新教材高中数学第一章空间向量与立体几何2空间向量在立体几何中的应用1空间中的点直线与空间向量学案新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE9空间中的点、直线与空间向量课标解读课标要求素养要求1.能用向量语言描述直线,理解空间中直线的方向向量的意义及求法.2.了解空间中两条直线所成的角与两直线的方向向量所成的角的关系,会求空间两条直线所成的角.3.了解空间中两条异面直线的公垂线段.1.数学抽象——能判定并求解直线的方向向量.2.数学运算——会求两异面直线所成的角.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一空间中的点与空间向量一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量OP唯一确定，此时，OP通常称为点P的①位置向量，特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的②坐标唯一确定.要点二空间中的直线与空间向量一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行，记作③v∥l按照空间中直线的方向向量的定义可知：（1）如果A,B是直线l上两个不同的点，则v=AB就是直线l（2）如果v是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量⑤λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都⑥平行（3）如果v为直线l的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，则对于直线l上任意一点B，向量AB一定与非零向量v平行，从而可知存在⑦唯一的实数λ，使得AB=λv，这就是说，空间中直线l的位置可由v和点（4）如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1要点三空间中两条直线所成的角1.直线l1,l2的方向向量v1,v2的夹角⟨v特别地，sinθ=sin⟨2.两直线垂直的充要条件$l_{1}\perpl_{2}\Leftrightarrow\left\langle{\boldsymbolv}_1,\boldsymbolv_{2}\right\rangle=\frac\mathrm{π}2\Leftrightarrow$⑧v1要点四异面直线与空间向量1.直线l1,l如果A∈l1,B∈l2,v1,2.两条异面直线的公垂线段一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线,M∈l,N∈l2,MN⊥l1,MN⊥l2,则称自主思考1.点P的位置为什么可以由向量OP唯一确定？答案：提示因为一个向量和其起点、终点,三者中有两个确定了，第三个就确定了.2.直线的方向向量是唯一的吗？答案：提示不唯一.3.如果两直线的方向向量v1答案：提示两直线有公共点4.若直线l1,l2所成的角为30∘答案：提示30∘或5.如何判断v1答案：提示不满足共面向量定理.名师点睛1.在空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件：（1）是非零向量;（2）向量所在的直线与直线l平行或重合.2.与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量,且直线l的方向向量有无数个.3.求直线AB的方向向量,就是找与AB平行的任意非零向量,因此可以在直线AB上任取不同的两点,分别以这两点为起点和终点的向量就是直线AB的一个方向向量,也可以在与直线AB平行的直线上任取不同的两点,分别以这两点为起点和终点的向量也是直线AB的一个方向向量.互动探究·关键能力探究点一求直线的方向向量自测自评1.（多选）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱A.AA1B.C1E答案：A;B;D解析：1.由定义知,一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合,则这个向量就称为直线2.若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()A.(1,2,4)B.(1,4,2)C.(2,1,4)D.(4,2,1)答案：A解析：2.由已知得AB=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A中的向量与AB共线,是直线l的一个方向向量.3.已知直线l的一个方向向量v=(2,1,3),且l过A(0,y,3)和B(-1,-2,z),则y=，z=答案：-32解析：3.由题意可得,AB=(-1,-2-y,z-3)=λ(2,1,3)∴λ=-1解得y=-3解题感悟对直线方向向量的两点说明（1）方向向量的选取：在直线上任取两点P,Q,可得到直线的一个方向向量PQ.（2）方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的,可以分为方向相同和相反两类,它们都是共线向量．解题时,可以选取坐标最简的方向向量.探究点二利用直线的方向向量解决平行、垂直问题精讲精练类型1利用直线的方向向量解决平行问题例1如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,答案：证明设DA=a,DC=则CB1=a+设存在实数x,y,使得CB=x则a+c=x(∵a,解得x=-1∴CB1∵向量CB1不在DC1,DO所确定的平面类型2利用直线的方向向量解决垂直问题例2已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,若侧棱答案：证明设AB的中点为O,作OO1∥AA1,连接OC,以O为坐标原点,OB,OC,OO1则A1A(-1D(0,3∴A1D∴A∴AB1变式在本例2中，若О为AB的中点,连接OC,证明:直线A1答案：证明由例2的解析,易知A1所以A1B=(1,0,-1),CO=(0,-32解题感悟向量法判定直线平行.v1,v2分别为（1）v1∥v2⇔（2）v1与v2不平行⇔l（3）v1（4）v1⋅v2≠0⇔v1迁移应用1.已知三条直线l1,lA.l1⊥l2,但l1与l3不垂直B.C.l2⊥l3,但l2答案：A解析：因为aab⋅c=(1,4,5)⋅(-3,12,-9)=-3+48-45=0,所以a⊥b所以l1⊥l2,2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C求证：平面EFG∥平面AB答案：证明设AB=a,AD=b,AC=c,则EG=ED∵AC⊂平面AB1C，EG⊄平面AB1又EF=即EF∥B1C,∵B1G⊂平面AB1C又∵EG∩EF=E,EG,EF⊂平面EFG,∴平面∴EFG∥平面AB探究点三异面直线所成角及其应用精讲精练例（1）（2021山东聊城一中期中）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图）,其中四边形ABCD为矩形,EF∥AB,若AB=3EF,△ADE和△BCF都是正三角形,且AD=2EF,则异面直线AE与CFA.π6B.C.π3D.（2）在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,AC=22,PB⊥平面ABC,点M,N分别为AC,PB的中点,MN=6,Q为线段AB上的点,使得异面直线PM与CQ所成角的余弦值为34A.14B.C.12D.答案：（1）D（2）A解析：（1）如图,以矩形ABCD的中心O为原点,CB,AB的方向分别为x轴、y轴正方向,作垂直于平面xOy的直线为由题意可知,EF⊂平面yOz,且直线Oz是线段EF的垂直平分线.设AB=3,则EF=1,AD=2,则A(1,-32,0),E(0,-12,2),C(-1,32,0),F(0,12（2）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2,AC=2∴BA⊥BC,∵PB⊥平面ABC,∴以B为原点,BA,BC,BP所在直线分别为x轴,y轴，z轴建立空间直角坐标系,可知B(0,0,0),C(0,2,0),M(1,1,0),A(2,0,0),∵BM=∴BN=M∴PB=4，则P(0,0,4),设|BQ||BA|=λ,且可知PM=(1,1,-4),CQ|PM∵异面直线PM与CQ所成角的余弦值为3434,∴|PM⋅CQ||解题感悟异面直线夹角的计算问题,常用以下方法（1）向量法：建立空间直角坐标系,结合向量的夹角公式求解;（2）平移法,将异面直线通过平移转化成共面直线,结合三角形知识求解;（3）补形法：通过补形（一般是补一个相同的几何体）将异面直线通过平移转化成共面直线,结合三角形知识求解.迁移应用1.（2020江苏徐州高二期中）在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2A.-41515B.415答案：D解析：1.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为因为AB=AD=1,AA1A1O=(-12,12=|2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90∘,AA1=A答案：1解析：2.设CE=λCC易知|Acos⟨因为异面直线A1B与AE所成角的余弦值为32得λ=3所以C1评价