，，且,点关于直线的对称点为，连接，又的边上的高为.（1）判断直线是否平行？并说明理由；（2）证明：.17．如图1，菱形的顶点，在直线上，，以点为旋转中心将菱形顺时针旋转（），得到菱形．对角线于点，交直线于点，连接．（1）当时，①求证：；②求的大小；（2）如图2，对角线'交于点，交直线与点，延长交于点，连接．当的周长为2时，求菱形的周长．18．如图．Rt△ABC中，∠C=90º，AC=BC=4．P是BC上一点（不与B，C重合），连接AP．将AP绕点A逆时针旋转90º得到AQ．连接BQ．分别交AC，AP于点D，E．作QF⊥AC于点F．（1）求证：QF=AC；（2）若P是BC的中点，求tan∠ADQ的值；（3）若△AEQ的内心在QF上，直接写出BP的长

答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵BF=CE，∴BF+FC=FC+CE，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）解：结论：AB∥DE，AC∥DF．理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，∴AB∥DE，AC∥DF2．【答案】（1）解：(a+b)2＝a2+2ab+b2（2）证明：∵△ABC≌△CDE，∴∠BAC＝∠DCE．∴∠ACB+∠DCE＝∠ACB+∠BAC＝90°．由于B、C、D在一条直线上，所以∠ACE＝180°－(∠ACB+∠DCE)＝180°－90°＝90°．（3）证明：梯形ABDE的面积为．另一方面，梯形ABDE可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成．∴，即a2+b2＝c23．【答案】（1）证明：∵BD⊥l于点D，CE⊥l于点E

∴∠D=∠E=90°

又∵四边形EDBC内角和为360°

∴∠ECB+∠DBC=180°

∵∠ABC+∠ACB=90°

∴∠ABD+∠ACE=90°

又∵∠EAC+∠ACE=90°

∴∠ABD=∠EAC

由∠D=∠E=90°

∠ABD=∠EAC

AB=AC

可得△ADB≌△CEA

则BD+CE=AE+AD=DE（2）解：∵△ADC≌△CEB，AD=6cm，∴CE=AD=6cm，BE=CD，∵DE=4cm，∴BE=CD=CE-DE=6cm-4cm=2cm4．【答案】（1）解：先在地上取一个可以直接到达A、B两点的C点，连接并延长到D，使；连接并延长E，使，连接并测量出它的长度，的长就是A、B间的距离，如图所示：（2）解：∵∴，∴．5．【答案】（1）CB；DE（2）解：由题意得DG⊥BF，∴∠CDE=∠CBA=90°，在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC(ASA)，∴DE=AB(全等三角形的对应边相等)6．【答案】（1）证明：在△ACB和△ECD中∵，∴△ACB≌△ECD（SAS），∴DE=AB（2）解：如图，连接AD，AD=200米，AC=120米，∴AE=240米，∴40米＜DE＜440米，∴40米＜AB＜440米7．【答案】（1）甲、乙、丙（2）解：选甲（答案不唯一），理由如下：在和中，；选乙：在和中，；选丙：在和中，．8．【答案】（1）证明：∵.∴∴，在和中，∴∴（2）解：∵，∴由（1）得∴.9．【答案】（1）证明：∵AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA，∵E为BD中点，∴DE＝BE，在△ADE和△CBE中，∠DAC＝∠BCA∴△ADE≌△CBE（AAS），∴AE＝CE（2）证明：由（1）得：AE＝CE，BE＝DE，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵DF＝CD，∴AB∥DF，AB＝DF，∴四边形ABDF为平行四边形（3）四边形的面积等于10．【答案】（1）证明：如图，作于点，由图可知分别是、的高，∴S1=，S2=，∴．（2）证明：理由是：∵，，∴，∵，∴在△ABF和△CAE中，∴（AAS），∴，∴．（3）；411．【答案】（1）解：结论：EC＝BF，EC⊥BF，理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB＝∠CAF＝90°，∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，∴∠EAC＝∠BAE，在△EAC和△BAF中，，∴△EAC≌△BAF（SAS），∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM，∴∠ABF+∠BGM＝90°，∴∠EMB＝90°，∴EC⊥BF．∴EC＝BF，EC⊥BF；（2）证明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．12．【答案】（1）=（2）解：结论：AE=BD．

