人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第六章第2节　平面向量基本定理及坐标表示

第2节平面向量基本定理及坐标表示

睡课程标准要求

1.理解平面向量基本定理及其意义.

2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.

②嫡教材夯实四条

必备知识•课前回顾

的知识梳理

1.平面向量基本定理

⑴定理:如果ebe?是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一

平面内的任一向量a,有且只有一对实数入1,入2,使a=X161+X2e2.

(2)基底：不共线的向量e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基

底.

2.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a=(xi,yj,b=(x2,y2),则

a+b=(xi+x2,y』)，a-b=(x)-x2,y-y2),

入a=(入Xi,人力),|a|R*+资.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(xi,y,),B(x2,y2),则力B=(x2-xi,y2-yi),

IAB|=J（%2一%1）2+（为一%）2-

3.平面向量共线的坐标表示

设a=(xi,yi),b=(x2,y?),其中aWO,bWO,a,b共线02kzm包.

I座重要结论

1.若a与b不共线，且入a+ub=0,则入=口=0.

2.已知P为线段AB的中点,若A(xi,y),B(X2,yl,则P点坐标为

AI+X2yi+y2\

2'2.

3.已知AABC的重心为G,若A(xby),B(x2,y2),C(x3,y3),则

/%1+%2+%3yi+y2+y3\

'3，3

—㊀对点自测♦-

1.(必修第二册P33练习T1改编)已知平面向量a=(l,l),b=(l,-1),

则向量衿|b等于(D)

A.(-2,-1)B.(-2,1)

C.(-1,0)D.(-1,2)

解析：因为a=(l,l),b=(l,-1),

所以色吗吗一》

所以|b=|+|)=(-1,2).故选D.

2.(必修第二册P33练习T5改编)若P(1,3),P2(4,0),且P是线段PR

的一个三等分点，则点P的坐标为(D)

A.(2,2)B.(3,-1)

C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1)

解析：由题意可知P$2=（3,-3）.

T1T

若P1P、PIP2,则P点坐标为(2,2);

若P1P=|P$2,则P点坐标为(3,1).故选D.

3.已知向量a=(2,3),b=(-l,2).若ma+nb(m,n£R)与a-2b共线，则

n---------------,

解析：ma+nb=m(2,3)+n(-1,2)=(2m-n,3m+2n).

a-2b=(2,3)-2X(T,2)=(4,-1).

因为(ma+nb)//(a-2b),

所以-(2m-n)-4(3m+2n)=0,

所以2m+n=0,

所以”=[.

n2

答案《

4.已知%BCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标

为.

解析:设D(x,y),则由n=发,得(4,1)=(5-x,6-y),即产=[一：解得

(1=o-y,

(x=1,

[y=5.

答案：(1,5)

类中溶支法窠四算

关键能力•课堂突破

因考点一平面向量的坐标运算

1.已知0为坐标原点，点C是线段AB上一点,且

A(l,1),C(2,3),|品|=2|品1,则向量法的坐标是.

—>—>

解析：由点C是线段AB上一点，|BC|=2|/C|,

—>—>

^BC=-2AC.

设点B的坐标为(x,y),则(2-x,3-y)=-2(l,2),

即于7W解喊-7

=_4,(y=7.

—>

所以向量OB的坐标是(4,7).

答案：(4,7)

2.如图所示，以ebe2为基底，贝Ia=.

解析：以e的起点为坐标原点,e,所在直线为x轴建立平面直角坐标系,

则e,=(1,0),e2=(-1,1),a=(-3,1),令a=xei+ye2,即

(-3,l)=x(l,0)+y(-l,l),则优[3,所以1=

即a=-2e1+e2.

答案:-2e】+e2

3.已知A(-2,4),B(3,T),C(-3,-4).设/8=a,BC=b,CA=c,且

CM=3c,CN=~2b.

(1)求3a+b-3c;

(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;

(3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.

解：由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).

(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=

(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).

(2)法一因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),

所以MMk5二解得｛仁i

法二因为a+b+c=O,

所以a=-b-c,

又因为a=mb+nc,

所以mb+nc=-b-c,

所以俨=：，

in=-1.

⑶设0为坐标原点，因为盛=。命-鼠=3c,

—>—>

所以0M=3c+0C=⑶24)+(-3,-4)=(0,20).

所以M(0,20).

TTT

又因为CN=ON-OC=-2b,

■—>—>

所以ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),

所以N⑼2),所以MN=(9,T8).

一题后悟通;

向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行,

若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中

要注意方程思想的运用.

