一诊模拟试卷详解理科

石室中学高2021届一诊模拟考试数学试卷详解（理科）一、选择题：1.【解析】由，则，所以选C2.【解析】由得，所以，由得，所以，所以.选D3.【解析】方法一：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，M(2,1)，D(0,2)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,2)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2,2)．由eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))，得(2,2)＝λ(2,1)＋μ(－2,2)，即(2,2)＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ－2μ＝2，,λ＋2μ＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))所以λ＋μ＝eq\f(5,3).方法二：因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＋μ(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)))＋μ(－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(λ－μ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\f(1,2)λ＋μ)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝1，,\f(1,2)λ＋μ＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))所以λ＋μ＝eq\f(5,3).故选B．4.【解析】由题意，可得，所以，解得或，因为，所以舍去，只有符合题意，所以选B5.【解析】据图求可以看出，产品的销售额的波动较大，产品的销售额的波动较小，并且产品的销售额只有两个月的销售额比25万元稍小，其余都在25万元至30万元之间，所以产品的销售额的极差较大，中位数较小，产品的销售的平均值较大，销售的波动较小，选B6.【解析】侧视图中能够看到线段，应画为实线，而看不到，应画为虚线．由于与不平行，投影为相交线，选B7.【解析】函数的图象向左平移个单位长度后得函数解析式为，它的图象关于轴对称，则，，又，所以，∴，周期为，极大值点为，，与最接近的极大值点是，∴的最小值是．选A8.【解析】,从而,解得选A9.【解析】因为，，公比为正数显然不为1，所以，解得，,所以，则，要使，则，解得，故n的最大值为12.选C10.【解析】因为，，，由可得.又，因为平面，该棱锥的体积为1，所以，设外接圆的半径为，则，，所以球的半径球的表面积选D11.【解析】设点,圆圆心为,半径为,要保证取得最小值根据图像可知应:又故令，由二次函数可知:当时,取得最小的最小值为:.选B12.【解析】对于的大小：，，明显；对于的大小：构造函数，则，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，即对于的大小：，，，故选B二、填空题：13.【解析】作出可行域，得到14.【解析】由题先考虑两篇文章可在第一和第三，或者第一和第四，或者第二和第四三种情况，且文章之间有顺序，故总共为15.【解析】得，则16.【解析】令，变形得：，令，得，，故，当，，在上单调递增；当，，在上单调递减，且，故在时有最大值.当有唯一根或无解时，原方程最多两解，不符题意；当有两根时，或，规定，要使原方程有三个解，则直线，与的交点恰有三个，即转化为的两根，，则，解得.故答案为：.三、解答题：17.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）中，角，的对边分别是.由已知，得，即，，由，…………………6分（Ⅱ），，，.设的周长为，则，，故周长的最大值为……12分18.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）设的中点为，连接.又为的重心又平面………………….5分（Ⅱ）设为的中点，为正三角形，则平面平面,平面平面，过分别作的平行线，建系如图：……………….7分,易知平面的法向量，设平面的法向量分别为得..10分……………………11分从而，平面与平面所成锐二面角的余弦值为…….12分19.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）由表格中的数据，，所以，所以．可见模型①的相关指数小于模型②的相关指数．所以回归模型②的拟合效果更好．………………2分所以当亿元时，科技升级直接收益的预测值为（亿元）．…………..3分（Ⅱ）当时，由已知可得，．所以．…………………5分所以当时，y与x满足的线性回归方程为．当时，科技升级直接收益的预测值为亿元．当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．……..8分（Ⅲ）因为，，所以；．所以（元）．……….12分20.（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）依题意可得：………..3分（Ⅱ）圆M过A的切线方程可设为l：，代入椭圆C的方程得：，可得；同理可得……………..5分由圆M与l相切得：由韦达定理得：………..……………6分所以直线BD的斜率…………………………9分直线BD的方程为：化简为：，即………..11分所以，当变化时，直线BD总过定点……12分21．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ），令，，则.=1\*GB3①当时，为增函数，；=2\*GB3②当时，.故时，，为增函数，故，即的最小值为1……5分（Ⅱ）令，，则本题即证当时，恒成立.=1\*GB3①当时，由（1）可知在上为增函数，且，，故存在唯一，使得.则当时，，为减函数，所以，此时，与恒成立矛盾…………….7分=2\*GB3②当时，（=1\*romani）若，则由（1）可知，，所以为增函数，故恒成立，即恒成立；………………………8分（=2\*romanii）若，则，在上为增函数，又，，故存在唯一，使得.当时，，为减函数；时，，为增函数.又，，故存在唯一使得.故时，，为增函数；时，，为减函数.又，，所以时，，为增函数，故，即恒成立…11分综上所述，………………………….12分22．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）曲线的参数方程为（为参数），所以消去参数得曲线的普通方程为，因为，，代入曲线可得的极坐标方程：.将直线，代入圆的极坐标方程可知:，，故，两点的极坐标为，…………………..5分（Ⅱ）由，得：，，所以的极坐标方程为：.所以的极坐标方程为.可知直线恰好经过圆的圆心，故为直角三角形，且，，故.………………………10分23．（本小题满分