四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高二上学期9月入学联考文科数学试题（解析版）

四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高二上学期9月入学联考

文科数学解析版

考试时间120分钟，满分150分

注意事项：

1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签

字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干

净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答

题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

若集合A={T135,7},'={RT<X<5},则=

A.{1,3}B.{1,3,5}C.{-1,1,3,5}D.{-1,1,3,5,7)

【答案】B

【解析】

【分析】利用交集的定义运算即得.

【详解】因为A={-1,1,3,5,7},6={.r|-1<x<51,

所以AD8={1,3,5}.

故选：B.

2.sin357c等于（）

6

A.3B.--

C.；D.--

2222

【答案】C

【解析】

【分析】sin；^=sin（乃一g]=sin!，

即可得到答案.

6V6J6

【详解】sin—=sin7t~—=sin—=-

6I6/62

故选；c

【点睛】本题考查的是三角函数的诱导公式，较简单.

3.方程[g]=x—l的根位于区间()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】C

【解析】

【分析】令函数=-x+l,利用零点存在定理确定正确选项.

【详解】令函数-X+I,易得函数单调递减，原方程的根即y=/(x)的零点,

“T)=4，

ia

40)=2,/(l)=p/(2)=-1,v/(l)-/(2)<0,可得根位于区间(1,2).

故选：C.

4.如图，网格上绘制的是某几何体的三视图,其中网格小正方形的边长为1,则该几何体的体积为

()

1111111111

1111111111

rWM

1111111111

11Il1l1i111111

i---Kill.............................

i1、ii1iiiii

i111।1I1I

1111111t1

1111111111

卜T——卜-※十十-T——…T——：

■tiIllll111111

iIiIiiiiii

iiiiiiiiIi

L..J__1__1___1__L__1__L__1__1

,927

A.-B.—C.9D.27

【答案】c

【解析】

【分析】由三视图确定该几何体是棱锥，且得出棱锥的性质，然后由体积公式计算.

【详解】解：由三视图可知几何体的直观图（如图）是底面为正方形的四棱锥，且平面ABQD,

PD=AD=3,

,该几何体的体积为V=；x（3x3）x3=9,

故选：C.

5.已知a,£是空间中不重合的两平面，“，b,/是空间中不同的三条直线，48是空间中不同的两

点，则下列结论正确的是（）

A.a//b,haa^a//aB.a//a,h//a,a，b<^//（3

C.a//a,b//a=>a//bD.Awa,ac/3=1=AGI

【答案】D

【解析】

【分析】根据线面平行的判定定理判断A,面面平行的判定定理判断B,线面位置关系判断C,平面公理

判断D.

【详解】由直线与平面平行的判定定理知A错误（需要加条件。仁仁）；由平面与平面平行的判定定理知

B错误（需加条件两直线相交）；直线与平面平行不具备传递性，C错误为可以平行、可能异面也可能

相交）；由平面公理知D正确，

故选：D.

6.已知cos（a+?）=-；,且则cosa=（）

L4+6R4—y/2rV2nV2

6623

【答案】B

【解析】

【分析】由同角三角函数的基本关系可得sin[a+(),而由配凑法及两角和与差的余弦公式可得

加、.九

兀7l~\(7l\71.(

cosa=cosa+——=cosa+—cos—+sina+—sin—,代值化简即可.

44jI4J4I4j4

【详解】

又­.•cosfa+

.•.cosis『a+471

LI4J4

(乃、71.(兀、.兀

=cosa+—cos—+sina+—sin—

I4；4I4)4

=—cos(a+^]+—sin(a+-

2I4j2I4；

672204-0

=-------X-----x-------=-----------

2扑236

故选：B.

7.已知函数/(x)=sin(2x+0)1,若/仁)=1，则函数/(x)的单调递减区间为()

2+Z乃，葛+%%](2€Z)—+2%万，—+2k兀](Z£Z)

A.B.

63)

C.一尹左喉+叼(ZGZ)D.-^+2k7r^+2k7t\(kGZ)

【答案】A

【解析】

【分析】由/(看)=1求得9,再利用正弦函数的性质求解.

【详解】解：=

n

解得(p=——F2k冗,keZ、

6

一,

r冗

/.f(x)=sin2xH—

6

令2+2&%<2兀+工<包+2左7(％eZ)，

262

解得—+k7V<X<—+k7i,

63

故选：A.

8.若单位向量6,e2满足+02卜,1-Ze2],则q,02的夹角为()

D.0

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量数量积的运算律可得［•£=(),进而即得.

【详解】原式两边平方得4q~+4q•e,+022=令2-4,•62+4e「，

解得Ig=O,即怎,4='。

故选：B.

9.若奇函数/(x)在区间［0,+")上是增函数，则下列关系正确的是(

3,2,23

A./(1.2°)>/(0.3)>/(log,.20.3)B./(logL20.3)>/(0.3)>/(1.2°)

3,203,2

C./(1.2°-)>/(logL20.3)>/(0.3)D./(log,.20.3)>/(1.2-)>/(0.3)

【答案】A

【解析】

【分析】由已知奇函数和单调性得出函数在R上的单调性，由对数函数、指数函数确定1.2°3,0.31-2，

logcO.3的大小后可得结论.

