浙江专用高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算学案

PAGEPAGE8第1讲集合的概念与运算知识点最新考纲集合了解集合、元素的含义及其关系．理解集合的表示法．了解集合之间的包含、相等关系．理解全集、空集、子集的含义．会求简单集合间的并集、交集．理解补集的含义并会求补集.命题及其关系、充分条件与必要条件了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.第1讲集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR[注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2．集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中元素相同A＝B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁UA＝{x|x∈U且x∉A}常用结论1．并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.2．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.3．补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．[思考辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．()(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.()(3)若AB，则A⊆B且A≠B.()(4)N*NZ.()(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×[诊断自测]1．(2020·高考浙江卷)已知集合P＝{x|1<x<4}，Q＝{x|2<x<3}，则P∩Q＝()A．{x|1<x≤2} B．{x|2<x<3}C．{x|3≤x<4} D．{x|1<x<4}解析：选B．因为P＝{x|1<x<4}，Q＝{x|2<x<3}，所以P∩Q＝{x|2<x<3}，故选B．2．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3C．6 D．9解析：选C．当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．3．已知集合U＝{－1，0，1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁UA＝________．解析：因为A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0，1}，所以∁UA＝{－1}．答案：{－1}4．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．解析：由题易得M＝{a}．因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝±1.答案：0或1或－1集合的含义及表示(自主练透)1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有()A．5个 B．4个C．3个 D．无数个解析：选C．依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3个元素．2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，则b－a＝()A．1 B．－1C．2 D．－2解析：选C．因为{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，则eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A．eq\f(9,2) B．eq\f(9,8)C．0 D．0或eq\f(9,8)解析：选D．若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等的实根．当a＝0时，x＝eq\f(2,3)，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝eq\f(9,8)，所以a的取值为0或eq\f(9,8).4．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－eq\f(3,2).当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－eq\f(3,2)时，m＋2＝eq\f(1,2)，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)eq\a\vs4\al()与集合中元素有关问题的求解策略集合间的基本关系(师生共研)(1)已知集合M＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,2)＋1，n∈Z))))，N＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(y＝m＋\f(1,2)，m∈Z))))，则两集合M，N的关系为()A．M∩N＝∅ B．M＝NC．M⊆N D．N⊆M(2)已知集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B．[－1，2]C．[－2，1] D．[2，＋∞)【解析】(1)由题意，对于集合M，当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，则x＝k＋1(k∈Z)；当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，则x＝k＋1＋eq\f(1,2)(k∈Z)，所以N⊆M，故选D．(2)集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}＝{x|－2≤x≤2}，因为B⊆A，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－2，,a＋1≤2，))所以－2≤a≤1.【答案】(1)D(2)Ceq\a\vs4\al()(1)判断两集合关系的3种常用方法(2)根据两集合的关系求参数的方法[提醒]题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．1．已知集合A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为()A．7 B．8C．15 D．16解析：选A．方法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．方法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．2．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是()A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}解析：选D．由A∩B＝A，可得A⊆B，又A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，所以a≥2.故选D．集合的基本运算(多维探究)角度一集合的运算(1)已知集合A＝{－2，0，1，2}，B＝{y|y＝－eq\r(x－1)}，则A∩B＝()A．{1，2} B．{－2，0}C．{－2，0，1} D．{－2}(2)(2020·高考全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝()A．{－2，3} B．{－2，2，3}C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3}【解析】(1)因为y＝－eq\r(x－1)≤0，所以B＝{y|y≤0}．因为A＝{－2，0，1，2}，所以A∩B＝{－2，0}．故选B．(2)方法一：由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A．方法二：因为2∈B，所以2∈A∪B，所以2∉∁U(A∪B)，故排除B，D；又0∈A，所以0∈A∪B，所以0∉∁U(A∪B)，故排除C，故选A．【答案】(1)B(2)Aeq\a\vs4\al()集合基本运算的求解策略角度二利用集合的运算求参数(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝()A．－4 B．－2C．2 D．4(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为()A．0 B．1C．2 D．4【解析】(1)方法一：易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－eq\f(a,2)}，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－eq\f(a,2)＝1，解得a＝－2.故选B．方法二：由题意得A＝{x|－2≤x≤2}．若a＝－4，则B＝{x|x≤2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤2}，不满足题意，排除A；若a＝－2，则B＝{x|x≤1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}，满足题意；若a＝2，则B＝{x|x≤－1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，不满足题意，排除C；若a＝4，则B＝{x|x≤－2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|x＝－2}，不满足题意．故选B．(2)根据集合并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.【答案】(1)B(2)Deq\a\vs4\al()利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒]在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．已知集合A＝{x|(x－3)(x＋1)>0}，B＝{x||x－1|>1}，则(∁RA)∩B＝()A．[－1，0)∪(2，3]B．(2，3]C．(－∞，0)∪(2，＋∞)D．(－1，0)∪(2，3)解析：选A．通解：因为集合A＝{x|(x－3)(x＋1)＞0}＝{x|x＞3或x＜－1}，B＝{x||x－1|＞1}＝{x|x＞2或x＜0}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤3}，(∁RA)∩B＝{x|2＜x≤3或－1≤x＜0}，故选A．优解：因为3∉A，且3∈B，所以3∈(∁RA)∩B，故排除D；因为－1∉A，且－1∈B，所以－1∈(∁RA)∩B，故排除B；因为－2∈A，且－2∈B，所以－2∉(∁RA)∩B，故排除C．故选A．2．若全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所示的集合为()A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}解析：选D．∁UA＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}，记所求阴影部分所表示的集合为C，则C＝(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．3．已知集合P＝{x|x2－2x－8>0}，Q＝{x|x≥a}．若P∪Q＝R，则实数a的取值范围是________；若P∩Q＝Q，则实数a的取值范围是________．解析：由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2，所以P＝{x|x＞4或x＜－2}．若P∪Q＝R，因为Q＝{x|x≥a}，所以a≤－2.若P∩Q＝Q，因为Q＝{x|x≥a}，所以a＞4.答案：a≤－2a＞4核心素养系列1数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查学生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．(1)定义集合的商集运算为eq\f(A,B)＝{x|x＝eq\f(m,n)，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)－1，k∈A))))，则集合eq\f(B,A)∪B中的元素个数为()A．6 B．7C．8 D．9(2)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，eq\f(a,b)∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是()A．数域必含有0，1两个数B．整数集是数域C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D．数域必为有限集【解析】(1)由题意知，B＝{0，1，2}，eq\f(B,A)＝{0，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，1，eq\f(1,3)}，则eq\f(B,A)∪B＝{0，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，1，eq\f(1,3)，2}，共有7个元素，故选B．(2)当a＝b时，a－b＝0，eq\f(a,b)＝1∈P，故可知A正确．当a＝1，b＝2时，eq\f(1,2)∉Z不满足条件，故可知B不正确．当M比Q多一个元素i时，