2022-2023学年江苏省宿迁市宿城区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省宿迁市宿城区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。）1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝x+2 B．y＝x3+1 C．y＝x2﹣4x D．y＝2．希望中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．若小强的三项成绩（百分制）依次是95，90，91．则小强这学期的体育成绩是（）A．92 B．91.5 C．91 D．903．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为x步，可列方程为（）A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864 C．2x+2（x+12）＝864 D．2x+2（x﹣12）＝8644．在直角坐标系中，将抛物线y＝（x﹣1）2+3先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝x2+1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝x2+5 D．y＝（x﹣3）2+45．如图，已知⊙O的半径为6，AB，BC是⊙O的弦，若∠ABC＝50°，则的长是（）A．π B．π C．10π D．12π6．点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣3）2﹣4的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y17．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为（）A．7 B．8 C．9 D．108．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③a+b≥am2+bm（m为任意实数）；④若点Q（m，n）是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大时，m＝2，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题.（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）9．抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的对称轴是直线x＝．10．甲、乙两名学生参加学校举办的“防疫知识大赛”．两人5次成绩的平均数都是95分，方差分别是S甲2＝2.5，S乙2＝3，则两人成绩比较稳定的是．（填“甲”或“乙”）11．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是．12．已知圆锥的侧面积为10πcm2，底面圆的半径为2cm，则该圆锥的母线长为cm．13．x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则x1•x2＝．14．抛物线y＝x2+6x+m与x轴无公共点，则m的取值范围为．15．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、F、G，∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DGF的度数是°．16．一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度h（m）与弹出的时间t（s）满足的关系式为h＝15t﹣5t2．当小球第一次距离地面10m时，小球弹出的时间为秒．17．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”设t＝10a﹣b2，t的最大值为．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，CD是中线，E，F分别为边DC，DB上的动点，且DE＝DF，直线AE与CF相交于点G，连接BG．若AB＝2，则线段BG的最小值为．三、解答题（本大题共10题，共96分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．解方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）（x+1）2＝3x+3．20．如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．（1）求证∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．21．已知二次函数y＝﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点（2，0）．（1）求顶点A的坐标；（2）把该二次函数以y轴为对称轴作轴对称变换，求变化后的函数表达式．22．某校九年级学生在“学习二十大”的党史知识竞赛活动中，随机抽取50名学生的成绩如表：答对数（题）6789人数52510a（1）填空：a＝；（2）50名学生的“答对数”的众数是题，中位数是题；（3）若答对8题（含8题）以上被评为优秀“答题能手”，试估计全年级800名学生中有多少是优秀“答题能手”？23．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京﹣张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：A．云顶滑雪公园、B．国家跳台滑雪中心、C．国家越野滑雪中心、D．国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．（1）小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．24．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a＝4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．25．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠BAC＝2∠ABD，过点D作DE∥BC交CA的延长线于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若AE＝8，DE＝12，求⊙O的半径．26．丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元/件）…354045…每天销售数量y（件）…908070…（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？27．问题探究（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．①若∠A＝60°，AB＝AC，如图1，试证明BC＝CD+BE；②将①中的条件“AB＝AC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由．迁移运用（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如图3，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．28．如图1，抛物线y＝ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，﹣1≤x≤3．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。）1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝x+2 B．y＝x3+1 C．y＝x2﹣4x D．y＝【分析】根据形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数是二次函数，判断即可．