【详解】由对数与指数运算的性质可知0.09<0.3,1=1.2°<1,20-31

0312

又Vlog,20.3<log,21=0,A1.2>O.3->log,2().3,

又由函数的奇偶性和单调性可知/(x)在R上是增函数，

0312

.•./(1.2)>/(0.3)>/(log120.3),

故选：A.

10.已知数列｛4｝的前"项和为s"，若,则下列结论正确的是()

A.a”<a“+]B.a”>a”+iC.S"<a"D.SnNa”

【答案】D

【解析】

【分析】根据数列的前〃项和与第〃项的关系进行求解即可.

,<iY(1V-1<1Y1

【详解】当〃22时，a=S-S_!=—--=-—，当”=1时，a=S=—,

nnn\2y\,2J\,2yil2

当〃=1时，at>a2,当〃22时，4<4+i，，A,B均错误；又当〃=1时，，=q,当“22时,

(\Y

s“>《,=—七,；.D正确,

故选：D.

11.为了优化某绿地(记为△。钻)的行走路径，现需要在。4,08上分别选取两点M,N修建一条直

S四边形"NBA

路MN,使得MN平分AOIB的周长，已知。4=。8=3,AB=2.则的最小值为()

“40MN

43

B.一D.2

524

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角形面积公式，结合二次函数的性质进行求解即可.

【详解】解：设='«。,3),则"=4-…(fB,

S四边形MNB人=S^OAB-S^OMN=ax3x3xsinZAOB-S^OMN,

则S四边形v一qq99

_-△QA62△OWN-1=----1=—；-----1

S&OMNqq

*4OMNx(4—x)+4x

令/(x)=1%2+4x,XG(0,3),对称轴为x=2,开口向下,

所以有/(x)«/(2)=4,

:.当OM=2,且0N=2时，誓即幽■有最小值工，

'40MN4

故选：D

12.己知正方体ABC。-A4GR的边长为2,点E,尸分别是为棱8,。。的中点，点P为四边形

CDRCi内（包括边界）的一动点，且满足旦尸〃平面班尸，则GP的最小值为（）

A.—B.1C.J2D.2

2

【答案】A

【解析】

【分析】分别作cc,,G。的中点G,H,连接B。,B.H,GH,易证平面B&H//平面BEF,再

由Pe平面瓦G”,又点P为四边形C0RG内（包括边界）的一动点，得到Pe线段G"求解.

【详解】解:

如图，分别作CG，GA的中点G,H,连接4G,BtH,GH,易知BM〃BE,又与平面

BEF，BEu平面班尸，二片“〃平面世尸；又易证GH〃EF,又GHg平面BEF，EFu平面

BEF，：.GH〃平面BEF，又B】HcGH=H,用"，G”u平面片G”,.♦.平面耳G”〃平面

BEF，由题意知Pe平面与G”,又点P为四边形8RG内（包括边界）的一动点，,Pw线段GH,

当点尸为GH的中点时，QP1GH,此时6「=乎，

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知向量〃=（一L0）,万=（2,4）,若£〃石，则4=

【答案】-272

【解析】

【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解.

【详解】因为向量£=(-1,&),B=(2,/i),

若a〃石,则有(―1)xXx2=。，解得丸=—2>/5，

故答案为：一2近.

14.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S,，若%+%=3,则S1o=.

【答案】15

【解析】

【分析】由等差数列的前〃项和公式、等差数列的性质求解.

【详解】由题知九==10(“；%)=]5,

故答案为：15.

z[x-x2+4ar

15.若函数/(》)=上在区间(1,2)上单调递增，则”的取值范围为.

【答案】(一知；

【解析】

【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合指数函数和二次函数的单调性进行求解即可.

【详解】因为函数y=是实数集上的减函数，

所以由复合函数的单调性可知，函数y=+4ax在区间(1,2)上单调递减，

函数y=—/+40c的对称轴为％=2”,且开口向下，所以有2aWl,

解得。的取值范围为(-8,；,

故答案为：(一°°，5-

16.为了测量某座山的高度，某兴趣小组在该座山山顶P处俯瞰山脚所在水平地面上不共线的三点，测得

它们的俯角均为30。，查阅当地地图可知该三点间距离分别为2km，2km，2&km,则山高为

km.

273

【答案】

【解析】

【分析】由题意首先求得底面三角形的半径，然后由几何关系确定山高即可.

【详解】解：设山顶在水平地面上的投影为点。，山高为万,

不妨设三点分别为A,B,C,且AB=BC=2,CA=2®

由题知。4=03=0C='一=6〃，...点。是4ABe的外接圆的圆心,

tan30°

在中，由余弦定理得NABC=：_£则2

AABCcos2+2.(3)2=^BC=./l-cosZ/1BC=—,

2x2x222

Ar

・・.△ABC的外接圆的半径r=F一=2,

2sinZABC

由题知2=也〃，:.h=?"km；

3

故答案为：正

3

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在直角梯形A8CQ中，ZADC=9Q°,|AB|=|A5|=1,且觉=2通.

