微积分课后习题答案

习题1-1

Y-I

,1.求下列函数的自然定义城：(2)y=arcsin—;

(1)y=：v1;

唐由一is-------<1,解•粗

(XHO[-lSx<02

»,，即

11--20{0cx41-1CW3.

故所求定义我为

故所求定义城

。十1,刃・

0=1-1.0)11(0,11.

(3)y=\3-x+arctan;

(4)y-

f3-x>0fx<3

解由，即,3-x>0x<3x<3

解•

IXH0、且Xf0|x|-l>0|x|>lX>\3fcX<-1

故定义域为所以定义域为

D=(-oo,0)U(0,31.l〈x<3或xc-L

2>0

由

“一1#1

为1<.r<273k.2c.v<4.

2.下歹!J备料中,送i牧是否相同?为什么?

(1)/(-V)=Igx?与g(x)=2lgx;

(2)y—2x+1与x=2j‘+1.

廨(1)不相扃.由于也*2的定义疲力(-8,0)U(0,+8),

而21内的定义域为(0,+8).

(2)4目E,虽然它TH的自变量所用的字母不E,但其

定义城和对应法贝!J均才日后1,如田:

7.下判巫致中物团要攵，呻一足奇迹斐欠，哪*既非

奇•西攻攵在T禹的坐攵？

e*+e-”

(1)y—tan.v—see*+1;(2)y=--------------;

(3)y=\A7cos.r|eVO!iv;(4)y=x(x—2)(JT4-2).

角零(])匿口上号的物又非谓里救；

(2),(3)NT黑函举攵；

(4)是令函外.

8.下列备函数中哪注是周琳函数？对h周期函数，指出

共用期：

(1)y=COS(JC—1)；(2)y—jrtanx;

(3)y=sin2x.

解(])的同期先2五；

(2)『=xtanK是非周期国数；

的周期力兀,21s2

(3)y=sinx=z59Xe

9.•iiE,明：/(*)="sin”誓(O,+8)

■ire壬WH””>O,¥□自备-----白切”4.

2*7t+g>M.

-4*^JTn,M5C.xk—2A兀+>M仁(。>4-co),

声•手TIJ\xk)|=2ATC+>Af.

/」(x)在(。9+8).

习题1-2

1.求下列函数的反困数：，“2X

⑵y=vr^-

...1-x2+1

(1)/=；-;

l+X2*

解由"7T~7"*2x=(2x+l)j-,

,2+1

1—X

解由y=-------■<1-x=y+刘

-1+x*-►2xO-y)=y,

1,x<0

2.■f(x)=10,x=0,求/(x-I),f{x2-1).

1,x>0一•

V

1,x-lVO1,x<l

f[x-1)=彳0,x—1=0=<0,x=l.

1,x—1>01,JC>1

O<J1-JC21

(4)I，

1—JC2>O

Iyf={JC|—1WxM1}=[—1,1].

6-曰4，(；)一年+2r"，*./">,/<r2+1>

tf=~9JSJJr=2,

八〃>=/(9)=乎+2/=多"+杀，

-/(r)=5,+,

_/0心1>=5(，2+1)+«金」-

朱口菱.

7./,[0«")]=1»cosJV9o«")=slnf\x).

--•1+cos-v=N(1—sin二专)，

-*-/[。<”>]—14-COSA?

=2(1—sinN专)

=211—02(*>].

yx-v)—2<i—AT2).

8./'(.v)=sin.v,/,[^(x)!=1-x2,次。(“)及妥定义俎.

•罕,//[W(K)]=1—&2=sin"(x)

.".^?(x)=arcsin(1—x2)

故|1一*2|式i_^定义诚为[_J2,)2

习题1-3

2.某人手中持有一年到期的面额为300元和5隼到期的面

1.火车站行李收费现定如下：当行李不超过50kg时■.按

每千克0.15元收费，当超出50kg时\超量部分按每千额为700元的两张票据,皴行贴现率为7%,若去银行遗

克0.25元，试咫立行事收费/（x）（元）与行李贵量工（kg）行一次性票据转让，银行所甘的贴现金额是多少？

之间的国数关冢.

解由公式可得，贴现金额为

解传题意，该函数关系是

O.I5x,0<50,P二&+%

f(x)='r+l'(r+l)5

0.15x50+0.25(x-50),x>50

0.15x,0<x<50,其中%=3叱«2=700,r=0.07.

7.5i0.25(x-50),x>50.

