五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题6数列选择、填空(解析版)

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编

专题6数列选择、填空

一、选择题

1.（2022高考北京卷•第6题）设｛4｝是公差不为0的无穷等差数列，则"｛%｝为递增数列"是"存在正整数

N。,当〃〉乂时，。">0"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

解析:设等差数列｛4｝的公差为d,则dwO,记［x］为不超过X的最大整数.

若｛«„｝为单调递增数列，则d>0,

若4NO,则当〃22时，<2„>>0；若“<0,则4=4+（〃-1"，

由=4+（〃-1）4>0可得〃>1一》，取N0=+1,则当〃>时时，%>0,

所以，"｛4｝是递增数歹『'=>"存在正整数M）,当〃>N0时，4>0"；

若存在正整数N。，当〃>时，4>0,取ZeN*且左>N。，4>0,

假设d<（）,令a“=a*+（〃一女）d<0可得〃>,且女一

dd

当〃>k-等+1时，勺<0,与题设矛盾，假设不成立，则d>0,即数列｛q｝是递增数列.

所以，"｛4｝是递增数列"<="存在正整数N。，当〃〉N0时，凡>0".

所以，"｛%｝是递增数列"是"存在正整数No,当〃〉No时，。“>0”的充分必要条件.

故选,C.

【题目栏目】数列'等差数列、等差数列的判定或证明

【题目来源】2022高考北京卷•第6题

2.（2022新高考全国II卷•第3题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁

的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中。A，CG，BB”AA

是举，OR,Z)G，CA，8A是相等的步,相邻桁的举步之比分别为

-nc-kBBi_1_

网.己知勺,白，%3成公差为。・1的等差数列，且直线0A的斜

OD}DC,CB、-BA,

率为0.725,则％3=（）

A

（，

JB'1、

/G1、一

£>i%

图1图2

A.0.75B.0.8C.0.35D.0.9

【答案】D

解析：设OD[=D€\=CB[-=1,则CC[=k[,BB]-k2,AA^-匕,

DD,+CC,+BB,+AA,八.

依题意，有匕—0・2=配匕-0.1=右，且7)/)：=8725,

UD\++CrJj+ZJ/i,

所以"33

0.725,故a=0.9.故选D.

4

【题目栏目】数列'等差数列'等差数列的性质

【题目来源】2022新高考全国II卷•第3题

3.（2022年高考全国乙卷数学（文）•第10题）己知等比数列｛4｝的前3项和为168,%-%=42,则％=

()

A14B.12C.6D.3

【答案】D

解析：设等比数列｛凡｝的公比为4,4工0,

若q=l,则4-%=0，与题意矛盾,

4(1一力a=96

山-----^=168x

4+。2+。3

所以贝叫i—q，解得《1

q=—

4

a2-a5=aAq-a｛q=422

所以。6二%q'=3.

故选：D.

【题目栏目】数列'等比数列'等比数列的判定或证明

【题目来源】2022年高考全国乙卷数学（文）•第10题

=/=(〃wN*).记数列｛a“｝的前”项和

4.（2021年高考浙江卷•第10题）已知数列｛氏｝满足4=1，4

1+

为S”，则)

c99

B.3<S<4C.QQ

A./<,5]00<3l004<&00V-D.—<S]<5

【答案】A

解析：因为4=1，叽，=-所以/5>1

>0,aioo/2・

、2

1

由+—2

J4

I11

-----V

，即2

4+1也+1也

1八77-1〃+1

根据累加法可得，『W1+一厂=一厂当且仅当〃=1时取等号,

也22

4a„,an〃+1

an-------TT'4+1=：-----7=---------y

(〃+i)-i+Mi+—

〃+1

n+\6

有”＜（〃+1）（〃+2）,当且仅当〃=1时取等号,

a〃

11111吗<d<3.

所以Soo+———+——+...+―^―^―6<3,0G

334451011022-102

故选A.

【题目栏目】数列\数列的综合应用'数列的综合问题

【题目来源】2021年高考浙江卷•第10题

5.（2021年高考全国甲卷文科•第9题）记S„为等比数列｛a,｝的前n项和.若S2=4,S4=6,则§6=

()A.7B.8C.9D.10

【答案】A

解析：•；S,为等比数列｛%｝的前n项和,

：.s2,S4-S2,$6-s」成等比数列

S2=4,S4—S2=6—4=2

/.S6-S4=l,

S6=1+S4=1+6=7.

故选：A.