解：A、y＝x+2是一次函数，故此选项不符合题意；B、y＝x3+1不是二次函数，故此选项不符合题意；C、y＝x2﹣4x是二次函数，故此选项符合题意；D、y＝，等号右边是分式，不是二次函数，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．2．希望中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．若小强的三项成绩（百分制）依次是95，90，91．则小强这学期的体育成绩是（）A．92 B．91.5 C．91 D．90【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．解：根据题意得：95×20%+90×30%+91×50%＝91.5（分）．答：小强这学期的体育成绩是91.5分．故选：B．【点评】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道常考题．3．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为x步，可列方程为（）A．x（x﹣12）＝864 B．x（x+12）＝864 C．2x+2（x+12）＝864 D．2x+2（x﹣12）＝864【分析】根据长与宽之间的关系，可得出宽为（x﹣12）步，结合矩形面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：∵宽比长少12步，且长为x步，∴宽为（x﹣12）步．根据题意得：x（x﹣12）＝864故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．在直角坐标系中，将抛物线y＝（x﹣1）2+3先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝x2+1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝x2+5 D．y＝（x﹣3）2+4【分析】找出抛物线的顶点坐标，将其按要求平移后可得出新抛物线的顶点坐标，进而即可得出抛物线的解析式．解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），∴平移后抛物线的顶点坐标为（0，1），∴平移后抛物线的解析式为y＝x2+1．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出平移后抛物线的解析式是解题的关键．5．如图，已知⊙O的半径为6，AB，BC是⊙O的弦，若∠ABC＝50°，则的长是（）A．π B．π C．10π D．12π【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理解答即可．解：连接OA，OC，∵∠ABC＝50°，∴∠AOC＝2∠ABC＝100°，∴的长为：，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理及弧长公式，熟练掌握：同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半及弧长公式是解题的关键．6．点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣3）2﹣4的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1【分析】先确定抛物线的对称轴，根据二次函数的性质，然后利用抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大求解．解：∵y＝﹣（x﹣3）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，开口向下，而C（4，y3）离对称轴最近，点A（﹣2，y1）离对称轴最远，∴y1＜y2＜y3，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．7．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，即可得到结论．解：连接OA，OB，∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，∵∠ADB＝18°，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴这个正多边形的边数＝＝10．故选：D．【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③a+b≥am2+bm（m为任意实数）；④若点Q（m，n）是抛物线上第一象限上的动点，当△QBC的面积最大时，m＝2，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据已知点的特点可求对称轴为直线x＝1，则b＝﹣2a；由函数的图象可知，a＜0，c＞0，再由b＝﹣2a可知b＞0；当x＝1时，函数有最大值a+b+c；再由铅锤法求△BCQ的面积，从而确定当m＝2时，三角形面积有最大值．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），∴对称轴为直线x＝＝1，∴﹣＝1，∴2a＝﹣b，∴2a+b＝0，故①正确，符合题意；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故②错误，不符合题意；∵抛物线的对称轴x＝1，开口向下，∴x＝1时，y有最大值，最大值＝a+b+c．∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），∴a+b≥am2+bm（m为任意实数），故③错误，不符合题意；④∵C（0，c），设直线BC的解析式为y＝kx+t，∴，解得，∴y＝﹣x+c，将点A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax+c，∴c＝﹣8a．∴y＝ax2﹣2ax﹣8a．过点Q作QN∥y轴交BC于点P，∵Q（m，n），∴P（m，2am﹣8a），∴PQ＝n﹣2am+8a．∴S△QBC＝×4×（n﹣2am+8a）＝2（n﹣2am+8a），∵n＝am2﹣2am﹣8a，∴S△QBC＝2（am2﹣4am）＝2a（m﹣2）2﹣8a．∴当m＝2时，△QBC的面积最大，故④正确，符合题意；故选：B．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的的坐标特征，二次函数的性质，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．二、填空题.（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）9．抛物线y＝﹣2（x﹣2）2﹣5的对称轴是直线x＝2．【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可确定抛物线的顶点坐标及对称轴．解：由y＝﹣2（x﹣2）2﹣5可知，抛物线对称轴为直线x＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线解析式的顶点式可确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最大（小）值，函数的增减性．10．甲、乙两名学生参加学校举办的“防疫知识大赛”．两人5次成绩的平均数都是95分，方差分别是S甲2＝2.5，S乙2＝3，则两人成绩比较稳定的是甲．（填“甲”或“乙”）【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．解：∵两人5次成绩的平均数都是95分，方差分别是S甲2＝2.5，S乙2＝3，∴，∴成绩比较稳定的是甲；故答案为：甲．【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．11．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），击中阴影区域的概率是．【分析】设图中每个小正方形的面积为1，则大正方形的面积为9，根据题意图中阴影部分的面积为3，应用几何概率的计算方法进行计算即可得出答案．