-D_300,700

9.收音机每台百价为90元.成本为6(1元,厂方为鼓励10.设某商品的成本函数加收入函数分别为

销售商大量采购，决灾凡是订购量超过100台以■上的,每C(g)=7+2q+/，R(q)=lUq,

多订购I台，•&价就降低1分，但最低价为每台75元.

试求：。)该薪品的利涧函数；

(I)将每台的实际首价p表示为订购量x的函我；

(2)销量为4时的总利询及平均利涧;

(2)将厂方所荻的利润L表示成订购量.r的函数；

(3)某一商行订购了1(100台,厂方可获利润多少？(3)销量为10时是盈利还是号损？

90,x<10(l

解⑴利涧的数L(q)=R(q)-C(q『刖-7-q1;

解⑴依想念，得p=90-0.0l(x-llN)),l(l0<x<1600

2

75,x>1600(2)£(4)=8X4-7-4=9,

(2)由(1)及已知条件，海

30x,x^lOO

L=(31-0.01x)x,l(M)<x<160(1

(3)v2

15xx>1600L(10)=8X10-7-10=-27<0,

(3)当x=1000st,1=(31-0.01x1000)x1000=21000(元)销量为10时亏损.

11.床上融中商品的叠亏平衡热并说明该商品随销量变12决裔品的需米函款为。广M-LW,供给函款为

动的叠翎况JP-5,其中价格P的单位为元，米;

(1怖场骑价格；

解令均)二即-7-『二Q.%二1,忆7

(2)若每销售一单憔渴,政府收税I元.此时的平街价格,

销员大于7或小于1时亏掷

濯(DQ=&吃即M-L5PEP-5

髓大于艮小于时醐；

17P“,45(元)，

M为陵7时丧肝在(2)14-BP=4(P-l)-5得M18.

习题1-4

1・皿*一隹皿”,洪口下的外歹u{“,，}哈K,匕g势,w土

艮：

=21

(1)(2)“”=(-1)**—〃(3)”“+*

(4)4〃一2

1

角彳(1)一见limx〃=0.

927si'243729n—>8

1_

(2)lim=o.

，2，5，6，7，fl->oo

2--县glim=2.

27'125n—>g

4

(4)_1o导JJJLlim=1.

3，'7891Oft->8

6,对数列｛xj,若limx"“二%limxn=@,证明：

5,设数列｛x,｝有界，又lim.%=0,证明：limx,j.=0.4->«1-»«

lim.1*0,

证因为｛X"｝有界，a.3A/>0,使得对一切aWN均有■fW

证蛆XUT=。，.•・¥£>(),1M>。，当A>N|时.总有

|*,|<.W.匕一|一。|<£；

又limx=d,351>0,当QM时，总有

又：!叫『"=0,故V£>o,m、>0,当”>，、时，总有H

凡一小£.

伉®TH|<JW*现在取M=max｛M,M｝，则西*〉Nj时，同时■成立

\xn.ra<e与|xa-«|<£,

从而|^J.-0|=|x.|-b，|<,W--^=c.

最后取N=2M+1,则当">N时,无论”2*-1,还是

n=2k,均有k>M，由上式，从而总有

；.MX

H.F"=0.|x,-«|<t,.-.Iimx,=o.

习题1-5

1.在某过程.中，音/(-«)次•极PR,g(K)无极P艮，试字!J忻：

/(.v)^(x)是否无极PR..若聂_,请S兑明3a由：若不是，T*

平反例谀明".

解不一例如，

limAT不存在，lim工将在，

Xf-HJOJTf-HXX&

TU

limx--^—lim--0

1,

X»KCXx>♦：»X

存在.

2.用函数极限的定义证明：

2.用函敏机限的宝义证明：(2)limsl2rY=o：

2.用函数极限的定义证明：(3)lini—!—=1；千2—|

2.用函牧枢IP艮的定.义证明：(4)lim^------

*f2.V-1

|x-l|=|14-x-2pl-|x-2|>一，江所以，任给£>0,要使

|x-2|2<6T,

<2|x-2|.

|X-1|

因此，V£>O,m<J=min当I"一2Q时，有

(发｝当0<|x-l|<8时.书口为

贵川言卜吁21<£'

3.当x—►2yx2—>-4.)司6,贝U—|x—2lv万

吩IA41VO.OOI2

J9»1<ATv3•总彳导

|j,-41Vo.OdAP|—4|v0.001,

夕尔

|AT—2|-|A--4-2|<5|jr—2|<0.001(；3v=+2vS),

4.■£■+•5^^，邳y(_x->=嗟iX—>OE-白。*S5W--

E3

./'(O—O>=1!m=lim=—1,

JC——>O—<*x—>-<>—O

/K(I+<>)=limI，=lim=+1,

x><*->-O-X_V->0-4-0x

./XO+O)x./Vo—o)_

M—>IB-

S.TdE.e^：设口"5^^1¥攵/(X)■“f*oBrt-Pa,贝U^

./TAT)JS.A-O/=^r-3r?-.

皿/lim贝U\/e>o.B>O,田ov|“一”01Vs

">v<>

P".七口力r|八")一K|va.

A—£vy(jc>vK+a,

KJ义/VZ—mux{IX—EI•IX+£TI}.贝U

|/«*)|v，八

/“<>g*，y公产C70(“o,4^)-T*1=^r-5^-

6.*Ui*斤lin.e■八刁三，聿导斗缶型“日方生军纪.艮HW>-V-><>小邑？

-W-►8

X率<1>X—>-4-00J；---------><>>■>贝"e1/"—>1

X—>—OO>■—>。—‘1»Ue''X->1

JK,-►«»

兄题3-fetaJC―►<>,.Tt".1—>-+-OO.jntle—►十oo.

1.至

(1)小白勺欢/兀，小；(X)1/

(2)*4无分小；47〉

(3)无多小足----A迎签工；(7)

(4)K个K-小gj®F是小；(x)

(5)K个无，大的户一犬J8L无方K.(x)

角卒(1)才艮为兀为刁、白勺启X也出不工苍京；

(2)华旦5作为无为小啦睡一啦就欢，府诠正确；

(3)*R堆无药小合勺穴.文田土工研；

(4)转询平工确，例，当”—>0时，X2—>0,“3-0.也

Cx2/X3)―>8；

(5)珏转不正确，削，当”一0心，(l/x2>—>QO,

(—1/AT2)—>8,谆(I/AT2)4-(―1/JC2)―>0.

4.次下葬极P艮并i兑明理由：(3)lim------------

.…o1—cos”

解由于lim（ICOSN）=0,所以

x>0

lim------------=oo.

*f01一cosx

注：也可五接写成lim------------=oo,但不方巨写成

Xf01-COS.V

lim—•二—=oo♦

V>o1-cosX0

5.屈I姜攵y=ATCOS-V（一89+00）百^刁亍劣》?当X—>+OC,

,茎攵是否R无方必？为什么？

解,="cosx在（一<30.+8）内关界.一弊上9VAZ>O»*共为

，名犬巨我维U*=2k7t（人三Z）,T更W

|yC2Arre）|=|2Arncos（2k7t）|=|2AJT|>M.

口&-尔|k\=>~（.k^Z；）.

Z7T

坦产="COS"当Xf+8日+书P不反/为大?

•pyX„=2〃兀+矍（“右N）.当x—►+oon—>oo,,v„—►+8,

~^TA.y（x-„）=|（2〃兀+爰）cos（2〃兀+专）|=O,

三百返明y=.vcosx冯x—+8Brt—不w迁方大.

6.-lit.V->X0Bt,月(X)是有界■*,/(X)是无穷大V.证明：7.议XTX。时,|g(.\)|?“(M是一个正的常数)J(.vj是无

/(x)士g(x)是无穷大・•.

穷大计.证明：〃x)以幻是无穷大量.

游因为当XTX。时，g(x)是有界景，箝r是无穷小•》,

解因为当x74时，」一“J_(有界量)，-L是无穷

g(x)

故咎Y是无穷小*.又g(x)M/(x)

fix)

小量，所以

习题A*)±#(x)-/(x)［土出'

工2-24+1

1.计算下列极限；(1)lim之口；1.计算下列极限:（2）lim

*T1x2-1

当L1"内1嬴

是无3大/

22

r-3”3皿,.x-2x+1_..x-1_0

解|而『二3二0解lim----；~--_lini——二一0n•

—mW+l3+1x->ix+i2

4.已知lim/(x)=4及liing(x)-LlimA(x)-0.水:

.r»r解(3)lim[/(x)-g(x)]=limf(x)-limg(x)=4.

A(x)

⑴阿瑞(2)limXTCX->CXTC

…f(x)g(x)

(4)lim|/(x)./f(x)|:

x-»r(4)lim[/(x)A(x)]=lim/(x)limA(x)=0.