【题目栏目】数列'等比数列'等比数列的基本量与通项

【题目来源】2021年高考全国甲卷文科•第9题

6.（2021高考北京•第10题）已知｛%｝是各项均为整数的递增数列，且若6+的+~+4,=100,

则"的最大值为（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

解析：若要使n尽可能的大，则4，递增幅度要尽可能小，

不妨设数列｛彳｝是首项为3,公差为1的等差数列，其前n项和为巴，

则.=i»+2,电=节%2=102>100，

所以〃<11.

3+13

对于.=。+2,1=88<100,

取数列｛彳｝各项为q=i»+2（〃=1,2,…10）,%=25,

则/+/+…+%=100,所以”的最大值为11.

故选：C.

【题目栏目】

【题目来源】2021高考北京•第10题

7.（2021高考北京•第6题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面

缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长4,4，。3，。4，。5（单位:cm）成等差

数列，对应的宽为的4也也也（单位:cm）,且长与宽之比都相等,已知4=288,«5=96,仿=192,

则a=

A.64B.96C.128D.160

【答案】C

解析：由题意，五种规格党旗的长%，4，%（单位:cm）成等差数列，设公差为d,

一ccc八/--.4-Qy96-288.„

因为q=288,%=96,可得〃==----L=--------=-48,

5-13

可得。3=288+（3-1）x（-48）=192,

4%，生192x192,

又由长与宽之比都相等，且4=192,可得£•=,,所以4a=128.

b[b3«,288

故选：C.

【题目栏目】数列'等差数列'等差数列的基本量与通项

【题目来源】2021高考北京•第6题

8.（2020年高考课标I卷文科•第10题）设｛4｝等比数列，且4+生+/=1,a,+a3+a4=2,则

4+%+。8=（）

A.12B.24C.30D.32

【答案】D

【解析】设等比数列｛%｝的公比为4,则4+4+%=4（1+4+/）=1，

y1

%+%+4=qq+qq2+a｝q=a｝q[\+q+q^=q=2,

因此，。6+%+。8=a@+4成+4/=4/0+q+q2）=q5=32.

故选：D.

【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题.

【题目栏目】数列\等比数列、等比数列的基本量与通项

【题目来源】2020年高考课标I卷文科•第10题

__S

9.（2020年高考课标n卷文科•第6题）记Sn为等比数列｛〃｝的前n项和.若。5-。3=12,06-04=24,则n一

an

（）

A.2n-lB.2-21-"c.2-20-1D.【答案】B

【解析】设等比数列的公比为4,

a.q4-a,q~=121q=2

由&-%=12,%_&=24可得：\,

一-[q，_qg3=24[q=l

所以％=a0i=2'-',Sn=《尸"）=仁=2"—1,

\-q1-2

qon_i

因此,=方丁=2-22.

anZ

故选：B.

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前〃项和公式的应用，考查了

数学运算能力.

【题目栏目】数列'等比数列'等比数列的基本量与通项

【题目来源】2020年高考课标II卷文科•第6题

10.（2020年浙江省高考数学试卷•第7题）已知等差数列｛a„｝的前n项和5〃，公差dWO,幺41.记bf,

a

bn.l=Sn-2-S2n,〃€N*，下列等式不可能成立的是（）

A.204=02+06B.2b4=岳+人6C.a4=a2asD.b；=b2b$

【答案】D

解析：对于A,因为数列｛%｝为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4+4=2+6可得，

2a4=a2+a6,A正确；

对于B,由题意可知，bn+｝=S2ll+2-S2n=a2n+i+a2n+2,bx^S2=a,+a2,

：.b2-a3+a4,d=%+%,b6=an+an,bs=a15+ai6.

：.2b4=2（%+q）,b2+b6=%+%+a“+al2.

根据等差数列的下标和性质,由3+11=7+7,4+12=8+8可得

4+伉=弓+4+即+《2=2（%+4）=次，B正确；

对于C,a：—=（q+3d）一（4+.）（4+7d）=2</~—2ad=2d（d—aj，

当4=d时,a｝=a2as,C正确；对于D,=Q+4）?=（2q+13。）一=4幽+52qd+l69d?,

b力&=(q+4)(45+%6)=(2q+5d)(2q+29d)=4a；+68qd+145"2,

她=24j2_i6*=8d(3d_〃).

当d>0时，%&d,；♦3d—2i/j=d+2(d—q)>0即b；—b->bg>0；

当d<0时，qNd,，3d-2q=d+2(d-q)<0即b：-她>(),所以一她>0，D不正确.故

选：D

【题目栏目】数列'等差数列'等差数列的性质

【题目来源】2020年浙江省高考数学试卷•第7题

11.(2020北京高考•第8题)在等差数列｛%｝中，4=—9,%=-1.记7；=4出…为5=1,2,…)，则数列｛7；｝

().