解：设图中每个小正方形的面积为1，则大正方形的面积为9，根据题意图中阴影部分的面积为3，则P（击中阴影区域）＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法进行求解是解决本题的关键．12．已知圆锥的侧面积为10πcm2，底面圆的半径为2cm，则该圆锥的母线长为5cm．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．解：设圆锥的母线长为Rcm，圆锥的底面周长＝2π×2＝4π（cm），则×4π×R＝10π，解得，R＝5．故答案为：5．【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．13．x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则x1•x2＝﹣2．【分析】直接根据根与系数的关系求解．解：根据题意得x1•x2＝＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．14．抛物线y＝x2+6x+m与x轴无公共点，则m的取值范围为m＞9．【分析】根据抛物线与x轴的没有交点，即Δ＝b2﹣4ac＜0，即可求出m的取值范围．解：∵若抛物线y＝x2+6x+m与x轴没有公共点，∴Δ＝b2﹣4ac＝62﹣4×1×m＜0．即36﹣4m＜0，解得m＞9，故答案为：m＞9．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点．熟记抛物线与x轴的交点个数与系数的关系是解决此题的关键．15．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、F、G，∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DGF的度数是50°．【分析】连接OD，OF．由三角形内角和定理可求得∠A＝80°，由切线的性质可知：∠ODA＝90°，∠OFA＝90°，从而得到∠A+∠DOF＝180°，故可求得∠DOF＝100°，由圆周角定理可求得∠DGF＝50°．解：如图，连接OD，OF，∵∠B＝60°，∠C＝40°，∴∠A＝180°﹣60°﹣40°＝80°．∵AB是圆O的切线，∴∠ODA＝90°．同理∠OFA＝90°．∴∠A+∠DOF＝180°．∴∠DOF＝100°．∴∠DGF＝50°．故答案为：50．【点评】本题主要考查的是切线的性质、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得∠DOF的度数是解题的关键．16．一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度h（m）与弹出的时间t（s）满足的关系式为h＝15t﹣5t2．当小球第一次距离地面10m时，小球弹出的时间为1秒．【分析】把10代入关系式解方程可求出t．解：当h＝10时，15t﹣5t2＝10，解得t1＝1，t2＝2，∵小球第一次距离地面10m，∴t＝1，故答案为：1．【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是代入已知的h就能求出t．17．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”设t＝10a﹣b2，t的最大值为9．【分析】根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出a与b的关系式，再由t＝10a﹣b2，得t与a的关系，从而得出最后结果．解：由题可得：Δ＝b2﹣4a×1＝b2﹣4a≥0，∴解方程得，∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“差1方程”，∴，∴b2＝a2+4a，∵t＝10a﹣b2，∴t＝6a﹣a2＝﹣（a﹣3）2+9，∵（a﹣3）2≥0，∴a＝3时，t的最大值为9．故答案为：9．【点评】本题考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的解法，根与系数的关系以及正确理解“差1方程”的定义是关键．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，CD是中线，E，F分别为边DC，DB上的动点，且DE＝DF，直线AE与CF相交于点G，连接BG．若AB＝2，则线段BG的最小值为﹣1．【分析】取AC的中点H，AD的中点I，连接GH、BH，HI，由∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AB＝4，得CD＝AD＝BD＝AB＝，根据三角形的中位线定理得HI∥CD，HI＝CD＝，由CA＝CB，得CD⊥AB，则∠ADE＝∠CDF＝90°，即可求得AI＝HI＝，DI＝，则BI＝，根据勾股定理求得BH＝＝，再证明△ADE≌△CDF，得∠DAE＝∠DCF，即可证明∠AGC＝90°，则AC＝＝2，所以HG＝1，由BG+HG≥BH，推导出BG≥﹣1，则线段BG的最小值为﹣1．解：取AC的中点H，AD的中点I，连接GH、BH，HI，∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AB＝2，∴CD＝AD＝BD＝AB＝，∴HI∥CD，HI＝CD＝，∵CA＝CB，∴CD⊥AB，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∠AIH＝∠ADE＝90°，∴∠IHA＝∠IAH＝45°，∠GIH＝180°﹣∠AIH＝90°，∴AI＝HI＝，∴DI＝AD﹣AI＝，∴BI＝DI+BD＝，∴BH＝＝＝，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE＝∠DCF，∵∠GEC＝∠DEA，∴∠DCF+∠GEC＝∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠AGC＝90°，∵AC＝＝＝2，∴HG＝AC＝1，∵BG+HG≥BH，∴BG+1≥，∴BG≥﹣1，∴线段BG的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、三角形的中位线定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共10题，共96分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．解方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）（x+1）2＝3x+3．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝1+1，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝±，x﹣1＝或x﹣1＝﹣，x1＝1+，x2＝1﹣；（2）（x+1）2＝3x+3，（x+1）2﹣3（x+1）＝0，（x+1）（x+1﹣3）＝0，（x+1）（x﹣2）＝0，x+1＝0或x﹣2＝0，x1＝﹣1，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．20．如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．（1）求证∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠DCB＝180°，根据同角的补角相等证明结论；（2）根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝70°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE；（2）解：∵∠ACB＝70°，∴∠ADB＝∠ACB＝70°，∴∠ABD＝180°﹣60°﹣70°＝50°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．21．已知二次函数y＝﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点（2，0）．（1）求顶点A的坐标；（2）把该二次函数以y轴为对称轴作轴对称变换，求变化后的函数表达式．