九年级数学一轮复习等腰三角形

九年级数学一轮复习等腰三角形第1页/共31页等腰三角形1．定义：有_______相等的三角形叫做等腰三角形．2．性质：(1)等腰三角形的两个______相等(简称“等边对_______”)．(2)等腰三角形的顶角______线、底边上的____、底边上的_______互相重合(简称“三线合一”)．3．判定：如果一个三角形有两个____相等，那么这两个角所对的____也相等(简称“等角对_______”)．

两边底角等角平分高中线角边等边第2页/共31页等边三角形4．定义：______都相等的三角形叫做等边三角形．5．性质：等边三角形的三个____都相等，且都等于_______．6．判定：(1)三个______都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角是_______的_______三角形是等边三角形．三边角60°角60°等腰第3页/共31页等腰三角形的性质与判定【例1】(1)(2015·南宁)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为(

)A．35°B．40°C．45°D．50°(2)在等腰△ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为(

)A．7B．11C．7或11D．7或10AC第4页/共31页点拨：(1)利用等腰三角形的性质和外角的性质可求；(2)注意分类讨论．第5页/共31页【例2】如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．分析：(1)由AAS可证△BEO≌△CDO，得∠EBO＝∠DCO，再证∠ABC＝∠ACB即可；(2)连接AO，由SSS证△BAO≌△CAO即可．解：(1)∵BO＝OC，∴∠BEO＝∠CDO＝90°，∠BOE＝∠COD，∴△BEO≌△CDO，∴∠EBO＝∠DCO.又∵∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形(2)连接AO，∵AB＝AC，BO＝OC，AO＝OA，∴△ABO≌△ACO，∴∠BAO＝∠CAO，∴点O在∠BAC的角平分线上第6页/共31页等边三角形的性质与判定【例3】(1)如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是____；30a第7页/共31页点拨：(1)设右下等边三角形边长为x，由图可知x＋3a＝2x，∴x＝3a，∴外面等边三角形的边长从小到大依次为3a，4a，5a，6a，从而可求六边形的周长；(2)由正方体的每个面都是全等的正方形，得到对角线相等，即AB＝BC＝AC，得到△ABC是等边三角形，利用三角形的面积公式可求．第8页/共31页【例4】如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．分析：(1)利用等边三角形的性质用SAS可证；(2)由△ABE≌△CAD可得∠ABE＝∠CAD，再由外角的性质和等量代换可求．解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，又AE＝CD，∴△ABE≌△CAD(SAS)

(2)∵△ABE≌△CAD，∴∠ABF＝∠CAD，∵∠BFD＝∠ABF＋∠BAD，∴∠BFD＝∠CAD＋∠BAD＝60°第9页/共31页等边三角形是特殊的等腰三角形，它除具备等腰三角形的所有性质外，还具备其三边中线、三条高、三条内角平分线的交点重合的性质，且此点到三个顶点的距离相等，到三边的距离相等，到顶点的距离是到对边中点的距离的2倍．第10页/共31页等腰三角形的情况考虑不全面．【例5】等腰三角形一腰上的高与腰的夹角为50°，则顶角的度数为____________．点拨：三角形可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，所以有两种情况，分别求出即可.

140°或40°第11页/共31页1．(2015·荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为()A．8或10B．8C．10D．6或122．(2015·黄石)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝()A．36°B．54°C．18°D．64°CB第12页/共31页3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为(

)A．6B．7C．8D．94．(2015·随州)如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是(

)A．8B．9C．10D．11DC第13页/共31页5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC，∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有()A．5个B．4个C．3个D．2个A第14页/共31页6．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(

)A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④7．(2015·荆州)如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB＝__

__cm.D16第15页/共31页8．(2014·杭州)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P.求证：PB＝PC.并直接写出图中其他相等的线段．解：在△AFB与△AEC中，AF＝AE，∠A为公共角，AB＝AC，∴△AFB≌△AEC，∴∠ABF＝∠ACE.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠PBC＝∠PCB，∴PB＝PC.其余相等的线段有：BF＝CE，PE＝PF，BE＝CF第16页/共31页89．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有__

__个．10．(2014·温州)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．第17页/共31页解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°－∠EDC＝30°

(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4第18页/共31页1．(2015·衡阳)已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形的周长为()A．11

B．16

C．17

D．16或172．(2015·台湾)如图，△ABC，△ADE中，C，D两点分别在AE，AB上，BC与DE相交于F点．若BD＝CD＝CE，∠ADC＋∠ACD＝114°，则∠DFC的度数为何？()A．114°B．123°C．132°D．147°DB第19页/共31页CC第20页/共31页6．(2015·徐州)如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝__

__°.A87第21页/共31页7．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B等于_____________．8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为__

__度．70°或20°108第22页/共31页9．(2015·北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，又∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝90°，∴∠CBE＝∠BAD第23页/共31页10．(2015·宿迁)如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.解：(1)∵AB＝AC＝AD，∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D，∴∠ABD＋∠CBD＝2∠D，即∠ABC＝2∠D，∴∠C＝2∠D第24页/共31页B第25页/共31页12．(2015·荆门)如图，点A，B，C在一条直线上，△AB