（1）用，月，Z万表示衣，DB-

（2）求恁.丽的值.

【答案】⑴AC=AD+2AB>DB=AB-AD

(2)1

【解析】

【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解;

(2)由数量积的运算律计算.

【小问1详解】

AC=AD+DC=AD+2AB>DB=AB-AD<

【小问2详解】

......*2...2

ACDB=(AD+2AB)(AB-AD)^2AB-ABAD-AD=1-

18.已知AABC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,若。=2"，c=3,且sinA=2^Z.

3

(1)求sinC；

(2)求2・

【答案】(1)sinC=—：

3

(2)b=3或b=5.

【解析】

分析】(1)根据正弦定理即得：

(2)利用同角关系式及余弦定理即得.

【小问1详解】

由正弦定理得：=

sinAsinC

2V6_3

•，-2>/2sinC即36=，

——sinC

3

解得sinC=；

3

小问2详解】

a>c,

.**cosC=\/l-sin2C=-，

3

由余弦定理得：c2=cr+匕2-2H?cosC,

32=(2佝2+〃-2X2底半b,

即。2一88+15=0,

解得：匕=3或匕=5.

19.已知递增的等差数列｛a,,｝的前w项和为S“，若q=2,且%,七，见成等比数列.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

111

（2）求三+不+…+不的值.

»23〃

【答案】（1）%=2〃

(2)-^―

〃+1

【解析】

【分析】（1）设公差为d（d>0）,由等比中项性质和等差数列通项公式可构造方程求得。=2,由此可得

等差数列通项公式;

1

（2）利用等差数列求和公式可求得S“，由此可得不，采用裂项相消法可求得结果.

【小问1详解】

设递增等差数列｛4｝的公差为d（4>0）,

•••4,a2,%成等比数列，...*=44，即（2+dp=2（2+34）,解得：4=2,

/.an=2+2（“-1）=2〃.

【小问2详解】

,、…„n（a,+«,.）n（2n+2）,、.1111

由（1）得：S“=一^~旦=」------=+••不=不二=-----

-----1--------!■•••+----=]--------1------------------------------------=]------------=---------

S,S2Sn223nn+\〃+1〃+1

20.如图，在正四棱柱A88-A4CQ中，g6=243=2,点E为棱8乃上点，且满足

B[E=2EB.

（i）求异面直线4G与EC所成角的余弦值；

（2）棱。。上是否存在一点尸，使得耳尸〃平面ACE,若存在，求出署的值，若不存在，请说明

理由.

【答案】（1）£15；

26

（2）存在，上DF二=2.

FD

【解析】

【分析】（1）根据异面直线所成角的定义，结合余弦定理进行求解即可；

（2）根据正四棱柱的性质，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行求解即可.

【小问1详解】

VABCD-A^C^正四棱柱，

/.A.A//C.C,四边形ACCA是矩形，二AG//AC,

.••求异面直线4G与EC所成角的余弦值即是求AC与EC所成角的余弦值,

在AAEC中，EC=EA=—，AC=近，

3

23726

cosZACE

2ECAC0VH'n26

2x----x\J2

3

【小问2详解】

如图，当点尸为A。的三等分点（靠近。点）时，使得BF〃平面ACE,

作gE的中点G,连接用尸，GD,连接8□交AC于点0,连接0E,

由棱柱的性质可知FD&BG，二四边形必。。是平行四边形，B.F//GD,

又•.•点E，。分别是G8,30的中点，•••OE〃GO,

由平面公理4可得与/〃OE,又•••O£u平面ACE,仁平面ACE,

DF

与尸〃平面ACE,此时一」=2.

21.已知向量a=(6cos«yx,cos«yx),^=(sin<yx,-cos<yx)(<y>0),若函数/(x)=a-尻且函数

/(x)的周期为兀.

(1)求函数“X)的解析式：

r1

(2)已知AABC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,满足匕coS'ucsinB,且“A)=/,

试判断AABC的形状.

【答案】(1)/(x)=sin^2x-—^-―；

(2)等边三角形.

【解析】

【分析】(1)根据平面向量数量积的坐标表示公式、正弦二倍角公式、降暴公式，结合正弦型函数的周期

公式进行求解即可；

(2)根据正弦定理、正弦二倍角公式，结合特殊角的正弦值进行求解即可.

【小问1详解】

f(x)-Gsintwxcoscox-cos2cox-sin2cox--cos2CDX--=sinf2(ox-二)一1,

222I2

*.*69>0,T=——=7i69=1,f(x)=sin|2x---|—；

2a)f\6j2

【小问2详解】

C

由正弦定理得sinbcos—=sinCsin3,因为Bc(O,TI),所以sinBwO,

2

C

所以有cos—=sinC,

2

ccc

即cos