⑸lim烈2

KTCHTCETC

h(x)

解(1)=—--------'

r*f(x)lim/(x)4(5)lim^^=8(注意到lim-^=0).

limh(x)

h(x)x-»cx-wg(x)

(2)limx->ch(x)

JTTC/(A)g(.v)lim|/(x)g{x}]

x-w

丫z—2v+A

5.lim----------------二4,求A的值..若(三?_姑-圻=求。、力的值.

x->3X—36lim0,

X'x+1/

一..x2-2xtA..x2-9-2(x-3)

解法1m因lim----------------=lim---------------------

jr-*3X—3JC—>3X—3

解22

「/,4+3]/­-x+1.(l-fl)x-(o+6)r+(l-Z>)

=iISnn(x+3)2♦—=4,

*T31_X-3_x+lX+1

要使题设极限为0.当且仅当

解法2因为lim(.r-3)-0,limA"一小

“♦3xf3x-31-u=0,a+b=0,

所以lim(x2—2x+A)=9—6-t-A=0・

x-*3

即a=1,b=-\.

故k=-3.

习题1-8

1.计算下列极PR：1.计笄下列极限：1.水下列极PH:

(1)limtan3x；..Ian.r-sinx

x-»OX(2)limxcotx；(3)hm---------------;

xf0J・X

»11m小生=llmsi9更.3

解lim.vcotx=limcosx

家》©xx-»o3xcos3xtanAsin\sini।1J

MT。SInx*hm-hm—1

r-»*Xx-»0X\cosx)

=1・(IT)

=1.=0.

1.计舁卜步。极F艮：

i,计rr伽;1.-i-t-：

(s)„2arcsinx

(7)Inn；

...v->o3x

4].SI0.VJk

q..Zarcsinv2,.arcsinx

d；解lim—hm

A->o3x3-v->ox

令sin/)/

M钊“-i,用时­而

sinxsinbi-/soil,

lim—=hlim——---=lim—4

2

JHIH-XHOIM(lt

3-

5.孝JE衩尸艮才存在贝""iiE•明：

(

(1)Iim“-^1------1-2I+…+2-----)=1;

"->R1〃工+兀ft?+2兀n4-mtJ

n)W"・一导,

n--〃“+”-九M”1(〃12十九T---〃-2/+2,-冗----1-•••+，-，2+-〃--兀---/，>工+兀

6.举J用极P艮存在注贝;）证明牧手!J

V2,T2+外，、，2+V2+V2........

白勺极刑艮石■在，升水出修板尸艮.

■iiE显然xe+[>X„,{K“}J5L华调土瞥加的.

文•」x[=〜豆<=+I,无殳若x„<鼻+1,贝！J

-*■„+1=^2+x„v2+42+1

<V2+242+1=VcTT+Tp=Vz+1.

由牧学归炳9去知V"WTV,58Bkx“v。+1,即

7.42Mo元存入银行，按年利率6%进行复利计算，祠如'■&有一笔按年利率6.5%的投资，16年后讨到1200元，问

当初的投资旗为多■少？

隼后的本利和为多少？解设当初投资额为x（元），则

解按连续复利计算公式将20年后的本利和为x”*12»O

所以x=12OOe-机幄*=746（元）.

2000,冷姗=2000s6640伉）.

即当初的投资额为746（元）.

习题1-9

1.当K->0时，X-.P与x'-x’相比.哪一个是高阶天2.JtU.V>I»d-,无至小1-A-J=T(1-.v2)JCHJSlWh?

ws?

穷小？

ito为

1(l-x,)1

q4工i・x2-xy..x-x10

解由于lim---------=hm---------=-=0A,limlim(1x)-I.

XT®X-X1x-*0I-X1x-♦I1—xJT-♦12

W■以当Z—>12.1XI。*(I"N)工WT介兀/<1、•亦叩心

因此.当.VT0时，X?一冥3是比x-K?高阶的无穷小.

JtEWb无刃小.

3CO»I)〜(1

3.当ATT0时.-Jax3-Va与“相比几阶尢玄小.>oP.

M­•Ilm4"，言:二善..Hm一£古工？-J

3ME•.•lim(I4-CO9*»2.*M―><>

Xs**•x^(\ia♦X*4--ZB)-••»

ln(I+“)-x.

«inX«4»X,4!<M6'•,A•、

_Ilm——

J9+2+75.-.二二=Um-------------------------------=Ilm1+…・工)

“一♦•2JTJT-»»2\xxJ

1一：b(•工于aI.

2，，

sln.v4-.r2co«*)-*^<I-♦-cos.r)ln(1-♦-.r>j«UJd.

.1.当*T0心，、'"+"3+VS(0＞。)为xg三所无穷小.g—人—t介几句小.

5.利用等价无穷小性质求下列极限:

ln(1+S.vsinAT)

(1)|ii„arctan3x.t»nAT

角率X—>O日+.3ATsinJV—►O-?5<X2—►O.

〃一<>

Ijarctan3x_|j3Aeg►,ln(14-/