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【答案】B

【解析】由题意可知，等差数列的公差"=?二?

5—15—1

则其通项公式为：4,=4+(〃-1)4=一9+(〃—l)x2=2〃-ll,

<a<aa

注意到4<的3t<s<0<a6=1<<•••,且由公<0可知力<0(iN6,ieN),

由J-=q>l(i27,ieN)可知数列｛(J不存在最小项，

由于4=-9，外=-7,。3=-5,包=-3,4=-1，4=1，

故数列亿｝中的正项只有有限项：4=63,4=63x15=945.故数列亿｝中存在最大项，且最大项为

小

故选：B.

【题目栏目】

【题目来源】2020北京高考•第8题

12.(2019年高考浙江文理•第10题)已知。，bwR,数列｛%｝满足q=。，an+t=a；+h,neN*.则

()

A.当b=g时，a10>10B.当卜=:时,al(t>10

C.当人=-2时，4o>l°D.当b=-4时，4。>10【答案】【答案】A

【解析】解法一：对于B,由*2-》+；=0,得x=J.取6=；,则所以4。<10,不合

题意;

对于C,由X2-X-2=0,得x=2或x=—1.取4=2,则a“=2<10,所以时<10,不合题意;

对于D,由V—x-4=0,得》=上/.取q=L等,则4=2<10,所以4。<10,不合题意.

对于A,%=4N-,%=（。2+—）2——，=（/++—）2HN1->1,6?.—Q.>0,

-22*22444216216""

]_

%、3包、3Ro3..%）、/36

{%}递增，当4时，4+"।2…'丁5,迭乘v法得或汽）,

4%22

729

/.^>—>10,A正确.故选A.

064

解法二:借助图形

其中选项8,C,。中均

含有不动点，由于a的不确定性，故都不能说明《（）＞10.故选A.

【题目栏目】数列,数列的综合应用'数列的综合问题

【题目来源】2019年高考浙江文理•第10题

13.（2019年高考全国HI文•第5题）已知各项为正数的等比数列{q}的前4项和为15,且氏=3o,+4q,

则。3=（）

A.16B.8C.4D.2

【答案】【答案】C

【解析】设等比数列&}的公比为幽>0）,则由前4项和为15,且%=3%+4q,有

/：虫+?2+*=15,出=1,.%=2?=4,故选：C.

axq-3a}q~+4q（4=2

【题目栏目】数列\等比数列、等比数列的基本量与通项

【题目来源】2019年高考全国in文•第5题

14.（2018年高考数学浙江卷•第10题）已知a],4,%,%成等比数列，且6+a2+a3+a4=InCtz,+a2+a3）,

若4>1,则（）

A.a}<a3,a2<a4B.a}>a3,a2<a4

C.a{<a3,a2>a4D.ax>a3,a2>a4

【答案】B

解析：由4+4+%+4=皿（4+4+。3）的结构，想到对数放缩最常用公式InxWx-l,

所以q+g+%+羯=ln（q+4+%）<4+。2+%一1，得到为〈一1，于是公比q<0.

若qW-i,则4+々+%+%=。1（1+4）（1+/）wo,而％+々+%=q（i+q+/）2%>1,即

ln（G+生+/）>0，矛盾，

所以一1<“<0,于是q-%=%（1一/）>°，4-4=44（1一「）<0，故选B.

【题目栏目】数列\等比数列、等比数列的综合应用

【题目来源】2018年高考数学浙江卷•第10题

15.（2018年高考数学北京（文）•第5题）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载靖最早用数学方法

计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依

次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于姬.若

第一个单音的频率/,则第八个单音频率为（）

A蚯/B幅/c我/D'印

【答案】D

解析：因为每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于血，所以q=|双"T,而q=/,

所以4=4，=/•(强)7=0歼/，故选D.

【题目栏目】数歹H等比数列'等比数列的基本量与通项

【题目来源】2018年高考数学北京(文)•第5题

二、多选题

三、填空题

16.(2022高考北京卷•第15题)己知数列｛2｝各项均为正数，其前n项和S“满足a„-Sn=9("=1,2,…).给

出下列四个结论：

①｛4｝的第2项小于3；②｛%｝为等比数列；

③｛4｝为递减数列；④｛凡｝中存在小于焉的项.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

解析:由题意可知，V〃eN*，«„>0.

当〃=1时，a：=9,可得q=3；

c9c99999

当〃22时，由S”=一可得S,i=,两式作差可得。“=--------,所以，----=----4,则

4a,ian%%为

9°,

----%=3,整理可得城+3a2-9=0,

a.

