数学湘教版必修一讲义专题2指数函数对数函数和幂函数2-2-

/08/8/2．2对数函数2．2.1对数的概念和运算律[学习目标]1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算.4.掌握对数的运算性质及其推导.5.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．[知识链接]1．＝4,＝eq\f(1,16).2．若2x＝8，则x＝3；若3x＝81，则x＝4.3．在指数的运算性质中：am·an＝am＋n，eq\f(am,an)＝am－n，(am)n＝amn.[预习导引]1．对数的概念如果ab＝N(a＞0，a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN.这里，a叫作对数的底，N叫作对数的真数．把上述定义中的b＝logaN代入ab＝N，得到alogaN＝N；把N＝ab代入b＝logaN，得到b＝logaab，这两个等式叫作对数的基本恒等式：alogaN＝N，b＝logaab.由上述基本恒等式可知，logaa＝logaa1＝1，loga1＝logaa0＝0.2．对数的运算法则如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.3．常用对数与自然对数(1)以10为底的对数叫作常用对数，log10N记作lg_N.(2)以无理数e＝2.71828…为底的对数叫作自然对数．logeN通常记为lnN.要点一指数式与对数式的互化例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)2－7＝eq\f(1,128)；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1；(4)log232＝－5；(5)lg0.001＝－3.解(1)log2eq\f(1,128)＝－7.(2)log327＝a.(3)lg0.1＝－1.(4)2－5＝32.(5)10－3＝0.001.规律方法1.解答此类问题的关键是要搞清a，x，N在指数式和对数式中的位置．2．若是指数式化为对数式，关键是看清指数是几，再写成对数式；若是对数式化为指数式，则要看清真数是几，再写成指数式．跟踪演练1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)log3x＝6；(2)lne＝1；(3)43＝64.解(1)36＝x.(2)e1＝e.(3)log464＝3.要点二对数式的计算与化简例2求下列各式的值：(1)eq\f(lg\r(27)＋lg8－lg\r(1000),lg1.2)；(2)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－log5125；(3)log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242；(4)(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3.解(1)原式＝eq\f(\f(1,2)lg27＋lg23－\f(1,2)lg1000,lg12－lg10)＝eq\f(\f(3,2)lg3＋3lg2－\f(3,2),2lg2＋lg3－1)＝eq\f(\f(3,2)?lg3＋2lg2－1?,lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3,2).(2)原式＝2log32－log332＋log39＋log323－log553＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.(3)原式＝log2eq\f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42))＝log22＝－eq\f(1,2).(4)原式＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.规律方法1.进行对数式的计算与化简，主要依据是对数的运算法则，同时要注意结合对数恒等式、对数性质的应用．2．应用对数的运算法则时，除了正用这些法则外，还要注意它们的逆用．3．lg2＋lg5＝1，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2在计算和化简时经常使用，注意记忆．4．在对数的运算和化简中提取公因式，因式分解等仍适用．跟踪演练2(1)已知lga＝2.4310，lgb＝1.4310，则eq\f(b,a)等于()A.eq\f(1,100)B.eq\f(1,10)C．10D．100(2)计算下列各式的值：①4lg2＋3lg5－lgeq\f(1,5)；②eq\f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)lg0.36＋\f(1,3)lg8).(3)化简：eq\f(lg3＋\f(2,5)lg9＋\f(3,5)lg\r(27)－lg\r(3),lg81－lg27).(1)答案B解析由于lgeq\f(b,a)＝lgb－lga＝1.4310－2.4310＝－1，∴eq\f(b,a)＝10－1＝eq\f(1,10)，故选B.(2)解①原式＝lgeq\f(24×53,\f(1,5))＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4.②原式＝eq\f(lg4＋lg3,1＋lg\r(0.36)＋lg\r(3,8))＝eq\f(lg12,1＋lg0.6＋lg2)＝eq\f(lg12,lg12)＝1.(3)解方法一原式＝eq\f(lg3＋\f(4,5)lg3＋\f(9,10)lg3－\f(1,2)lg3,4lg3－3lg3)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,5)＋\f(9,10)－\f(1,2)))lg3,?4－3?lg3)＝eq\f(11,5).方法二(逆用公式)：原式＝eq\f(lg?3×9×27××3?,lg\f(81,27))＝eq\f(lg3,lg3)＝eq\f(11,5).要点三对数恒等式alogaN＝N的应用例3计算：31＋log35－24＋log23＋103lg3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))log25.解31＋log35－24＋log23＋103lg3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))log25＝3×3log35－24×2log23＋(10lg3)3＋(2log25)－1＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－eq\f(29,5).规律方法对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为对数的真数．跟踪演练3求值：(1)9log34；(2)51＋log52.解(1)9log34＝(32)log34＝3log34＝4.(2)51＋log52＝5·5log52＝5×2＝10.1．已知ab＞0，则下面4个式子中，正确的个数为()①lg(ab)＝lga＋lgb；②lgeq\f(a,b)＝lga－lgb；③eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2＝lgeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b))).A．0 B．1C．2 D．3答案B解析当a＜0，b＜0时，虽有ab＞0，但①②不正确，因为lga，lgb均无意义．只有③正确．2．log34＋log3eq\f(1,108)的值是()A．－3 B．3C．－eq\f(1,3) D.eq\f(1,3)答案A解析原式＝log3eq\f(4,108)＝log3eq\f(1,27)＝log33－3＝－3.3．已知a＝log23＋log2eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＝b＜c B．a＝b＞cC．a＜b＜c D．a＞b＞c答案B解析a＝log23＋log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)，因此a＝b，而log23eq\r(3)＞log22＝1，log32＜log33＝1，所以a＝b＞c，故选B.4．若ln(lgx)＝0，则x＝________.答案10解析由已知得lgx＝1，所以x＝10.5．已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.答案2解析由已知可得，lg(ab)＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝lga2＋lgb2＝lg(a2b2)＝2lg(ab)＝2×1＝2.1.一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．2．利用ab＝N?b＝logaN(其中a＞0，a≠1，N＞0)可以进行指数式与对数式的互化．3．对数恒等式：alogaN＝N(a＞0且a≠1)，b＝logaab.4．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．5．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．6．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．一、基础达标1．指数式a5＝b(a＞0，a≠1)所对应的对数式是()A．log5a＝b B．log5b＝aC．logb5＝a D．logab＝5答案D2．若logx(eq\r(5)－2)＝－1，则x的值为()A.eq\r(5)－2 B.eq\r(5)＋2C.eq\r(5)－2或eq\r(5)＋2 D．2－eq\r(5)答案B解析∵logx(eq\r(5)－2)＝－1，∴x－1＝eq\r(5)－2，即eq\f(1,x)＝eq\r(5)－2，即x＝eq\f(1,\r(5)－2)＝eq\r(5)＋2.3．21＋eq\f(1,2)·log25的值等于()A．2＋eq\r(5) B．2eq\r(5)C．2＋eq\f(\r(5),2) D．1＋eq\f(\r(5),2)答案B解析21＋log25＝2×2log25＝2×2log25＝2×5＝2eq\r(5).4．log7[log3(log2x)]＝0，则x等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2\r(3))C.eq\f(1,2\r(2)) D.eq\f(1,3\r(3))答案C解析由已知得，log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴x＝23，∴x＝(23)＝8＝eq\f(1,8)＝eq\f(1,\r(8))＝eq\f(1,2\r(2)).5．若4lgx＝16，则x的值为________．答案100解析∵4lgx＝16＝42，∴lgx＝2，∴x＝102＝100.6．已知log32＝a,3b＝5，则log3eq\r(30)用a、b表示为______．答案eq\f(1,2)(a＋b＋1)解析由3b＝5，得b＝log35，log3eq\r(30)＝eq\f(1,2)log3(3×5×2)＝eq\f(1,2)(1＋log35＋log32)＝eq\f(1＋a＋b,2).7．求下列各式中x的值：(1)若log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－2x,9)))＝1，求x的值；(2)若log2015(x2－1)＝0，求x的值．解(1)∵log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－2x,9)))＝1，∴eq\f(1－2x,9)＝3.∴1－2x＝27，即x＝－13.(2)∵log2015(x2－1)＝0，∴x2－1＝1，即x2＝2.∴x＝±eq\r(2).二、能力提升8．设函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，若f(|x1·x2·…·x2014|)＝8，则f(xeq\o\al(2,1))＋f(xeq\o\al(2,2))＋…＋f(xeq\o\al(2,2014))的值为()A．4 B．8C．16 D．2loga8答案C解析因为f(x)＝logax，f(|x1·x2·…·x2014|)＝8，所以f(xeq\o\al(2,1))＋f(xeq\o\al(2,2))＋…＋f(xeq\o\al(2,2014))＝logaxeq\o\al(2,1)＋logaxeq\o\al(2,2)＋…＋logaxeq\o\al(2,2014)＝2loga|x1|＋2loga|x2|＋…＋2loga|x2014|＝2loga|x1x2…x2014|＝2f(|x1·x2·…·x2014|)＝2×8＝16.9．对于a＞0，a≠1，下列说法：①若M＝N，则logaM＝logaN；②若logaM＝logaN，则M＝N；③若logaM2＝logaN2，则M＝N；④若M＝N，则logaM2＝logaN2.其中正确的有________．答案②解析①若M＝N＝－5，则logaM与logaN无意义，所以①错；②对；③因为loga52＝loga(－5)2，而5≠－5，所以③错；④若M＝N＝0，则logaM2与logaN2无意义，所以④错．10．若f(log2x)＝x，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________.答案eq\r(2)解析令log2x＝eq\f(1,2)，则2＝x，∴f(eq\f(1,2))＝2＝eq\r(2).11．计算：(1)3log72－log79＋2log7(eq\f(3,2\r(2)))；(2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(3)logaeq\r(n,a)＋logaeq\f(1,an)＋logaeq\f(1,\r(n,a)).解(1)原式＝log78－log79＋log7eq\f(9,8)＝log78－log79＋log79－log78＝0.(2)原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5－lg2＋2lg2＝lg5＋lg2＝1.(3)原式＝logaaeq\f(1,n)＋logaa－n＋logaa－eq\f(1,n)＝eq\f(1,n)＋(－n)＋eq\b\lc\(\rc