几种典型带电体的场强和电势公式

几种电荷分布所产生的场强和电势1、均匀分布的球面电荷（球面半径为R,带电量为q）电场强度矢量：4E（r）=—^竺，（球面外，即r>R）

4兀£r3电场强度矢量：4-0E（r）=0。（球面内，即r<R）U（r）=——-——q，（球外）电势分布为：44兀£rU（r）=一1一q。（球内）

4k£电势分布为：402、均匀分布的球体电荷（球体的半径为R,带电量为q）电场强度矢量：4或、1qrE(r)=，4兀£R电场强度矢量：4或、1qrE(r)=，4兀£R30f或、1qrE(r)=。4冗£r30（球体内，即r<R）（球体外，即r>R）电势分布为：4U(r)=二3、均匀分布的无限大平面电荷r28k£R30（电荷面密度为。），（r>R即球外））（r<R即球内）电场强度矢量：E（x）=—（土i）（平板两侧的场强与距离无关。）2£0电势分布为：U（r）=-r）其中假设r0处为零电势参考点。若选取原点（即带0电平面）为零电势参考点。即U0=0。那么其余处的电势表达式为：'。U（x）=xx>02£40U（x）=—xx<02£04、均匀分布的无限长圆柱柱面电荷（圆柱面的半径为R，单位长度的带电量为入。）—Xr电场强度矢量4E(r)=，(r>R,即在柱面外)2k£r电场强度矢量4-0E(r)=0。(r<R，即在柱面内)

/\A.rU（r）=ln—,（r>R即枉体外）电势分布为：],、牛0rU（r）=In二。（r<R即柱体内）2k8R其中假设"处为零电势参考点。且"处位于圆柱柱面外部。（即ra〉R）。若选取带电圆柱柱面处为零电势参考点。（即U（R）=0）。那么，其余各处的电势表达式为:U（r）=00<r<R（即在圆柱面内）U（r）=——^inrr>R（即在圆柱面外）2k80R5、均匀分布的无限长带电圆柱体（体电荷密度为P、半径为R。）0<r<R圆柱体内）电场强度矢量:e(r0<r<R圆柱体内）电场强度矢量:e(r)=£r280E(r)=pR^r28r20pr2480U（r）-空+空inR4828r00设圆柱体轴线处为零电势参考点。即U（=0）=0。U(r)r>R圆柱体内）其中假圆柱体外）6、均匀分布的带电圆环（带电量为q；圆环的半径为R。）在其轴线上x处的电场强度和电势电场强度矢量：EG）=-1竺X。其中孩为轴线方向的单位4兀80[2+R2）2°°矢量。—►qi讨论：（a）当x>>R或xT3时E（x）=。此时带电圆0环可视为点电荷进行处理。（b）当x<<R或xT0时E（0）=0。即，带电圆环在其圆心处的电场强度为零。电势：U。=二一。其中电势的零参考点位于无穷远处。4k80（2+R2月带电圆环在其圆心处的电势为：U(x)|x=0qo4兀8R0在直线的延长线上，与直线的端点距离为d的P点处:人(1电场强度矢量：(d)=£珞)；=4券007、均匀分布的带电直线(其中，线电荷密度入，直线长为在直线的延长线上，与直线的端点距离为d的P点处:人(1电场强度矢量：(d)=£珞)；=4券00(2)在直线的中垂线上，与直线的距离为d的Q点处:EqEq(d)X—Xj=2+d2电势:U^d)=InU^d)=In4兀80一l_+『lYXl+t'l2+4d2ln—l+%'l2+4d2『在直线外的空间中任意点处：『电场强度矢量：E(r)=Ei+E^^—(Sin9一Sin。)X04(Cos0-Cos。)0或者改写为另一种表示式:——即：E(r,z)=Er0+Ek其中:

XrEXrE—r4K£0—I(z—%r2+(z—1)2+r2+(z—1)2(z+1)、：r2+(z+1)2+r2+(z+1)2E=—^―

z4k£0电势：U4k£01\,r2+(z-2)2\：r2+(z+2I:,1、z+3+、,r2+(z+3)2In2%2■*1、+((—2)2（4）若带电直线为无限长时1z-■2那么，与无限长带电直线的距离为d的P点处:电场强度矢量:E(d)=2]ddo或0电势：U（d）=X「d

ln—o

2k£d0或U(r)=Xr.、2ln〜。其中假设d0或（r0）0为电势的零参考点。（5）半无限长带电直线在其端点处：（端点与带电直线的垂直距离为d）电场强度矢量：E—Ei+Ej。其中|E|—E‘-‘y8、电偶极子P的电场强度和电势（1）在电偶极子的延长线上x处：其中（X>>l）电场强度矢量：E。）=-^翌或E（r）=电势：UG)=-^P或U(r)=4k£04兀£x24k£r2（2）在电偶极子的中垂线上y处：其中（Y>>1）——电场强度矢量：E（y）=-1°电势：U(y)=14丸£

o（3）在空间中任意点r处：其中（r>>1）电场强度矢量：（采用平面极坐标系）E(r)=—4兀£kr302pg扁+^^nl^;)r3JP!——其大小为E=、・3Cos2。+1,4兀£r2

0E方向为甲=arctgEr=tg-1［迪］=tg-1f1tgo］。其中中为E与r0之间的夹角。kEJk2Jr►(A1PCosl1P•r电势：U(r)==。4兀£r24k£r3o0电场强度矢量的另一种表达式为：E=一1一Lp+3(r•p》］式中：r=F0为矢径-方向的单位矢量。4k£r3ee0上式电场强度矢量的表达式就是将电场强度E矢量分解在电偶极矩和矢径-的方向上。可以证明：该表达式与电场强度的平面极坐标表达式是相等的。若采用二维笛卡尔坐标系(平面直角坐标系)：因为各物理量之间的关系为：r2=x2+y2，Cos9=X=尤rv'x2+y2所以电势的表达式为：UG)=—(P、4丸£0k2+y2九———而电场强度的表达式为：E=Ei+Ej。其中：6U_13Pxy世4兀£0(2+y2)2其大小为:iP.；4x2+y2若采用三维笛卡尔坐标系(即三维直角坐标系)则有如下关系式:八zzr2=x2+y2+z2，CosQ=—=,r、；x2+y2+z2那么，电势的表达式为:U(r)=1Pz4k£0(2+y2+z2)2—►—-—-—-而电场强度的表达式为：E=Ei+Ej+Ek。其中：E=dU=P3xz.E=_8U=P3yzx办4K£0(2+y2+z2)2y世4K£0(2+y2+z2)2

dUPGz2-X2-y2)E-zdz4k809、带电圆盘在其轴线上距离圆心为乂点处：电场强度矢量：E(x电场强度矢量：E(x)=呢-0V\X2+R2J对上式结果进行讨论:q—q(a)当x>>R或x—8时E(x)兰-一i或E(r)兰q一r000此时带电圆盘可视为点电荷进行处理。(b)当X«R或X-0时，］则E(X)=2-i。即此时带电圆盘可视为无限0大带电平板进行处理。电势:大带电平板进行处理。电势