因为外>0,解得4=3*-3<3,①对；

(9YQ1

假设数列｛%｝为等比数列，设其公比为4,则娘=4%，即二=，-，

<^27S.3

所以，5；=4邑，可得a；(l+q)2=a；(l+q+/),解得g=0,不合乎题意，

故数列｛凡｝不等比数列，②错；

当〃22时，％=--------=__">o,可得a,<a“T，所以，数列｛%｝为递减数列，③对;

假设对任意〃eN*，42+，贝UE000GoN100000x*=1000,

991

所以，400000=W-^―<—,与假设矛盾，假设不成立，④对.

31000001UUU1UU

故答案为：①③④.

【题目栏目】数列'数列的概念与通项公式'数列的单调性

【题目来源】2022高考北京卷•第15题

17.（2022年高考全国乙卷数学（文）•第13题）记S“为等差数列｛4｝的前n项和.若2s3=3S2+6,则公

差d=.

【答案】2

解析：由2s3=3S2+6可得2（q+4+6）=3（4+4）+6,化简得2%=4+4+6，

即2（4+%）=%+d+6,解得d=2.

故答案为：2.

【题目栏目】数列\等差数列、等差数列的基本量与通项

【题目来源】2022年高考全国乙卷数学（文）•第13题

18.（2021年新高考I卷•第16题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴

把纸对折，规格为20dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm两种规格

的图形，它们的面积之和S[=240dm2,对折2次共可以得到5dmxl2dm,lOdmx6dm,20dmx3dmH

2

种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm,以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数

为;如果对折〃次，那么£>*=dm2.

*=|

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15（3+〃）

【答案】

5720--2〃-4

5533

解析：（1）对折4次可得到如下规格：—dmx\2dm,-dmx6dm,5dmx3dm,Wdmx-dm,20dmx—dm,

4224

共5种；

（2）由题意可得4=2x120,§2=3x60,S3=4x30,S4=5xl5,…，鼠=当?1,

,瓜0120x2120x3120x4120（«+1）

设5=—―+——■—+——；—+LT+——~~-，

2°222

m,J。120x2120x3120〃120（"+1）

则3-7-+-^L+・“+方才+一

公*，E1fl11A120(n+l)60(2"-')120(/2+1)

两式作差得一S=240+120-+—++-------——^=240+—^~--------——

2(2222"-')2",12"

2

120120(〃+1)120(〃+3)

=360——r-------——L=360-------——L，

2”T2“2〃

因止匕，()

S=72024°"+3)=72015”3，故答案为5；720区〃：3).

2"2”"2…

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

【题目栏目】数歹八数列的求和,错位相减法求和问题

【题目来源】2021年新高考I卷•第16题

19.(2021高考天津•第19题)已知｛%｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.也｝是公比大于

0的等比数列,4=4也—％=48.

⑴求｛4｝和也｝通项公式；

1*

(11)1己,”=4.+厂，"€%,

b„

(i)证明归一%｝是等比数列；

(ii)证明Z/9"二<2亚(〃wN*)

k=l\4-C2k

【答案】⑴a,,=2〃—l,〃eN*,〃,=4",〃eN*；(ll)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.解析：⑴因为

｛《,｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.

8x7

所以0+^^^-----卜/=84+2+2=64,所以4=1,

所以4=q+2(〃-l)=2〃-L〃cN*；

设等比数列出｝的公比为d(q>0),

所以4一伪=刖°一柄=4,2_4)=48,解得q=4(负值舍去)，

所以么=仿尸=4",〃eV；

(ll)(i)由题意，(=邑+(=42"+!,所以A-"//]一什+白卜⑷，

M「94"”

所以d-0,且"「=^^=4,所以数列归-裾是等比数列；

C〃一人4

(ii)由题意知，矍d=(2〃*〃+1)4"-14n2

2

Cn-C2n2,42'2"2""'

0'4+i4n?2nJfL所以夕<—y—

VIdfvVI2-22"=夜.2="近2"T倒I0a2"T

设、n(,=£z而%二声1

Jt=l乙L

两式相减得

n+2

所以(=4—

2"T

【题目栏目】

【题目来源】2021高考天津•第19题

20.(2020年高考课标I卷文科•第16题)数列｛。“｝满足。>2+(-1)"%=3"1，前16项和为540,贝

【答案】7

【解析】4“2+(一1)"4，=3〃-1，

当"为奇数时，％+2=。“+3〃-1；当〃为偶数时，/+2+”“=3〃-1.设数列｛q｝的前〃项和为S”,

Sg=+a、+iZj+&+■■•+O]6=4+4+%，，，+415+(a>+4)+,''(^i4+“16)

=q+(iZj+2)+(q+10)+(q+24)+(4+44)+(q+70)

+(q+102)+(4+140)+(5+17+29+41)=8%+392+92=8a,+484=540,

6=7.

故答案为：7.

【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力,

属于较难题.

【题目栏目】数列'数列的求和1\合并求和与周期求和

【题目来源】2020年高考课标I卷文科•第16题

21.(2020年高考课标II卷文科•第14题)记S“为等差数列｛4｝前。项和.若4=-2,4+4=2,

则S10=•

【答案】25

【解析】•••｛4｝是等差数列，且%=-2,%+。6=2

设｛4｝等差数列的公差d

根据等差数列通项公式：

可得4+d+4+54=2

即：-2+d+(-2)+5d=2

整理可得：6d=6

解得：d=\

••・根据等差数列前〃项和公式：s.=nci,+二号1)N*

10x1

可得：510=10(-2)+^°-)=-20+45=255|(,=25.

故答案为：25.

【点睛】本题主要考查了求等差数列的前〃项和，解题关键是掌握等差数列的前”项和公式，考查了分

析能力和计算能力，属于基础题.

【题目栏目】数列'等差数列'等差数列的基本量与通项

【题目来源】2020年高考课标II卷文科•第14题

22.(2020年新高考全国1卷(山东)•第14题)将数列｛20-1｝与｛3。-2｝的公共项从小到大排列得到数列⑸｝,

则｛为｝的前n项和为_.

【答案】3〃2一2〃

解析：因为数列｛2〃-1｝是以1为首项，以2为公差的等差数列，

数列｛3〃-2｝是以1首项，以3为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列｛4｝是以1为首项，以6为公差的等差数列，

所以｛q｝的前〃项和为〃[+若”《二？"—2〃，故答案为：3/-2〃.

【题目栏目】数列'等差数列、等差数列的前n项和

【题目来源】2020年新高考全国I卷(山东)•第14题

23.(2020年新高考全国卷H数学(海南)•第15题)将数列｛2n-l｝与｛3n-2｝的公共项从小到大排列得到数列｛a”｝,

则S"｝的前n项和为•

【答案】3n2-2n

解析：因为数列｛2〃-1｝是以1为首项，以2为公差的等差数列，

数列｛3"—2｝是以1首项，以3为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列｛q｝是以1为首项，以6为公差的等差数列，

所以｛4｝的前〃项和为〃•1+〃。；1）-6=3/2—2〃,

故答案为：3n2-2n-

【题目栏目】数列'等差数列'等差数列的前n项和

【题目来源】2020年新高考全国卷H数学（海南）•第15题

24.（2020年浙江省高考数学试卷•第11题）已知数列｛斯｝满足以”贝"53=

2

【答案】10解析：因为a“=―—-,所以4=1,々=3,%=6.

即S3=q+4+/=1+3+6=10.

【题目栏目】数列'数列的概念与通项公式'数列的概念与表示

【题目来源】2020年浙江省高考数学试卷•第11题

25.（2020江苏高考•第口题）设｛《,｝是公差为d的等差数列，｛〃,｝是公比为夕的等比数列.已知数歹1）｛q+勿｝

的前〃项和5,,=/-〃+2"-1（〃€2）,则d+q的值是

【答案】【答案】4

【解析】设等差数列｛”“｝的公差为〃，等比数列｛"｝的公比为4,根据题意4才1.

等差数列｛”“｝的前〃项和公式为匕="4+（《，

等比数列也“｝的前〃项和公式为Q,,==-1/+工

1-<7>q1-q

2

依题意S,、=Pn+Qn,HPn-n+2"-1=~~r^+-^—,

2\2）\-q1-q

-=1

2d=2

d1

%---=-1a}=0

通过对比系数可知,2=>­'c，故d+4=4.故答案为：4

夕=2

4=2

b[=1

A_=_1

,1一4

【题目栏目】数列'数列的综合应用'数列与函数的综合应用

【题目来源】2020江苏高考•第11题

26.（2019年高考上海•第8题）已知数列｛为｝前n项和为S“，且满足S“+a“=2,则S5=.

【答案】【答案】—31

16

S”+an=21

【解析】由(n>2)

S〃_]+—2(〃N2)2

【点评】本题主要考查数列求和，S”与4的递推式.｛““｝为等比数列，且%=1,q=；,：.

iri-(1)5]

【题目栏目】数列'数列的求和'递推求和法求和问题

【题目来源】2019