理由如下：如图（2），作EF∥BC交AC于F．∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B=60°，∠ECD=∠CEF，∴∠D=∠CEF．∵∠AEF=∠B=60°，∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，∠AFE=60°，∴∠EFC=∠DBE=120°．∵AB=AC，AE=AF，∴BE=CF．∵ED=EC，∴∠D=∠ECD．在△DBE和△FEC中，∵∠DBE=∠EFC∠D=∠CEFBE=CF，∴△DBE≌△EFC（AAS），∴BD=EF，（3）解：如图（4）中，当E在BA的延长线上时，作EF∥AC交BD的延长线于F，则△EBD≌△EFC（AAS），∴BD=CF=AE=2，CD=BD﹣BC=2﹣1=1．

如图（5）中，当E在AB的延长线上时，作EF∥BC交AC的延长线于F，则△EBD≌△CFE（AAS），∴BD=EF=AE=2，CD=BD+BC=2+1=3．综上所述：CD的长为1或3．故答案为：1或3．13．【答案】（1）解：∵BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠CDB=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCD=90°，∴∠CAE=∠BCD，在△ACE和△CBD中，∠AEC=∠CDB=90∴△ACE≌△CBD（2）解：如图2，过点B'作B'G⊥AC于G，

∴∠B'AG+∠AB'G=90°，∵∠BAB'=90°，∴∠BAC+∠B'AG=90°，∴∠AB'G=∠BAC，由旋转知，AB=AB'，在△ABC和△B'AG中，∠ACB=∠B∴△ABC≌△B'AG，∴B'G=AC=6，∴S△ACB'=AC×B'G=18（3）解：如图3，

由旋转知，OP=OF，∵△BCE是等边三角形，∴∠CBE=∠BCE=60°，∴∠OCP=∠FBO=120°，∠CPO+∠COP=60°，∵∠POF=120°，∴∠COP+∠BOF=60°，∴∠CPO=∠BOF，在△BOF和△PCO中，∠OBF=∠PCO=120∴△BOF≌△PCO，∴CP=OB，∵EC=BC=4cm，OC=3cm，∴OB=BC﹣OC=1，∴CP=1，∴EP=CE+CP=5，∴点P运动的时间t=5÷2=2.5秒．14．【答案】（1）4；5；=（2）=（3）成立，如图，延长ED至G使得ED=DG，连接BG，FG，∵D是AB的中点，∴AD=BD，∵∠1=∠2，DE=DG，∴△ADE≌△BDG，∴AE=BG，∠AED=∠BGD，∵∠3=∠4，∠AED=∠BGD，∴∠GBF=∠C=90°，∵FD⊥ED，D为EG中点，∴EF=FG，在Rt△BFG.BG2+BF2=FG2，即AE2+BF2=EF2；15．【答案】（1）MD=ME（2）解：MD=ME，理由：如图2，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=60°，∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=30°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=30°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=30°，在Rt△MDE中，tan∠MDE=，∴MD=ME．（3）解：如图3，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，延长BE交AC于点N，∴∠BNC=∠DAC，∵DA=DC，∴∠DCA=∠DAC，∴∠BNC=∠DCA，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=∠EBC，∴CE=BE，∴AF=CE，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC=α，∴∠MDE=，在Rt△MDE中，=tan∠MDE=tan．16．【答案】（1）解：BD//AH．证明：∵点C关于直线PA的对称点为D，∴PC＝PD，AD＝AC，∠APC＝∠APD．又∵∠ABC＝45°，∠PAB＝15°，∴∠APC＝∠ABC＋∠PAB＝60°，∴∠DPB＝180°－∠DPA－∠APC＝60°．∵BC＝3BP，∴BP＝PC，∴BP＝PD；取PD的中点E，连接BE，则PE＝PB，∴△BPE为等边三角形，∴BE＝PE＝DE，∴∠DBE＝∠BDE＝∠BEP＝30°．∴∠DBP＝∠DBE＋∠EBP＝90°．又∵AH⊥PC，∴∠AHC＝90°，∴∠DBP＝∠AHC，∴D