慢考点二平面向量基本定理及其应用

CWD

——,—>

如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若/C=入AM+PBN,

贝ij入+P=，

解析:法一由BN=~^AB+AD,得/C=入AM+uBN=(入

一248+(”)AD,

T—>—>

y.AC=AB+AD,

a-^=i,

所以％2解得1会所以入+u=/

3+〃=1,

法二

以AB,AD所在直线分别为x轴,y轴，建立平面直角坐标系，如图所示,

设正方形的边长为1,则4M=(1,3,BN=(-p1),AC=(1.1),

TTT11

因为/C=uBN=(X-jU,U),

A--|i=1,(A=~,

所以h2解得《5

打「1，T，

12

所以入+p=j.

答案q

R邂题策喳

1.先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,

再通过向量的运算来解决.

2.在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,

要熟练运用平面几何的一些性质定理.

3.建立适当的坐标系,利用向量的坐标运算.

［针对训练］

1.如果ebe2是平面Q内一组不共线的向量,那么下列四组向量中，不

能作为平面内所有向量的一组基底的是()

A.ei与ei+e2

B.e「2e2与ei+2e?

C.e1+e2ei—62

D.ei+3e2与6e2+2ei

解析:法一选项A中，设ei+e2=入eb

则"二f无解；

选项B中，设ei-2^2—入(ei+2e2),

则O无解;

选项C中，设ei+e2=入(ei-e2),

贝二。无解；

选项D中，ei+3e2=1(6e2+2ei),所以两向量是共线向量.故选D.

法二只有D项的ebe2的对应系数成比例.故选D.

2.

A

0RN

如图,A,B分别是射线OM,ON上的点,给出下列向量:①小+2晶;②

防;③]&+[茄;④晶，若这些向量均以0为起点,则

终点落在阴影区域内(包括边界)的向量是()

A,①②B.①③

C.②③D.②④

解析：由向量共线的充要条件可得当点P在直线AB上时,存在唯一的

TTT

一对有序实数U,V,使得。P=uO/+vOB成立,且u+v=l.

—>—>—>

可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是满足0P=uO4+v0B,且

u>0,v>0,u+v>l.因为1+2>1,所以点P位于阴影区域内，故①正确；同

理③正确;而②④错误.故选B.

感：考点三共线向量的坐标表示及其应用

口角度-利用向量共线求参数

(1)已知向量a=(2,1),b=(x,-1),且a-b与b共线，则x的值

为.

(2)已知向量a=(l,2),b=(2,-2),c=(l,入).若c〃(2a+b),则入

解析：⑴因为a=(2,1),b=(x,T),

所以a-b=(2-x,2),

又因为a-b与b共线，

所以(2-x)X(-1)-2x=0,

所以x=-2.

(2)由题意得2a+b=(4,2),因为c=(l,入)，且c〃(2a+b),所以4人-2=0,

即人告

答案：⑴-2(2)!

,解题策略I

如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若

n

a=(xbyi),b=(x2,y2),则a//b的充要条件是Xiy2-x2yi=0.

幅度二利用向量共线求向量或点的坐标

dO在4ABC中，已知点

T1TT1T

0(0,0),A(0,5),B(4,3),0C=-OA,0D=-OB,AD与BC交于点M,则点M

42

的坐标为.

解析：因为点0(0,0),A(0,5),B(4,3),

所以点C(O,J),同理点D(2,；).

42

设M的坐标为(x,y),

则(x,y-5),而40二⑵一，，

T—»

因为A,M,D三点共线,所以AM与40共线，

所以-京-2(丫-5)=0,即7x+4y=20,

而或二(x,y-｝，(4-0,3-|)=(4,?,

->—>

因为C,M,B三点共线,所以CM与CB共线，

所以4-4(丫-9)=0,即7x-16y=-20,

44

,19

.(7x+4y=20,^(x=~,

由匕犷16y=-20,侍(y=2,

所以点M的坐标为号,2).

答案:号,2)

，解题策略

引入参数表示出未知点的坐标，借助向量共线的坐标计算求解便可.

［针对训练］

1.已知向量a=(l,1),点A(3,0),点B为直线y=2x上的一个动点，若后

〃a,则点B的坐标为.

—>

解析:设B(x,2x),则力B=(x-3,2x).

—>

因为AB〃a,所以x-3=2x,即x=-3.

所以B(-3,-6).

答案：(-3,-6)

2.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-l,2),c=(4,1).若d满足(d-c)

//(a+b),且|d-c|=V5,求d的坐标.

解:设d=(x,y),则d-c=(x-4,y-1),

又a+b=⑵4),|d-c|=V5,

maf4(x-4)-2(y-1)=0,

以1(%-4)2+(y-1)2=5,

解得：::

所以d的坐标为(3,-1)或(5,3).

息备选例题

->

CUD在平行四边形ABCD中,A(l,2),B(-2,0),4c=(2,-3),则点D的

坐标为()

A.(6,1)B.(-6,-1)

C.(0,-3)D.(0,3)

—>T—>—>-4—>—>

解析:4B=(-3,-2)=DC,所以/D=4C+CD=4C-/B=(5,T),贝ijD(6,1).