【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式，然后将其转化为顶点式，直接得到答案；（2）根据轴对称的性质即可得到结论．解：（1）把点（2，0）代入y＝﹣x2+mx+m﹣2，得﹣4+2m+m﹣2＝0．解得m＝2．则该抛物线解析式是：y＝﹣x2+2x．因为y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1．所以顶点A的坐标为（1，1）；（2）将此抛物线沿y轴进行轴对称变换，得到的新抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，正确的理解题意是解题的关键．22．某校九年级学生在“学习二十大”的党史知识竞赛活动中，随机抽取50名学生的成绩如表：答对数（题）6789人数52510a（1）填空：a＝10；（2）50名学生的“答对数”的众数是7题，中位数是7题；（3）若答对8题（含8题）以上被评为优秀“答题能手”，试估计全年级800名学生中有多少是优秀“答题能手”？【分析】（1）根据总人数为50名可得a的值；（2）根据众数和中位数的定义求解即可；（3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可．解：（1）a＝50﹣（5+25+10）＝10，故答案为：10；（2）50名学生的“答对数”的众数是7题，中位数是＝7（题），故答案为：7、7；（3）800×＝320（名），答：估计全年级800名学生中有320名是优秀“答题能手”．【点评】本题主要考查众数、中位数，解题的关键是掌握众数和中位数及样本估计总体思想的应用．23．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京﹣张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：A．云顶滑雪公园、B．国家跳台滑雪中心、C．国家越野滑雪中心、D．国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．（1）小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，再由概率公式求解即可．解：（1）小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是；（2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，∴小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为＝．【点评】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a＝4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．【分析】（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．（2）两实数根互为相反数，让﹣＝0即可求得k的值．（3）分b＝c，b＝a两种情况做．【解答】证明：（1）∵Δ＝（2k+1）2﹣16（k﹣）＝（2k﹣3）2≥0，∴方程总有实根；解：（2）∵两实数根互为相反数，∴x1+x2＝2k+1＝0，解得k＝﹣0.5；（3）①当b＝c时，则Δ＝0，即（2k﹣3）2＝0，∴k＝，方程可化为x2﹣4x+4＝0，∴x1＝x2＝2，而b＝c＝2，∴b+c＝4＝a不适合题意舍去；②当b＝a＝4，则42﹣4（2k+1）+4（k﹣）＝0，∴k＝，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，∴c＝2，C△ABC＝10，当c＝a＝4时，同理得b＝2，∴C△ABC＝10，综上所述，△ABC的周长为10．【点评】一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．25．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠BAC＝2∠ABD，过点D作DE∥BC交CA的延长线于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若AE＝8，DE＝12，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，如图．根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据平行线的性质得到∠E＝180°﹣∠ACB＝90°．根据平行线的判定定理得到OD∥CE，得到OD⊥DE，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）过点A作AF⊥OD于点F，如图，根据矩形的性质得到DF＝AE＝8，AF＝DE＝12．设⊙O的半径为R，则OA＝R，OF＝R﹣8．根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，如图．∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，∵DE∥BC，∴∠E＝180°﹣∠ACB＝90°．∵∠ABD＝∠AOD，∠BAC＝2∠ABD，∴∠AOD＝∠BAC，∴OD∥CE，∴∠ODE+∠E＝180°，∵∠E＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）解：过点A作AF⊥OD于点F，如图，∵∠AFD＝∠FDE＝∠E＝90°，∴四边形AEDF为矩形，∴DF＝AE＝8，AF＝DE＝12．设⊙O的半径为R，则OA＝R，OF＝R﹣8．在Rt△OAF中，OF2+AF2＝OA2，即（R﹣8）2+122＝R2，解得R＝13，即⊙O的半径为13．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．26．丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元/件）…354045…每天销售数量y（件）…908070…（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160；（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．解：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，把（35，90），（40，80）代入得：，解得，∴y＝﹣2x+160；（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，∴x＝50，答：销售单价应定为50元；（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，而x≤54，∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．【点评】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．27．问题探究（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．①若∠A＝60°，AB＝AC，如图1，试证明BC＝CD+BE；②将①中的条件“AB＝AC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由．迁移运用（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如图3，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．【分析】（1）①证明△ABC是等边三角形，可得结论；②结论成立．如图2中，设BD交CE于点O，在BC上取一点G，使得BG＝BE，连接OG．证明△EBO≌△GBO（SAS），推出∠BOE＝∠BOG＝60°，再证明△OCD≌△OCG（ASA），推出CD＝CG，可得结论；（2）结论：AC＝AD+BC．如图3中，作点B关于AC的对称点E，连接AE，EC．证明满足②条件，利用②中结论解决问题．【解答】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵B