新教材高中数学第二章平面解析几何8直线与圆锥曲线的位置关系第1课时直线与圆锥曲线的位置关系学案新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE8直线与圆锥曲线的位置关系课标解读课标要求素养要求1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题.1.数学运算一能利用设而不求的思想方法解决中点弦、弦长问题。2.逻辑推理一能借助一元二次方程解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系.第1课时直线与圆锥曲线的位置关系自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与椭圆的位置关系当直线与椭圆有①两个公共点时，直线与椭圆相交；当直线与椭圆有且只有②一个公共点时，称直线与椭圆相切；当直线与椭圆③没有公共点时，称直线与椭圆相离。2.直线与圆锥曲线相切（1）一般地，给定直线l与圆锥曲线C（圆、椭圆、双曲线、抛物线)，如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程④只有一个实数解（即有两个相等的实数解），则称直线与圆锥曲线相切。（2）直线与圆，直线与椭圆只有一个公共点是直线与它们相切的⑤充要条件；但直线与双曲线、直线与抛物线只有一个公共点不是直线与它们相切的⑥充分条件。要点二圆锥曲线的弦和弦长一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，以这⑦两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长。简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段。自主思考1.直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切吗？答案：提示直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线有可能相交，如平行于抛物线对称轴的直线与抛物线只有一个交点，但不相切。2.直线与圆锥曲线交点的个数与它们对应的方程联立成的方程组的解的个数有什么关系？答案：提示直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立成的方程组的解的个数。3.过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线与抛物线交于A(x1,答案：提示|AB|=名师点睛圆锥曲线弦长的求法在相交弦问题中,一般不求出交点坐标,只是先设出交点坐标(设而不求思想),然后利用根与系数的关系求弦长.设直线l：y=kx+m交圆锥曲线F(x,y)=0于P1则|P同理可得|互动探究·关键能力探究点一直线与圆锥曲线位置关系的判定精讲精练例已知直线l：y=2x+m,椭圆C：x24+y22=1（3）没有公共点.答案：（1）将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得y=2x+m,①x24+将①代入②中,整理得9x则Δ=(8m)所以当-32<m<32时,方程③有两个不同的实数根,即原方程组有两组不同的实数解,这时直线l（2）由Δ=0,得m=±32所以当m=±32时,方程③有两个相同的实数根,即原方程组有一组实数解,这时直线l与椭圆C（3）由Δ<0,得m<-32或m>3所以当m<-32或m>32时,方程③没有实数根,即原方程组没有实数解,这时直线l与椭圆解题感悟在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,要先讨论得到的方程的二次项系数为零的情况,再考虑Δ的情况,而且不要忽略直线斜率不存在的情况.迁移应用1.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线A.[-B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]答案：C解析：由题意知Q(-2,0),设过点Q的直线l的方程为y=k(x+2).∵直线l与抛物线有公共点,∴方程组y2即k2∴Δ=(4k2∴-1≤k≤1,故选C.探究点二中点弦问题精讲精练例（2020深圳红岭中学高二期中）已知椭圆与双曲线y24-（1）求椭圆方程;（2）过椭圆内一点M(1,1)作一条弦AB,使该弦被点M平分,求弦AB所在直线的方程.答案：（1）由题意知,双曲线的焦点坐标为(0,4),(0,-4),离心率e=2设椭圆方程为y则c=4,e∴椭圆方程为y2（2）设A(x∵M为弦AB的中点,∴由题意得y1(则k∴弦AB所在直线的方程为y-1=-259(x-1)解题感悟解决中点弦问题有两个思路：（1）联立直线方程和椭圆方程并消去一个未知数后,得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式求解;（2）采用点差法,在求解圆锥曲线时,如果题目中交代了直线与圆锥曲线相交所截得的线段中点坐标,那么可把两个交点坐标分别代入圆锥曲线的方程,表示出直线的斜率和中点坐标,要注意验证得到的直线是否符合题意迁移应用1.（2021山东德州高二期中）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点是F(3,0),过点F的直线交椭圆EA.xB.xC.xD.x答案：B解析：设A(x1,y1),B(x2①-②得(∴又k又9=c∴b2=9,2.直线y=x+1被椭圆x2A.(23C.(-23答案：C解析：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1则x两式相减得到(x故2x04+故x0=-2探究点三弦长问题精讲精练例（2021天津塘沽第十三中学高二期中）设椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,一个顶点坐标为(2,0),离心率为32（1）求这个椭圆的方程;（2）若这个椭圆的左焦点为F1,右焦点为F2,过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点,求弦AB答案：（1）设椭圆的方程为x2a2+y2b（2）由（1）知左焦点F1(-3,0)则直线AB的方程为y=x+3,联立得消去y得5x2则|AB|=点F2(3,0)到直线解题感悟直线和圆锥曲线相交问题的解法就是利用“设而不求”的思想方法,将两个方程联立后消去一个未知数得到一个一元二次方程,利用弦长公式和根与系数的关系解决（要考虑特殊情形）,这类问题运算量较大,计算时确保其正确性.迁移应用1.（2020北京昌平一中高二期中）已知椭圆C：x2a2+y（1）求椭圆C的标准方程;（2）过点F的直线l与椭圆C交于A,B两点,若|AB|=154,求直线答案：（1）依题意可知c=1,b=3,所以a=所以椭圆C的标准方程为x2（2）当直线l的斜率不存在时,A(-1,32),B(-1,-设直线l的方程为y=k(x+1),由y=k(x+1)，x24因为直线l和椭圆相交,所以Δ=(8k设A(x1,y1),B(化简得k2=1所以直线l的方程为y=±1评价检测·素养提升课堂检测1.（2020山东临沂一中高二期中）已知抛物线x2=4y内一点P(1,1),过点P的直线l交抛物线于A,B两点,且点P为弦AB的中点,则直线A.x+2y-3=0B.x-2y+1=0C.2x-y+1=0D.x+y-2=0答案：B2.倾斜角为π4的直线经过椭圆x22+y2=1A.223B.423答案：B3.已知双曲线C过点(3,2)且其渐近线方程为A.双曲线C的方程为xB.左焦点到一条渐近线的距离为1C.直线x-2y-1=0与双曲线D.过右焦点截双曲线所得弦长为23答案：C素养演练数学运算——弦长的最值问题1.设抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F,过F的直线l与C交于（1）若直线l的斜率为1,且|AB|=8,求抛物线C和直线l的方程;（2）若p=2,求线段AB长的最小值.答案：（1）由题意得F(p2,0),l设A(x1,y1),B(x2,所以|AB|=|AF|+|BF|=(x由题意知4p=8,解得p=2.因此抛物线C的方程是y2=4x,直线l的方程为（2）若p=2,则抛物线C:y由题可知直线l的斜