故选A.

C®D向量a,b,c在正方形网格中，如图所示，若c=、a+ub(入，RQ

R)此等于()

A.1B.2C.3D.4

解析：

以0为坐标原点,建立平面直角坐标系,设每个小正方形边长为1,可

得a=(-l,1),b=(6,2),

c=(-1,-3).

因为c=Xa+kib(X,uGR),

所卑二IL'

(-3=2+2/1,

解得人=-2,u=-"所以且4.故选D.

2M

CM)已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与0B的交点P的坐标

为.

解析:法一设0为坐标原点，由O,P,B三点共线，可设b=入场=(4

入，4人)，则AP=OP—。4=(4人—4,4人).

又成•=&?-&=(-2,6),

由3与船共线，得(4X-4)X6-4XX(-2)=0,

QTQT

解得入4,所以。P=1OB=(3,3),

44

所以点P的坐标为⑶3).

—>—>—>—>

法二设点P(x,y),0(0,0),则。P=(x,y),因为。8=(4,4),且。「与。8

共线，所以即x=y.

44

—>—>—>—>

又AP=(x-4,y),4C=(-2,6),且4P与4c共线，

所以(x-4)X6-yX(-2)=0,解得x=y=3,

所以点P的坐标为⑶3).

答案：(3,3)

迪口"fcdi/灵活》唬密致提魁

0选题明细表

基础巩

知识点、方法综合运用练应用创新练

固练

平面向量的坐标运算1,7,8

平面向量基本定理及应用2,4,5,910

共线向量的坐标表示及其

3,615

应用

综合问题11,12,13,14,1617

A级基础巩固练

1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量的坐标是(D)

方-i_2~'~~X

A.(2,2)B.(-2,-2)

C.(1,1)D.(-1,-1)

解析：因为A(2,2),B(l,1),所以几=(-1,-1).故选D.

2.在下列向量组中，可以把向量a=(3,2)表示出来的是(B)

A.ei=(0,0),Q2=(1,2)

B.e尸(—1,2),Q2=(5,—2)

C.ei=(3,5),©2=(6,10)

D.e尸(2,—3),G2=(-2,3)

解析:对于A,C,D都有③〃e2,所以只有B成立.故选B.

3.设向量a=(m,2),b=(l,m+1),且a与b的方向相反,则实数m的值为

(A)

A.-2B.1

C.-2或1D.m的值不存在

解析：向量a=(m,2),b=(l,m+1),因为a/7b,所以m(m+l)=2X1,解得

m=-2或m=l.当m=l时,a=(l,2),b=(1,2),a与b的方向相同，舍去；当

m=-2时,a=(-2,2),b=(l,T),a与b的方向相反,符合题意.故选A.

4.在平面直角坐标系xOy中,已知A(l,0),B(0,1),C为第一象限内一

—>—>—>

点，ZA0C=-,且0C=2,若。。=XOA+口OB,则人+P等于(A)

4

A.2V2B.V2C.2D.4V2

解析：因为0C=2,NAOCW，C为第一象限内一点,所以C(V^,a),

4

TTT

又OC=入。4+uOB,

所以(加,应)=人(l,o)+u(0,l)=(x,p),

所以入=u=V2,所以入+u=2V2.故选A.

5.（多选题）设0是平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD的交点,则可

作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是（AC）

TT->—>

A.AD^ABB.DA^BC

TTTT

C.CA^DCD.OD与OB

解析：如图，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，对于

—>—>—»—>

人,/。与/8不共线,可作为基底;对于B,D/与BC为共线向量,不可作

为基底；对于C,后与民是两个不共线的向量，可作为基底；对于

D,亦与法在同一直线上,是共线向量,不可作为基底.故选AC.

6.(多选题)已知向量。4=(1,-3),0B=(2,-1),0C=(m+1,m-2),若点

A,B,C能构成三角形，则实数m可以是(ABD)

1

A,-2B,-C.1D.-1

2

—>—>—>

解析：若A,B,C三点不共线即可构成三角形.因为/B=0B-04=

(2,-1)-(1,-3)=(1,2),ic=0C-(M=(m+l,m-2)-(1,-3)=(m,m+1).假

设A,B,C三点共线，则1X(m+l)-2m=0,即m=l.所以只要mWl,则

A,B,C三点即可构成三角形.故选ABD.

7.已知向量a=(1,3),b=(-2,k),且(a+2b)//(3a-b),则实数k=

解析:法一a+2b=(-3,3+2k),

3a-b=(5,9-k),

由题意可得-3(9-k)=5(3+2k),解得k=-6.

法二若a,b不共线,则a+2b与3a-b不共线，

这与(a+2b)//(3a-b)矛盾，故a,b共线，

所以k-3X(-2)=0,解得k=-6.

答案:-6

8.设向量a=(-3,4),向量b与向量a方向相反,且|b|=10,则向量b的

坐标为.

解析:法一不妨设向量b的坐标为(-3m,4m)(m〈0),

则Ib|=J(-3m)2+(4m)2=10,

解得m=~2(m=2舍去)，

故b=(6,-8).

法二与a方向相反的单位向量是T),

\a\555

故b=10(|,-》=(6,-8).

答案：(6,-8)

9.如图，已知在AOCB中,A是CB的中点,D是将几分成2：1的一个内

—>—>

分点,DC和0A交于点E,设OA=a,OB=b.

⑴用a和b表示向量OC,DC-,

—>—>

⑵若。入。4,求实数人的值.

T7T

解：⑴由题意知,A是BC的中点,且由平行四边形法则,

^OB+OC=2OA,

所以左1=2&-静=2a-b,

TTT7q

DC=OC-OD=(2a-b)--b=2a--b.

33

(2)由题意知,辰1〃/，故设位'=x命.

-'—>—>—―

因为EC=OC-OE=(2a-b)-Xa=(2-X)a-b,DC=2a--b.

所以(2-人)a-b=x(2a~|b).

因为a与b不共线，由平面向量基本定理，

2一入=2%,%=-3,.

得-解得:故人

A=q5

5

B级综合运用练

10.已知在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=1,AC=2,D是Z\ABC内一点，且

NDAB=60°,设G=入几+P前（入，u£R）,则△等于（A）

A.—B.—C.3D.2V3

33

解析:如图，以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴

建立平面直角坐标系，则B点的坐标为（1,0）,C点的坐标为（0,2）,

因为NDAB=60°,所以设D点的坐标为（m,ai）（m关0）.

—>TT

AD=(m,V3m)=入AB+/AC=人(1,0)+u(0,2)=(入，2u),则入=m,且

V3

F，

所哈平故选A.

11.如图，在RtAABC中，NABCg,AC=2AB,ZBAC的平分线交AABC的

——>

外接圆于点D,设/B=a,4C=b,则向量/D等于（C）

1

A.a+bB.-a+b

2

i?

C.a+-bD.a+-b

23

解析:设圆的半径为r,

在RtAABC中，NABCg,AC=2AB,

所以NBAC』,ZACB=->

36

又NBAC的平分线交AABC的外接圆于点D,

所以ZACB=ZBAD=ZCAD=-,

6

则根据圆的性质得BD=CD=AB,

又因为在RtAABC中，AB=，C=r=OD,

所以四边形ABDO为菱形，

TTT1

所以/D=/B+/O=a+»故选C.

12.已知0为坐标原点，向量£1=(1,2),而=(-2,-1),若2AP=AB,则

I0P|=.

—>—>

解析：因为2/P=4B,

所以

所以20P=0A+0B,

所以上苫&+晶)=(-泉|)

所以|b|二i!i,V2

4十42

答案q

->——>

13.已知点P为4ABC所在平面内一点,满足mPC=-3PA+PB(m>0),

SAPBC=|SAABC,贝I」m=.

解析:如图，建立平面直角坐标系，

设B(a,0),A(Xo,yo),P(x,y),

由SAPBC^SAABC,得丫=土拳

—―)

所以PC=(-X,-y),PA-(x0-x,yo-y),

—>

PB=(a-x,-y),

由mPC=-3PA+PB,

f_mx=-3%o+3%+a-x,

f

(-my=-3y0+3y-y,

(3x0-a

所以］:7n

y=皿，

V2+m

乂尸土拳

所以2曳=±九,解得m=7或m=-ll,

2+m3

因为m>0,所以m=7.

答案：7

T—>—»

14.AQAB是边长为6的正三角形，点C满足QC=mQ4+nQB,且m>0,

—>

n〉0,m+n=2,则1QC1的取值范围是.

解析:如图，建立平面直角坐标系，

所以A(-3,0),B(3,0),Q(0,3V3),

—>—>_

所以Q/=(-3,-3V3),QB=(3,-3包

所以QC=mQ4+nQB=(-3m,-3V3m)+(3n,-3V3n)=(3n-3m,-3V3m-

3V3n),

—>

所以QC12=9(n-m)J+27(m+n)2：=36m2+36n!+36mn,

因为m>0,n>0,m+n=2,

所以n=2-m,mG(0,2),

所以|丘12=36[m2+(2-m)2+m(2-m)]=36(m-1)2+108,

所以由二次函数的性质知IATW[108,144),

所以£[6百，⑵.

答案：[66,12)

15.已知a=(l,0),b=(2,1).

(1)当k为何值时，ka-b与a+2b共线；

⑵若旗=2a+3b,fiC=a+mb,且A,B,C三点共线，求m的值.

解：(l)ka-b=k(l,0)-(2,l)=(k-2,-1)