全国名师联盟2020届高三年级上册学期入学测试考试卷（四）数学理科试卷【含答案】

2020届全国名师联盟高三上学期入学测试考试卷理科数学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设，，则（）A． B．C． D．2．已知为虚数单位，复数满足，则（）A． B． C． D．3．，则的值为（）A． B． C． D．4．如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；②深圳和度厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州；④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海．其中正确结论的个数是（）A． B． C． D．5．斜率为的直线过双曲线（，）的右焦点，且与双曲线的左右两支分別相交，则双曲线的离心率的取值范固是（）A． B．C． D．6．已知实数，满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．函数的大致图象是（）A． B．C． D．8．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A．种 B．种 C．种 D．种9．在中，，，，设点、满足，，若，则（）A． B． C． D．10．若即时起分钟内，路公交车和路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过分钟的概率为（）A． B． C． D．11．设数列的前项和为，且，，则数列的前项的和是（）A． B． C． D．12．长方体中，，，设点关于直线的对称点为，则与两点之间的距离为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．等比数列的前n项和为，，若，则．14．下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为．15．已知点，抛物线：的焦点为，连接，与抛物线相交于点，延长，，与抛物线的准线相交于点，若，则实数的值为．16．已知函数，则当函数恰有两个不同的零点时，实数的取值范围是．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在中，角，，的对边分別为、、，若，，．（1）求；（2）已知点在边上，且平分，求的面积．18．（12分）在四棱锥中，，．（1）若点为的中点，求证：平面；（2）当平面平面时，求二面角的余弦值．19．（12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”．（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，得到数据如下表所示：将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望．附：观测值公式：．临界值表：20．（12分）已知椭圆：过点，右焦点是抛物线的焦点．（1）求椭圆的方程；（2）已知动直线过右焦点，且与椭圆分别交于，两点．试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在求出点的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）设，当时，对任意，存在，使，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于两点、，求的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若存在满足，求实数的取值范围．

2020届高三入学调研考试卷理科数学（四）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】由题得，，所以．故选B．2．【答案】A【解析】由题可得，整理得，．故选A．3．【答案】A【解析】因为，所以，所以．故选A．4．【答案】C【解析】变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高，所以结论①②③都正确，结论④错误，故选C．5．【答案】D【解析】依题意，结合图形分析可知双曲线的一条渐近线的斜率必大于，即，因此该双曲线的离心率．故选D．6．【答案】D【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线：，平移可知，，即的取值范围是，故选D．7．【答案】A【解析】函数的定义域为，且为定义域上的奇函数．排除C，D，当时，排除B，故选A．8．【答案】B【解析】第一步排语文，英语，化学，生物科，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前科除最后位置外的个空挡中的个，有种排法，所以不同的排表方法共有，故选B．9．【答案】D【解析】因为，则，所以．由已知，，则，故选D．10．【答案】C【解析】设路车和路车的进站时间分别为、，“进站时间的间隔不超过分钟”为时间，则．图中阴影区域的面积，则，故选C．11．【答案】C【解析】由得，当时，，整理得，所以是公差为的等差数列．又，所以，从而，所以，数列的前项的和．故选C．12．【答案】C【解析】将长方形中含有的平面取出，过点作，垂足为，延长到，使，则是关于的对称点，如图所示，过作，垂足为，连接，，依题意，，，，，，，所以．故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】由题知公比，所以，解得，所以．14．【答案】【解析】由三视图可得，．15．【答案】【解析】依题意得焦点的坐标为，过作抛物线的准线的垂线且垂足为，连接，由抛物线的定义知，因为，所以，又，，所以，解得．16．【答案】【解析】由题可知方程恰有两个不同的实数根，所以与有个交点．因为表示直线的斜率，当时，，设切点坐标为，，所以切线方程为，而切线过原点，所以，，，所以直线的斜率为，直线与平行，所以直线的斜率为，所以实数的取值范围是．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，，得，所以．由正弦定理，可得．（2），在中，由余弦定理，得，解得或（舍去），，因为，所以．18．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）取的中点为，连结，．由已知得，为等边三角形，．∵，，∴，∴，∴．又∵平面，平面，∴平面，∵为的中点，为的中点，∴．又平面，平面，∴平面，∵，∴平面平面．∵平面，∴平面．（2）连结，交于点，连结，则为的中点，且，，∵平面平面，，∴平面，可求得，，以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，平面的一个法向量为．设平面的法向量为，有，得，即，令，得，，∴．∴．二面角的余弦值是．19．【答案】（1）千元；（2）有的把握认为；（3）见解析．【解析】（1）在直方图中，从左至右前个小矩形的面积之和为，后个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内．设直方图的面积平分线为，则，得，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为千元．（2）由直方图知，网购消费金额在千元以上的频数为，所以“网购迷”共有人．由列联表知，其中女性有人，则男性有人，所以补全的列联表如下：因为，查表得，所以有的把握认为“网购迷与性别有关”．（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为，．设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，，据题意，，．所以，．因为，则，所以的数学期望为．20．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）因为椭圆过点，所以．又抛物线的焦点为，所以，所以，解得（舍去）或．所以椭圆的方程为．（2）假设在轴上存在定点，使得，①当直线的斜率不存在时，则，，，，由，解得或；②当直线的斜率为时，则，，，，由，解得或．由①②可得，即点的坐标为．下面证明当时，恒成立，当直线的斜率不存在或斜率为时，由①②知结论成立．当直线斜率存在或且不为时，设其方程为，，，由，得，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且，．，所以．综上所述，在轴上存在定点，使得恒成立．21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）函数的定义域为，又，由，得或，当即时，由得；由得或；当即时，当时都有，∴当时，单调减区间为，单调增区间为，当时，单调增区间是，没有单调减区间．（2）当时，由（1）知在单调递减，在单调递增，从而在上的最小值为．对任意，存在，使得，即存在，使得的值不超过在区间上的最小值为．由得，∴．令，则当时，．∵，当时，；当时，，，故在上单调递减，从而，从而实数．22．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）消去参